secの3乗の不定積分：∫sec^3(x) dx （ ∫1/cos^3(x) dx ）の計算

　セカント(sec)の3乗、すなわち、1/cos の３乗の積分を計算する。うまい変形をすることで解ける。最終的な結果は以下の通り。

結果

$\begin{eqnarray*} \int \sec^3{ x}\,dx&=&\int \frac{dx}{\cos^3{x}}\\ &=& \frac{1}{2} \left( \sec{x} \tan{x} + \ln{\left|\sec{x}+\tan{x}\right|} \right)+C \end{eqnarray*}$

1. 証明
2. まとめ

1. 証明

　 $\sec{x}$ に慣れてない人用に、 $\sec$ の形を使わずに $\frac{1}{\sin{x}}$ を使って変形していきます。ポイントは

部分積分をうまく使う
$\tan^2{x}=1-\frac{1}{\cos^2{x}}$ をうまく使う

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{\cos^3{x}} \, dx &=& \int \frac{1}{\cos{x}}\cdot \frac{dx}{\cos^2{x}} \\ \\ &=& \int \frac{1}{\cos{x}}\cdot \left(\tan{x}\right)' \, dx \\ \\ &=& \frac{\tan{x}}{\cos{x}}- \int\left(\frac{\sin{x}}{\cos^2{x}} \right)\tan{x} \,dx \\ \\ &=& \frac{\tan{x}}{\cos{x}}- \int\frac{1}{\cos{x}} \tan^2{x} \,dx \\ \\ &=& \frac{\tan{x}}{\cos{x}}- \int\frac{1}{\cos{x}} \left( \frac{1}{\cos^2{x}}-1 \right) \,dx \\ \\ &=& \frac{\tan{x}}{\cos{x}}- \int\left( \frac{1}{\cos^3{x}} -\frac{1}{\cos{x}}\right) \, dx \\ \\ &=& \frac{\tan{x}}{\cos{x}}- \int \frac{1}{\cos^3{x}}\, dx -\int\frac{1}{\cos{x}}\right) \, dx\\ \\ \end{eqnarray*}$

ここで、

$\begin{eqnarray*} \int \sec{x} \, dx =\int \frac{1}{\sin{x}} \, dx =\ln{\left|\frac{1}{\cos{x}}+\tan{x}\right|}+C \end{eqnarray*}$

を用いる。

∫sec(x) dx（∫1/cos(x) dx）の積分計算（不定積分）

また、右辺の被積分関数が $\frac{1}{\cos^3{x}}$ の積分を右辺に移項する。

$\begin{eqnarray*} 2\int \frac{1}{\cos^3{x}} \, dx &=& \frac{\tan{x}}{\cos{x}} +\ln{\left|\frac{1}{\cos{x}}+\tan{x}\right|}\\ \\ \int \frac{1}{\cos^3{x}}&=& \frac{1}{2} \left( \sec{x} \tan{x} + \ln{\left|\frac{1}{\cos{x}}+\tan{x}\right|} \right)+C \quad \blacksquare \end{eqnarray*}$