【積分】三次関数と直線が3交点をもつとき、囲まれた領域の面積の「和」


 図の S_1S_2 の面積の和を求めたい。

 ちなみに、S_1=S_2 となるのは \gamma が三次関数の変極点になるとき。





1. 積分計算

 3つ交点がある場合の面積を考えよう。交点の x 座標をそれぞれ、\alpha,\beta,\gamma\,(\alpha<\gamma<\beta) としておく。

 2つの領域に分けてそれぞれの面積 S_1,S_2 を求める。以下に注意する。

  • 関数の差のもつ因数は、(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)
  • (上の式)-(下の式)に注意
  • 3次関数の x^3 の係数は a<0 とする

S1 について

    \begin{eqnarray*} S_1&=&\int_{\alpha}^{\gamma} -a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) \, dx\\\\ &=& -a\int_{\alpha}^{\gamma} \left\{(x-\gamma)-(\alpha-\gamma)\right\}(x-\beta)(x-\gamma) \, dx \\\\ &=& -a\int_{\alpha}^{\gamma} (x-\gamma)^2(x-\beta) \, dx +a(\alpha-\gamma)\int_{\alpha}^{\gamma}(x-\beta)(x-\gamma)\, dx \\\\ &=& -a\int_{\alpha}^{\gamma} (x-\gamma)^2\left\{(x-\gamma)-(\beta-\gamma)\right\} \, dx \\ &&+a(\alpha-\gamma)\int_{\alpha}^{\gamma}(x-\gamma)\left\{(x-\gamma)-(\beta-\gamma)\right\} \, dx\\\\ &=& -a\int_{\alpha}^{\gamma}(x-\gamma)^3\,dx +a(\beta-\gamma)\int_{\alpha}^{\gamma}(x-\gamma)^2 \,dx \\ &&+a(\alpha-\gamma)\int_{\alpha}^{\gamma}(x-\gamma)^2 \, dx -a(\alpha-\gamma)(\beta-\gamma)\int_{\alpha}^{\gamma}(x-\gamma)\,dx \\ \\ &=& +\frac{a}{4}(\alpha-\gamma)^4-\frac{a}{3}(\beta-\gamma)(\alpha-\gamma)^3\\ &&-\frac{a}{3}(\alpha-\gamma)^4 +\frac{a}{2}(\beta-\gamma)(\alpha-\gamma)^3 \\ \\ &=& \frac{a}{12}(\alpha-\gamma)^3 \left\{ 3(\alpha-\gamma)-4(\beta-\gamma)-4(\alpha-\gamma)+6(\beta-\gamma)\right\}\\ \\ &=& \frac{a}{12}(\alpha-\gamma)^3(-\alpha+2\beta-\gamma) \\ \\ &=& \frac{-a}{12}(\gamma-\alpha)^3 (2\beta-\alpha-\gamma) \quad\blacksquare \end{eqnarray*}

 \alpha<\gamma<\betaa<0 より面積 S>0 になる。

 \beta\rightarrow\gamma で いわゆる1/12公式になる。


S2 について

S_1 の結果を利用する。

  • 積分区間 \alpha\right\gamma\gamma\right\beta にする
  • (上の式)-(下の式)を入れ替える(符号を逆にする)

途中(上の計算の5個目の等号)までは同じである。

    \begin{eqnarray*} S_2&=& a\int_{\gamma}^{\beta}(x-\gamma)^3\,dx -a(\beta-\gamma)\int_{\gamma}^{\beta}(x-\gamma)^2 \,dx \\ &&-a(\alpha-\gamma)\int_{\gamma}^{\beta}(x-\gamma)^2 \, dx +a(\alpha-\gamma)(\beta-\gamma)\int_{\gamma}^{\beta}(x-\gamma)\,dx \\ \\ &=& +\frac{a}{4}(\beta-\gamma)^4-\frac{a}{3}(\beta-\gamma)^4\\ &&-\frac{a}{3}(\alpha-\gamma)(\beta-\gamma)^3 +\frac{a}{2}(\alpha-\gamma)(\beta-\gamma)^3 \\ \\ &=& \frac{a}{12}(\beta-\gamma)^3 \left\{-\beta+\gamma+2(\alpha-\gamma)\right\}\\ \\ &=& \frac{-a}{12}(\beta-\gamma)^3(\beta+\gamma-2\alpha)\quad\blacksquare \end{eqnarray*}

 S_1 と同じく \alpha<\gamma<\betaa<0 より面積 S>0 になる。

 \alpha\rightarrow\gamma で いわゆる1/12公式になる。



S1 + S2 の計算

 S_1S_2 足すのはしんどいですね。

    \begin{eqnarray*} S&=&S_1+S_2\\\\ &=& \frac{-a}{12}(\gamma-\alpha)^3 (2\beta-\alpha-\gamma) + \frac{-a}{12}(\beta-\gamma)^3(\beta+\gamma-2\alpha)\\ \\ &=& \frac{-a}{12}\left\{ (\gamma-\alpha)^3(2\beta-\alpha-\gamma)+ (\beta-\gamma)^3(\beta+\gamma-2\alpha) \right\} \end{eqnarray*}

\gamma=\frac{\alpha+\beta}{2}+q と置くと、

    \begin{eqnarray*} &&(\gamma-\alpha)^3(2\beta-\alpha-\gamma)+ (\beta-\gamma)^3(\beta+\gamma-2\alpha)\\ \\ &=& +\left(\frac{\alpha+\beta}{2}+q-\alpha\right)^3 \left(2\beta-\alpha-\frac{\alpha+\beta}{2}-q\right)\\ &&+\left(\beta-\frac{\alpha+\beta}{2}-q\right)^3 \left(\beta+\frac{\alpha+\beta}{2}+q-2\alpha\right)\\ \\ &=& +\left(\frac{\beta-\alpha}{2}+q\right)^3 \left(\frac{3}{2}(\beta-\alpha)-q\right)\\ &&+\left(\frac{\beta-\alpha}{2}-q\right)^3 \left(\frac{3}{2}(\beta-\alpha)+q\right) \end{eqnarray*}

である。\frac{\beta-\alpha}{2}=p と置くと、

    \begin{eqnarray*} \frac{12}{-a}S&=& +(p+q)^3 \left(3p-q\right)\\ &&+(p-q)^3 \left(3p+q\right)\\ \\ &=& +(p^3+3p^2q+3pq^2 +q^3)\left(3p-q\right)\\ &&+(p^3-3p^2q+3pq^2-q^3)\left(3p+q\right)\\\\ &=& 3p\cdot 2(p^3+3pq^2) -q\cdot 2(3p^2q+q^3)\\ \\ &=& 6p^4+18p^2q^2-6p^2q^2-2q^4 \\ \\ &=& 6p^4+12p^2q^2-2q^4 \end{eqnarray*}

    \begin{eqnarray*} \therefore \; S=\frac{-a}{12}\left(6p^4+12p^2q^2-2q^4\right) \end{eqnarray*}

 この答えを確かめるために、\gamma\rightarrow\beta とする。このとき、

    \begin{eqnarray*} q=\gamma-\frac{\beta+\alpha}{2}=\frac{\beta-\alpha}{2}=p \end{eqnarray*}

であるので、

    \begin{eqnarray*} S&=&\frac{-a}{12}\cdot 16p^4\\ \\ &=&\frac{-a}{12}\cdot 16\left(\frac{\beta-\alpha}{2}\right)\\ \\ &=&\frac{-a}{12}(\beta-\alpha)^4 \end{eqnarray*}

で 1/12公式に一致する。



p,q を使ったものを最終的な答えにしておこう。

S1+S2の面積

    \begin{eqnarray*} S&=&2(3p^4+6p^2q^2-q^4)\\ \\ p&=&\frac{\beta-\alpha}{2}\\ \\ q&=&-\frac{\beta+\alpha-2\gamma}{2} \end{eqnarray*}



2. まとめ

 これは公式やらあるのだろうか。


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