カテゴリー: 微積分

　 を で表すための計算をおこなう。これは、２階微分を含んだラプラシアンの極座標表示を導くときに使う。よくみる結果だけ最初に示す。 １階微分の極座標表示     1. 極座標表示 　一般的な極座標変換 …

　図の と の面積の和を求めたい。 　ちなみに、 となるのは が三次関数の変極点になるとき。 1. 積分計算 　３つ交点がある場合の面積を考えよう。交点の 座標をそれぞれ、 としておく。 　２つの領域に分けてそれぞれの面 …

　セカント（sec）の積分を計算する。この積分の形は の途中などに現れる。ここでは、うまい置換積分をすることで簡単に計算できる方法を紹介する。最終的な結果は下の通り。 sec(x)の不定積分     …

　セカント(sec)の3乗、すなわち、1/cos の３乗の積分を計算する。うまい変形をすることで解ける。最終的な結果は以下の通り。 結果     1. 証明 　 に慣れてない人用に、 の形を使わずに …

　ウォリスの公式（Wallis formula）は無限積が になるという 驚きの結果である。　証明には、ウォリスの積分（Wallis’s integral）を使う。ウォリスの「積分」とウォリスの「公式」を混同 …

まわりのテイラー展開は     となる。これの意味やイメージをまとめておく。 難しくないので簡単にまとめておく。 1. テイラー展開の意味とイメージ なぜ展開するのか？ テイラー展開する理由は、式の見 …

気体分子論や量子力学など物理でよく出てくる積分をまとめておく。その簡単な導出方法も示しておく。 ポイント     　ここで、 は負でない整数とする。 と積分変数を変換すれば、ガンマ関数を用いて計算がで …