【高校数学】面積を求める：1/6公式、1/12公式、1/30公式などパターンまとめ

　1/6公式、1/12公式などパターンをまとめた。大学入試でよく使った公式である。導出は数学Ⅲの部分積分を使わず、すべて数学Ⅱの積分レベルで工夫した。

（追い詰められた人向けの格言：面積を求める穴埋め問題なら、全部絶対値つけて正にしてしまえばよい。）

1. 導出のために知っておきたいこと
- 方程式と交点の対応
- 公式を導くのに必要な積分のテクニック
2. 積分公式パターン
3. まとめ

1. 導出のために知っておきたいこと

　２つのことだけ押さえておけば、面積の公式は導くことができる。

方程式と交点の対応

　中学数学では直線と直線の交点の座標を求めるときに、方程式を解いて求めていたと思う。同じようにして、放物線（２次関数）と直線（１次関数）の交点の座標を求めたければ、方程式を解けば良い。以下の簡単な例題で学ぶ。

例題

放物線 $y=x^2 -2x +1$ と直線 $y=2x-2$ の交点を求めよ。

　図は以下の通りである。交点とは２つの式を満たす座標 $(x,y)$ のことであるので、連立方程式を解けばよかった。

　連立方程式を解けば、２つの座標 $(x,y)=(1,0),\,(3,4)$ が求めることができる。

いま、 $f(x)$ を（直線の式）-（放物線の式）としてみる。そうすると $f(x)$ は以下のように、２つの交点の $x$ 座標を因数にもつ形に必ず因数分解できる。

$\begin{eqnarray*} f(x)&=&(2x-2)-(x^2-2x+1)\\ &=&2x-2-x^2+2x-1\\&=&-(x^2-4x+3)\\ &=&-(x-1)(x-3) \end{eqnarray*}$

　これは非常に重要な結果である。これは直線と放物線の関係に限ったことではない。直線と３次関数の場合でも同様に、交点が３つあれば、それぞれの交点の $x$ 座標を $\alpha,\beta,\gamma$ として、

$\begin{eqnarray*} (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) \end{eqnarray*}$

の因数を持った関数で表すことができる。

大事な点をまとめておく。曲線は直線、放物線などを表す。

$f(x)$ を（曲線 $A$ を表す式）-（曲線 $B$ を表す式）とすると、 $f(x)$ は２つの曲線 $A$ , $B$ の交点を因数にもつ形に因数分解できる
$f(x)$ の最高次の符号に注意する（2.1以降の例で確認）。

公式を導くのに必要な積分のテクニック

　1/6公式などを導くために必要な積分テクニックを書いておく。

$\begin{eqnarray*} \int (x-a)^2 \,dx = \frac{1}{3}(x-a)^3 + C \end{eqnarray*}$

$C$ は積分定数である。この積分のポイントは $(x-a)^2$ をあたかも以下のような $x^2$ の積分のように扱うことである。

$\begin{eqnarray*} \int x^2 \, dx = \frac{1}{3}x^3 + C \end{eqnarray*}$

　 $(x-a)^2$ を展開して積分しても良いが、手間がかかるのでまとめて積分するのが良い。これは $(x-a)^3$ や $(x-a)^n$ でも同じようにできる。

$\begin{eqnarray*} \int (x-a)^3 \,dx = \frac{1}{4}(x-a)^4 + C \end{eqnarray*}$

2. 積分公式パターン

1/6公式（２次−１次型）

　定番の1/6公式である。２次関数 $y=f(x)$ と１次関数 $y=g(x)$ の場合を考える。係数は適当に $a,b,c,d,e$ としている（ $a\neq 0,d\neq 0$ ）。

$\begin{eqnarray*} f(x)&=&ax^2+bx+c \\ g(x)&=&dx+e \end{eqnarray*}$

　図は下のようになる。交点の $x$ 座標を小さい方から $\alpha,\beta$ とした。

　面積 $S$ を求めよう。面積は（上の関数）-（下の関数）を $\alpha$ から $\beta$ まで積分すれば良い。この図では上の関数は $g(x)$ 、下の関数は $f(x)$ である。したがって、面積は

$\begin{eqnarray*} S&=&\int_{\alpha}^{\beta} g(x)-f(x) \,dx \\ \\ &=&\int_{\alpha}^{\beta} (dx+e) - (ax^2+bx+c)\\ &=&\int_{\alpha}^{\beta} -ax^2 + (d-b)x + (e-c) \, dx \end{eqnarray*}$

　ここで、1.1での内容を思い出してほしい。交点の $x$ 座標が $\alpha,\beta$ であるので、被積分関数は $(x-\alpha)(x-\beta)$ を必ず因数にもつ。ただし、今の場合は、 $x^2$ の係数（ $-a$ ）はそのままになることに注意する。

$\begin{eqnarray*} S&=&\int_{\alpha}^{\beta} -a(x-\alpha)(x-\beta) \, dx \end{eqnarray*}$

　この積分は、数学Ⅲであれば部分積分を実行すれば良いが、ここでは数学Ⅱの範囲で工夫する。うまい変形をしよう。 $-\beta+\beta(=0)$ をはさみ込む。

$\begin{eqnarray*} S&=&\int_{\alpha}^{\beta} -a(x-\alpha)(x-\beta) \, dx \\ \\ &=&\int_{\alpha}^{\beta} -a\left\{\textcolor{red}{(x-\beta)-(\alpha-\beta)}\right\}(x-\beta) \,dx \\ \\ &=&\int_{\alpha}^{\beta} -a(x-\beta)^2+a(\alpha-\beta)(x-\beta) \,dx \\ \\ &=&\int_{\alpha}^{\beta} -a(x-\beta)^2\,dx +a(\alpha-\beta) \int_{\alpha}^{\beta}(x-\beta) \,dx \\ \\ &=& -a\left[\frac{1}{3}(x-\beta)^3\right]_{\alpha}^{\beta} +a(\alpha-\beta) \left[\frac{1}{2}(x-\beta)^2\right]_{\alpha}^{\beta} \\ \\ &=& -\frac{a}{3}(\alpha-\beta)^3+\frac{a}{2}(\alpha-\beta)^3 \\ \\ &=& \frac{a}{6}(\beta-\alpha)^3 \quad \blacksquare \end{eqnarray*}$

この計算のコツは以下の３点である。

$(x-\alpha)=\textcolor{red}{(x-\beta)-(\alpha-\beta)}$ の変形
$(x-\alpha)^2$ の積分（1.2参考）
２次の係数（ここでは $-a$ ）に注意

　ここでは２次の係数について $a>0$ であるため、 $S>0$ である。これは放物線が下に凸になっているためである。放物線が上に凸の場合（ $a<0$ ）、面積の計算は、（放物線の式）-（直線の式）を被積分関数とすれば正しい符号で面積が導ける（ $S>0$ ）。

　このような符号を考えるのが面倒で、公式化してしまえ！ってなったのが、絶対値付き $|a|$ の1/6公式である。

1/6公式

二次関数と直線で囲まれた領域の面積 $S$ は、二次関数と直線の２つの交点の $x$ 座標を $\alpha,\beta(>\alpha)$ とすると、

$\begin{eqnarray*}S=\frac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3\end{eqnarray}$

ここで、 $a$ は二次関数の $x^2$ の係数である。

　なぜ絶対値が必要になったか？いまいちど考えてみてほしい。ヒントは（上の関数）-（下の関数）で積分すれば必ずプラスになるということ。

1/6公式（２次−２次型①）

　上に凸の放物線と下に凸の放物線で囲まれた領域の面積 $S$ を求めよう。

　図のように交点の $x$ 座標を $x=\alpha,\beta$ とする。この面積を求めるときも、（上の関数 $f(x)$ ）-（下の関数 $g(x)$ ）とすればよい。

　関数の差を計算すれば、因数として $(x-\alpha)(x-\beta)$ が出てくる。このとき $x^2$ の係数に注意する。もともと２つの関数が２次関数なので、差をとった関数の $x^2$ の係数は、

（ $f(x)$ の $x^2$ の係数(>0)）-（ $g(x)$ の $x^2$ の係数(<0)）

でプラスになる。この２次の係数の差を $a'$ と置いてしまえば、そのまんま「直線と放物線で囲まれた面積」の1/6公式が使える。ここでは、絶対値をとったバージョンで書いておく。

1/6公式（上に凸・下に凸）

上に凸の二次関数と下に凸の二次関数で囲まれた領域の面積 $S$ は、それぞれの２次関数における２つの交点の $x$ 座標を $\alpha,\beta(>\alpha)$ とすると、

$\begin{eqnarray*}S=\frac{|a'|}{6}(\beta-\alpha)^3\end{eqnarray}$

ここで、 $a'$ は２つ二次関数における $x^2$ の係数の差である。

1/6公式（２次−２次型②）

　同じく２つの放物線で囲まれた面積である。ここでは、両方とも上に凸の場合を考えている。

　ただし、２次の係数が同じ場合は囲まれた領域は存在しない（１次方程式の解が１個になる）ので、ここでは２次の係数が異なる２つの２次関数を考えている。

　ここまで見てきたように（上の関数 $f(x)$ ）-（下の関数 $g(x)$ ）とすると、因数として $(x-\alpha)(x-\beta)$ が出てくる。

　したがって、「上に凸の放物線と下に凸の放物線で囲まれた面積」と同じ公式が使える。２次関数-２次関数型を一般化して書いておく。

1/6公式（２つの二次関数）

$x^2$ の係数が異なる２つの二次関数で囲まれた領域の面積 $S$ は、それぞれの二次関数における２つの交点の $x$ 座標を $\alpha,\beta(>\alpha)$ とすると、

$\begin{eqnarray*}S=\frac{|a'|}{6}(\beta-\alpha)^3\end{eqnarray}$

ここで、 $a'$ は２つ二次関数における $x^2$ の係数の差である。

1/12公式（３次-１次（接線）型）

　三次関数と一次関数（接線）で囲まれた領域の面積 $S$ を計算する。

　このパターンのポイントは以下である。

三次方程式なので交点が３つなら $(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=0$
「接する」=「方程式の解は重解（ $\beta$ は重解）」
$x=\beta$ が重解であれば、因数は $(x-\beta)^2=(x-\beta)(x-\beta)$ 型

　面積 $S$ を計算する。（上の式 $g(x)$ ）-（下の式 $f(x)$ ）で計算する。３次関数の $x^3$ の係数を $a<0$ とする。

$\begin{eqnarray*} S&=& \int_{\alpha}^{\beta} g(x)-f(x) \,dx \\ \\ &=& \int_{\alpha}^{\beta} -a(x-\alpha)(x-\beta)^2 \,dx \\ \\ &=& \int_{\alpha}^{\beta} -a\left\{(x-\beta)-(\alpha-\beta)\right\}(x-\beta)^2 \,dx \\ \\ &=& -a\int_{\alpha}^{\beta} (x-\beta)^3\, dx +a(\alpha-\beta)\int_{\alpha}^{\beta}(x-\beta)^2 \,dx \\ \\ &=& -a\left[\frac{1}{4}(x-\beta)^4\right]_{\alpha}^{\beta} +a\left[\frac{1}{3}(x-\beta)^3\right]_{\alpha}^{\beta}\\ \\ &=& \frac{a}{4}(\alpha-\beta)^4 -\frac{a}{3}(\alpha-\beta)^4\\ \\ &=& \frac{-a}{12}(\beta-\alpha)^4 \quad (\because \,(\beta-\alpha)^4=(\alpha-\beta)^4)\quad \blacksquare \end{eqnarray*}$

　いま、 $a<0$ としているため、 $S>0$ で出てきている。（上の式 $g(x)$ ）-（下の式 $f(x)$ ）で丁寧に計算しているため、面積は正ででてきた。

　1/6公式を導いたときと同様に再度、計算のコツをまとめておく。

$(x-\alpha)=(x-\beta)-(\alpha-\beta)$ の変形
$(x-\alpha)^3$ の積分（1.2参考）
３次の係数（ここでは $-a$ ）に注意

1/12公式をまとめておく。

1/12公式

三次関数と直線（その三次関数の接線）で囲まれた領域の面積 $S$ は、三次関数と接線の接点( $x=\beta$ )以外のもう１つの交点の $x$ 座標を $\alpha$ とすると、

$\begin{eqnarray*}S=\frac{|a|}{12}(\beta-\alpha)^4\end{eqnarray}$

ここで、 $a$ は三次関数の $x^3$ の係数である。

1/3公式（２次-１次接線＋端区切り型）

　図のように放物線の接線と $x$ 軸に垂直な直線 $x=\gamma$ で囲まれた領域の面積を求めよう。

　直線が接線なので、 $(x-\alpha)^2$ を因数にもつ。以下に注意する。

二次関数の $x^2$ の係数は $a>0$
積分区間は $\alpha\rightarrow\gamma$

$\begin{eqnarray*} S&=&\int_{\alpha}^{\gamma} a(x-\alpha)^2 \, dx \\ \\ &=& \frac{a}{3}\left[(x-\alpha)^3 \right]_{\alpha}^{\gamma} \\ \\ &=& \frac{a}{3}(\gamma-\alpha)^3\quad \blacksquare \end{eqnarray*}$

$a>0$ 、 $\alpha<\gamma$ より $S>0$ である。

$\gamma<\alpha$ も適用できるように、全部絶対値つけて公式化してしまう。

1/3公式

二次関数の $x=\alpha$ における接線、および $x=\gamma$ で囲まれる領域の面積 $S$ は、

$\begin{eqnarray*}\frac{|a|}{3}|(\gamma-\alpha)^3|\end{eqnarray*}$

で表すことができる。

1/12公式（２次-１次-１次型）

　よくある放物線と２つの接線で囲まれる領域の面積を求めたい。

このパターンでは $\gamma$ は計算できる。 $\gamma=\frac{\beta+\alpha}{2}$ となる（ $\alpha$ と $\beta$ の中点）。

　それぞれ、２つの領域(オレンジ四角・青四角)に分けた面積を足し合わせる。注意点は以下の通り。

それぞれの領域について 1/3公式 が使える
$\alpha<\gamma=\frac{\alpha+\beta}{2}<\beta$
二次関数の $x^2$ の係数は $a>0$

面積を計算する。

$\begin{eqnarray*} S&=&\frac{|a|}{3}\left|\left(\frac{\beta+\alpha}{2}-\alpha\right)^3\right|+\frac{|a|}{3}\left|\left(\beta-\frac{\beta+\alpha}{2}\right)^3\right| \\ \\ &=& \frac{2a}{3}\left(\frac{\beta-\alpha}{2}\right)^3\\ \\ &=& \frac{a}{12}(\beta-\alpha)^3\quad \blacksquare \end{eqnarray*}$

　これもまた 1/12 公式である。

1/12公式

二次関数と $x=\alpha,\beta(>\alpha)$ における２つ接線で囲まれる領域の面積 $S$ は、

$\begin{eqnarray*}\frac{|a|}{12}(\beta-\alpha)^3\end{eqnarray*}$

で表すことができる。

1/30公式（４次-１次型）

　４次関数と１次関数で囲まれた領域の面積。４次関数は大学入試では滅多に出ない。

　 $\alpha,\beta$ はそれぞれ重解である。

$\begin{eqnarray*} S&=&a\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^2(x-\beta)^2 \, dx \\ \\ &=& a\int_{\alpha}^{\beta}\left\{(x-\beta)-(\alpha-\beta)\right\}^2 (x-\beta)^2 \,dx \\ \\ &=& +a\int_{\alpha}^{\beta}(x-\beta)^4 \,dx\\ &&-2a(\alpha-\beta)\int_{\alpha}^{\beta}(x-\beta)^3 \,dx \\ &&+a(\alpha-\beta)^2\int_{\alpha}^{\beta}(x-\beta)^2 \,dx\\ \\ &=& \left(-\frac{a}{5}+\frac{2a}{4}-\frac{a}{3}\right) (\alpha-\beta)^5 \\ \\ &=& \frac{a}{30}(\beta-\alpha)^5 \quad \blacksquare \end{eqnarray*}$

　1/30公式ができる。

1/30公式

四次関数と $x=\alpha,\beta(>\alpha)$ の２点で接する接線とで囲まれる領域の面積 $S$ は、

$\begin{eqnarray*}\frac{|a|}{30}(\beta-\alpha)^5\end{eqnarray*}$

で表すことができる。

その他の類似型

左図：三次関数と二次関数は 1/12公式
右図：四次関数と二次関数は 1/30公式

など、最高次の関数に注意すれば良い。

おまけ：三次関数を直線で分割した領域

　おまけとして、以下の $S_1$ 、 $S_2$ の面積の和を求めたい。

計算したら計算量が多かったので別に用意した。

参考：三次関数と直線が３交点をもつとき、囲まれた領域の面積の和を求める

やってみた結果、これは公式化すべきものではない、と気づいた。ちなみに２つの領域の面積が同じになるときには、直線 $g(x)$ は３次関数の変曲点を通る。

3. まとめ

　どの公式も積分を工夫すれば容易に導くことができる（高校数学レベル）。より高次の関数の面積を求める場合は、ベータ関数を使うなどする（大学数学レベル）。

　念の為、「面積を求める穴埋め問題なら、全部絶対値つけて正にしてしまえばよい」は本当に追い詰められた人しか認められない。圧倒的な思考停止。検算する機会をも奪う悪行である。ちゃんと符号考えて、式を立てたほうが絶対に良い。

6件のコメント

ｊ
()

1/12公式（３次-１次（接線）型）の説明で、aは”2”次関数のx^3の係数となっています。

返信
- batapara
  ()
  
  ありがとうございます。修正いたしました。
  
  返信
こんにわ
()

たぶん目次の「非表示」が「非常時」になってますよ。

返信
- batapara
  ()
  
  こんにわさん、ありがとうございます。
  変な間違いしてましたね。修正しました。
  
  返信
ソウ
()

30分の1公式のまとめの表題が12分の1公式になっています。間違えてたらすみません。

返信
- batapara
  ()
  
  助かります。修正いたしました。
  ありがとうございました。
  
  返信

1. 導出のために知っておきたいこと

方程式と交点の対応

公式を導くのに必要な積分のテクニック

2. 積分公式パターン

1/6公式（２次−１次型）

1/6公式（２次−２次型①）

1/6公式（２次−２次型②）

1/12公式（３次-１次（接線）型）

1/3公式（２次-１次 接線＋端区切り型）

1/12公式（２次-１次-１次型）

1/30公式（４次-１次型）

その他の類似型

おまけ：三次関数を直線で分割した領域

3. まとめ

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1/3公式（２次-１次接線＋端区切り型）

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