【積分】∫sec^3(x) dx(∫1/cos^3(x) dx)の積分


 セカント(sec)の3乗、すなわち、1/cos の3乗の積分を計算する。うまい変形をすることで解ける。最終的な結果は以下の通り。

結果

    \begin{eqnarray*} \int \sec^3{ x}\,dx&=&\int \frac{dx}{\cos^3{x}}\\ &=& \frac{1}{2} \left( \sec{x} \tan{x} + \ln{\left|\sec{x}+\tan{x}\right|} \right)+C \end{eqnarray*}





1. 証明

 \sec{x} に慣れてない人用に、\sec の形を使わずに \frac{1}{\sin{x}} を使って変形していきます。ポイントは

  • 部分積分をうまく使う
  • \tan^2{x}=1-\frac{1}{\cos^2{x}} をうまく使う

    \begin{eqnarray*} \int \frac{1}{\cos^3{x}} \, dx &=& \int \frac{1}{\cos{x}}\cdot \frac{dx}{\cos^2{x}} \\ \\ &=& \int \frac{1}{\cos{x}}\cdot  \left(\tan{x}\right)' \, dx \\ \\ &=& \frac{\tan{x}}{\cos{x}}- \int\left(\frac{\sin{x}}{\cos^2{x}} \right)\tan{x} \,dx \\ \\ &=& \frac{\tan{x}}{\cos{x}}- \int\frac{1}{\cos{x}} \tan^2{x} \,dx \\ \\ &=& \frac{\tan{x}}{\cos{x}}- \int\frac{1}{\cos{x}} \left( \frac{1}{\cos^2{x}}-1 \right) \,dx \\ \\ &=& \frac{\tan{x}}{\cos{x}}- \int\left( \frac{1}{\cos^3{x}} -\frac{1}{\cos{x}}\right) \, dx \\ \\ &=& \frac{\tan{x}}{\cos{x}}- \int \frac{1}{\cos^3{x}}\, dx -\int\frac{1}{\cos{x}}\right) \, dx\\ \\ \end{eqnarray*}

ここで、

    \begin{eqnarray*} \int \sec{x} \, dx =\int \frac{1}{\sin{x}} \, dx =\ln{\left|\frac{1}{\cos{x}}+\tan{x}\right|}+C \end{eqnarray*}

を用いる。

また、右辺の被積分関数が \frac{1}{\cos^3{x}} の積分を右辺に移項する。

    \begin{eqnarray*} 2\int \frac{1}{\cos^3{x}} \, dx &=& \frac{\tan{x}}{\cos{x}} +\ln{\left|\frac{1}{\cos{x}}+\tan{x}\right|}\\ \\ \int \frac{1}{\cos^3{x}}&=& \frac{1}{2} \left( \sec{x} \tan{x} + \ln{\left|\frac{1}{\cos{x}}+\tan{x}\right|} \right)+C \quad \blacksquare \end{eqnarray*}



\frac{1}{\sin{x}}=\sec{x} とすれば、はじめに示した式と同じである。

2. まとめ

 途中にあった

「部分積分→右辺と同じものが左辺に現れる」

のパターンは以下の積分のときにも見られる。

    \begin{eqnarray*} \int \sqrt{x^2 - a^2} \, dx \end{eqnarray*}

この積分は x=a\sec{t} と置くことで求められる積分であり、途中式に \sec^3{t} が現れる。




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