【微分方程式】ダランベール型(ラグランジュ型)の解法


 ダランベール型(ラグランジュ型)の微分方程式は以下の形をしている。

    \begin{eqnarray*} y=xf(p)+g(p)\quad\left(p=\frac{dy}{dx}\right) \end{eqnarray*}

f(p)=p のときは、クレローの微分方程式である。 ここでは f(p)\neq p の一般的なラグランジュの微分方程式を見ていこう。

例題

次の微分方程式を解け。

    \begin{eqnarray*} y=2x\frac{dy}{dx}+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 \end{eqnarray*}




1. ラグランジュ型の微分方程式の解法

ダランベール(ラグランジュ)の微分方程式

    \begin{eqnarray*} y=xf(p)+g(p)\quad\left(f(p)\neq q\right)\cdots (1) \end{eqnarray*}

の解き方は以下の3STEP である。

  1. x で微分する
  2. 1次線形型の微分方程式を解く
  3. 一般解、特殊解、特異解を調べる

ラグランジュの微分方程式を解く上では、x で微分すると線形型に変形できること が重要である。このことを確認して、具体的な例題を解いていくのが良い。 具体的な形がないとかなりわかりにくいと思う。

*このタイプの微分方程式を学ぶためには、まずクレローの微分方程式の解法を学ばなくてはならない。特に重要な媒介変数表示された一般解の表現についてはクレロー型のところで説明している。


xで微分する

(1) の両辺を x で微分する。

    \begin{eqnarray*} &&p=f(p)+x\frac{df(p)}{dp}\cdot\frac{dp}{dx}+\frac{dg(p)}{dp}\cdot\frac{dp}{dx}\\\\ \Leftrightarrow \quad && \left\{f(p)-p\right\}+xf'(p)\frac{dp}{dx}+g'(p)\frac{dp}{dx}=0\\\\ \Leftrightarrow \quad && \frac{dx}{dp}+\frac{xf'(p)}{f(p)-p}+\frac{g'(p)}{f(p)-p}=0\quad(p\neq 0) \end{eqnarray*}


これがどのタイプの微分方程式になるかわかるだろうか



    \begin{eqnarray*} y'+Q(x) y + R(x)=0 \end{eqnarray*}

 と同じ線形型の微分方程式となっている。ここで x\to p,y\to x に対して

    \begin{eqnarray*} \begin{cases} Q(p)=\frac{f'(p)}{f(p)-p}\\ R(p)=\frac{g'(p)}{f(p)-p} \end{cases} \end{eqnarray*}

としておく。これは覚えるものではない。実際の問題では、ラグランジュの微分方程式の両辺を x で微分し、線形型の微分方程式に変形していけば良い。


線形型微分方程式を解く

    \begin{eqnarray*} \frac{dx}{dp}+R(p) x + Q(p)=0 \end{eqnarray*}

の線形型に対して、両辺に

    \begin{eqnarray*} e^{\int R(p)\,dp} \end{eqnarray*}

をかけて整理すると

    \begin{eqnarray*} &&\frac{d}{dp}\left(xe^{\int R(p)\, dp}\right)=-\int Q(p)e^{\int R(p)\,dp}\,dp\\\\ \Leftrightarrow \quad && x(p)=-e^{-\int R(p)\, dp}\left\{ \int Q(p)e^{\int R(p)\,dp}\,dp+C\right\}\quad\blacksquare \end{eqnarray*}

 これが一般解である。これもまた覚えるものではない。


 ここで得られた形は x,p,C を含む(C は積分定数)式で表される。 これを x=h(p,C) としておく。

すると、x,y,p の関係はこの式と(1)で表される。

    \begin{eqnarray*} \begin{cases} y=xf(p)+g(p)\quad \cdots (1)\\ x=h(p,C)\quad \cdots (2) \end{cases} \end{eqnarray*}


この2式は x,yp によって表されている、つまり p を媒介変数とした形になっている。x,y の関係は p によって結び付けられている。

したがって、(1)(2)は微分方程式の一般解を媒介変数で表した形になっており、2式から p を消去したものは x,y,C のみで表された一般解になる。



一般解、特殊解、特異解を調べる

最後に一般解、特殊解、特異解を調べる方法を説明する。


一般解

 これは上で説明した通りである。 一般解は媒介変数表示で表すと、上の(1)(2)の2式になる。また、p を消去した形でも書くことができる。


特殊解

 上の一般解は p\neq 0 のときのものである。p=0 の解が特殊解に対応する。 すなわち、(1)より特殊解は

    \begin{eqnarray*} y=xf(\textcolor{red}{0})+g(\textcolor{red}{0}) \end{eqnarray*}

である。特殊解は適当な C を選ぶことにより一般解に含まれる場合がある。


特異解

 得られた一般解を C で偏微分して得る。クレロー型の場合は特異解は一般解の包絡線になっていたことを思い出す。

特異解がない場合もある(ここで扱う例題など)。


 以上のように、ラグランジュの微分方程式では一般解、特殊解、特異解を調べる必要がある。


2. 例題の解答

 解き方が複雑なので一通り解答を見て、再度自分で解くことをお勧めする。 特に p の消去する計算は複雑であるし、自分のやり方もあると思う。


【解答】 例題は以下のように書けるラグランジュの微分方程式である。

    \begin{eqnarray*} y=2xp+p^2\quad(p=\frac{dy}{dx})\quad \cdots (1) \end{eqnarray*}


一般解

x で微分:

    \begin{eqnarray*} &&p=2p+2x\frac{dp}{dx}+2p\frac{dp}{dx}\\\\ \Leftrightarrow \quad&& p+2x\frac{dp}{dx}+2p\frac{dp}{dx}=0\\\\ \Leftrightarrow \quad&& \frac{dx}{dp}+\frac{2}{p}=-2\quad(p\neq 0) \end{eqnarray*}

p=0 は特殊解である。


線形型を解く:

両辺に e^{\int \frac{2}{p}\,dp}\to p^2 をかけて整理すると

    \begin{eqnarray*} &&\frac{d}{dp}\left(xp^2\right) = -2p^2\\\\ \Leftrightarrow \quad&& xp^2 = -2\int p^2 \,dp=-\frac{2}{3}p^3 + C_1\\\\ \Leftrightarrow \quad&& 3xp^2 + 2p^3 = C \quad(C\equiv 3C_1)\quad \cdots (2) \end{eqnarray*}


以上より、一般解の媒介変数表示は(1)(2)で表される。

    \begin{eqnarray*} \begin{cases} y=2xp+p^2\\ 3xp^2+2p^3=C \end{cases} \end{eqnarray*}


p を消去:

パラメータの p を消去していく。(1)より

    \begin{eqnarray*} \textcolor{blue}{p^2 = y-2xp} \end{eqnarray*}

を用いて次数を下げていく。(2)について

    \begin{eqnarray*} &&3x\textcolor{blue}{p^2} + 2p\cdot \textcolor{blue}{p^2}=C\\\\ \Leftrightarrow \quad && 3x(\textcolor{blue}{y-2xp})+2p(\textcolor{blue}{y-2xp})=C\\\\ \Leftrightarrow \quad && -xy+2x^2 p + 2y p =C\\\\ \Leftrightarrow \quad && \textcolor{red}{xy+C=2p(x^2+y)}\quad \cdots(3) \end{eqnarray*}


これの両辺を2乗して

    \begin{eqnarray*} &&(xy+C)^2 = 4\textcolor{blue}{p^2} (x^2+y)^2\\\\ \Leftrightarrow \quad && (xy+C)^2 = 4(\textcolor{blue}{y-2xp})(x^2+y)^2\\\\ \Leftrightarrow \quad && (xy+C)^2 = 4y(x^2+y)^2 -4x(x^2+y)\cdot \textcolor{red}{2p(x^2+y)} \end{eqnarray*}

最後の行で、式(3)の形をわかりやすく書いた。(3)を代入して、

    \begin{eqnarray*} &&(xy+C)^2 = 4y(x^2+y)^2 -4x(x^2+y)\textcolor{red}{(xy+C)}\\\\ \Leftrightarrow \quad && (xy+C)^2 = 4(x^2+y)^2\Bigl[y(x^2+y)-x(xy+C)\Bigr]\\\\ \Leftrightarrow \quad && (xy+C)^2 = 4(x^2+y)^2\Bigl[\cancel{x^2y}+y^2-\cancel{x^2y}-Cx)\Bigr]\\\\ \Leftrightarrow \quad && (xy+C)^2 = 4(x^2+y)(y^2-Cx)\quad \blacksquare \end{eqnarray*}

これが(1)(2)から p を消去して得られる一般解である。


特殊解

p=0 のとき、(1)より y=0 である。このとき、一般解へ代入すると

    \begin{eqnarray*} C^2 = 4x^2\cdot (-Cx)=-4Cx^3 \end{eqnarray*}

であり、C=0 のときの解に対応することがわかる。 したがって、特殊解も含めて

    \begin{eqnarray*} (xy+C)^2 = 4(x^2+y)(y^2-Cx)\quad \blacksquare \end{eqnarray*}

の形になる。


特異解

一般解の式を C で偏微分して

    \begin{eqnarray*} &&2(xy+C)=4(x^2+y)(-x)\\\\ \Leftrightarrow \quad&& C=-(2x^2+3y)x \end{eqnarray*}

この C を一般解へ代入して

    \begin{eqnarray*} y=-x^2 \end{eqnarray*}

を得る。これは(1)を満たさないので、特異解ではない。 したがって特異解はない。


*y=-x^2 が(1)を満たさないことは

    \begin{eqnarray*} p=\frac{dy}{dx}=-2x \end{eqnarray*}

    \begin{eqnarray*} y=2px+p^2\quad\cdots(1) \end{eqnarray*}

へ代入するとわかる。


3. まとめ

 とにかくダランベール型(ラグランジュ型)やクレロー型は x で微分してみる。 そうすると線形型の微分方程式が得られて解くことができる。

 その後、一般解が媒介変数表示で表されているため、p を消去して x,yC の関係式が得られる。特殊解、特異解についても調べることを忘れないようにしよう。



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