円環電流が作る軸上の磁場をビオ=サバールの法則で計算する


 よくある電磁気の問題を扱う。この例題を通してビオ=サバールの法則の使い方を学ぶことができる。

例題

xy 平面上の半径 a で電流 I の円環電流が、{\bf r}=(0\,0\,z) に作る磁場をビオ=サバールの法則を用いて求めよ。(図を参照。)





1. 円環電流におけるビオ=サバールの法則

【解答の方針】

  • 電流密度 d{\bf l} の電流素片が、電流素片から {\bf R} だけ離れた場につくる微小磁場 d{\bf B} の集まり(\int)を求める
  • 対称性から z 方向のみの磁場だけが残る(x,y 方向は互いに打ち消しあう)
  • なす角度 \theta は自分で設定

 ビオ=サバールの法則は以下の通り。微小体積 dV 中にある電流素片が位置 {\bf R} に磁場をつくる。


ビオ=サバールの法則

    \begin{eqnarray*} {\bf B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int \frac{\overline{\bf j}\times {\bf R}}{R^3} dV \end{eqnarray*}


 外積をとるため、位置 {\bf R} にできる微小磁場 d{\bf B} の方向は、電流密度 {\bf j}{\bf R} がつくる平面に垂直な方向である(下図)。

 dV は微小体積領域(3次元)である。円環電流の場合は細い導線(1次元)のようなものを考えるので、{\bf j}dV = Id{\bf l} として計算する。

 つまり、微小体積 dV の中にある微小電流を考えているが、1次元の導線の場合は dV\rightarrow dl と細かい線素に置き換えてしまう。



2. 解答

2.1 図を見て問題設定する

 図(a)のように \theta を設定する。図(b)は、 d{\bf B} が電流素片 Id{\bf l}R に垂直であることを示している。

 積分を実行すると、d{\bf B}x,y 成分は互いに打ち消しあってゼロになる(下図)。したがって、d{\bf B}z 成分である dB_z のみ計算すれば良い。



2.2 ビオ=サバールの法則の計算(z軸上)

 位置 {\bf R}={\bf r-r'} の磁場 {\bf B}dB_z の積分になる。\sin{\theta} になるのは幾何学的な関係からである(図(b)を見てほしい)。また、\sin{\theta} の値も直角三角形であるため \frac{a}{\sqrt{z^2+a^2}} と計算できる。

    \begin{eqnarray*} B_z&=&\oint dB_z\\ &=& \oint dB \, \sin{\theta}\\ &=&\frac{a}{\sqrt{z^2+a^2}}\oint dB \end{eqnarray*}


以下に注意して計算していく。

  • \oint dB に対してビオ=サバールの法則をそのまま使う
  • ベクトルの外積は |{\bf a}\times{\bf b}|=|{\bf a}||{\bf b}|\sin{\theta} を利用
  • 図より、d{\bf l}{\bf R}垂直|d{\bf l}\times{\bf R}|=|d{\bf l}||{\bf R}|
  • \oint |d{\bf l}|線積分は単なる円周の長さ2\pi a

    \begin{eqnarray*} B_z&=&\frac{a}{\sqrt{z^2+a^2}} \oint dB \\ &=& \frac{a}{\sqrt{z^2+a^2}}\cdot \frac{\mu_0}{4\pi}\oint  \frac{\left| Id{\bf l}\times ({\bf r-r'})\right|}{\left| {\bf r - r'}\right|^3} \\ \\ &=& \frac{\mu_0 I}{4\pi}\cdot\frac{a}{\sqrt{z^2+a^2}}\oint  \frac{|d{\bf l}||{\bf r-r'}|}{|{\bf r-r'}|^3} \\ \\ &=& \frac{\mu_0 I}{4\pi}\cdot\frac{a}{\sqrt{z^2+a^2}}\oint  \frac{|d{\bf l}|}{|{\bf r-r'}|^2} \\ \\ &=& \frac{\mu_0 I}{4\pi}\cdot\frac{a}{\sqrt{z^2+a^2}}\oint  \frac{|d{\bf l}|}{z^2+a^2}  \\ \\ &=& \frac{\mu_0 I}{4\pi}\cdot\frac{a}{\sqrt{z^2+a^2}}\cdot\frac{1}{z^2+a^2}\,\oint d{\bf l} \\ \\ &=& \frac{\mu_0 I}{4\pi}\cdot\frac{a}{\left(z^2+a^2\right)^{\frac{3}{2}}} \cdot 2\pi a\\ &=& \frac{\mu_0 I a^2}{2\left(z^2+a^2 \right)^\frac{3}{2}} \quad \blacksquare \end{eqnarray*}



2.3 円環から遠く離れた場所(a<<z)の磁場

 円環から遠く離れた場所に作る軸上の磁場を考える。上の式について分母は \sqrt{z^\frac{3}{2}}=z^3 として近似する。

 磁気モーメント \mu=IA を導入する(\mu=\mu_0 IAとする場合もある)。A は円環の面積 \pi a^2 である。磁気モーメントを用いて軸上の磁場を表すことができる。

    \begin{eqnarray*} B_z\sim \frac{\mu_0}{4\pi}\cdot\frac{2\mu}{z^3} \quad \blacksquare \end{eqnarray*}



2.4 円環の中心(z=0)における磁場

 2.2 の結果に z=0 を代入すれば良い。

    \begin{eqnarray*} B_z(z=0)&=&\frac{\mu_0 I a^2}{2\left(a^2 \right)^\frac{3}{2}} \\ \\ &=& \frac{\mu_0 I }{2a} \quad \blacksquare \end{eqnarray*}



3. 円環電流が作る磁場(全空間)

 ここの例題では、z 軸上のみを扱った。しかし、z 軸上にない場所については、 d{\bf B}x,y 成分は互いに打ち消し合わずに残る。ここでは計算は行わず最終的な絵だけを書いておく。

図(c):円環電流が作る磁場を表す。上で見てきたように、ビオ=サバールの法則で各場所の磁場 {\bf B} は求められる。

図(d):棒磁石が作る磁場の様子を表す。円環電流は棒磁石と同じような磁場の作り方をすることが確認できる。

図(e):磁気双極子モーメントも棒磁石と同じような磁場の作り方をする。したがって、円環電流は磁気双極子モーメント {\bf \mu} によって表すこともできる(2.3 を参照)。



4. まとめ

 よくある円環電流が作る磁場の問題を見てきた。ビオ=サバールの法則の使い方を学ぶのにちょうど良い例題である。定期試験にもよく出される。

 円環電流による磁場を磁気モーメントで表した。個体物性では原子の周りを回る電子が円環電流の役割をする。その時には、磁気モーメントを軌道角運動量 \hbar{\bf L} で表す場面に出会うであろう。この話の詳細は別の項目で扱う。




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