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【積分】∫sec(x) dx（∫1/cos(x) dx）の不定積分

　セカント（sec）の積分を計算する。この積分の形は \int\sec^3{x} \,dx の途中などに現れる。ここでは、うまい置換積分をすることで簡単に計算できる方法を紹介する。最終的な結果は下の通り。

sec(x)の不定積分

    \begin{eqnarray*} \int \sec{x} \, dx =\int \frac{1}{\cos{x}} \, dx =\ln{\left| \sec{x}+\tan{x} \right|}+C \end{eqnarray*}



1. 証明

　計算のポイントは、

  • 分母分子に同じものをかける
  • 置換積分を行う

ことである。以下はsecを使うか使わないか、書き方の違いであるが同じ計算方法である。


1.1 1/sinを使う式

    \begin{eqnarray*} \int\frac{1}{\cos{x}}\, dx &=&\int \frac{1}{\cos{x}}\cdot \frac{ \frac{1}{\cos{x}} +\tan{x} }{\frac{1}{\cos{x}}+\tan{x}} \, dx\\ \\ &=& \int \frac{ \frac{1}{\cos^2{x}} +\frac{\tan{x}}{\cos{x}} }{\frac{1}{\cos{x}}+\tan{x}} \, dx \\ \\ \end{eqnarray*}

ここで、u={\frac{1}{\cos{x}}+\tan{x}}とおくと、

    \begin{eqnarray*} du&=&\frac{\sin{x}}{\cos^2{x}}+\frac{1}{\cos^2{x}}\, dx \\ \\ &=& \left(\frac{1}{\cos^2{x}}+\frac{\tan{x}}{\cos{x}}\right)\, dx \end{eqnarray*}

である。したがって、

    \begin{eqnarray*} \int\frac{1}{\cos{x}}\, dx &=&\int \frac{du}{u} \\ \\ &=& \ln{\left|u \right|} +C \\ \\ &=& \ln{\left|{\frac{1}{\cos{x}}+\tan{x}} \right|} +C \quad \blacksquare \end{eqnarray*}


2.2 secを使う表式

    \begin{eqnarray*} \int\frac{1}{\cos{x}}\, dx &=&\int \sec{x}\cdot \frac{\sec{x}+\tan{x}}{\sec{x}+\tan{x}} \, dx\\ \\ &=&\frac{\sec^2{x}+\sec{x}\tan{x}}{\sec{x}+\tan{x}} \, dx \end{eqnarray*}

　ここで、u=\sec{x}+\tan{x}}とおくと、

    \begin{eqnarray*} du&=& \sec{x}\tan{x}+\sec^2{x}\, dx \end{eqnarray*}

である。したがって、

    \begin{eqnarray*} \int\frac{1}{\cos{x}}\, dx &=&\int \frac{du}{u} \\ \\ &=& \ln{\left|u \right|} +C \\ \\ &=& \ln{\left|{\sec{x}+\tan{x}} \right|} +C \quad \blacksquare \end{eqnarray*}


2. まとめ

　分母分子に適当な関数をかけて、置換積分をおこなうことで簡単に計算できたと思う。よく出てくる変形なので覚えておきたい方法である。


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