例題で学ぶ：ラプラス逆変換（非斉次線形微分方程式）

　前回はラプラス変換を用いた斉次線形微分方程式を扱った。ここでは例題を通して非斉次の線形微分方程式を解いていく。例題(1)は斉次、(2)(3)(4)は非斉次の微分方程式である。

例題

次の $y(t)$ に関する微分方程式を解け。ただし初期値は $y(0)=y_0$ , $y'(0)=v_0$ とする。

$\begin{eqnarray*} &&(1)\quad y''(t)+9y(t)=0\\ &&(2)\quad y''(t)+9y(t)=5\cos t\\ &&(3)\quad y''(t)+9y(t)=5\cos 3t\\ &&(4)\quad y''(t)+4y'(t)+9y(t) = 5\cos 3t \end{eqnarray*}$

1. 基礎事項について
2. 例題の解答
まとめ

1. 基礎事項について

を使うため、これらの内容が不十分であれば一度戻って復習しないといけない。

2. 例題の解答

　ラプラス変換による微分方程式の解法は、まず微分方程式をラプラス変換するところから始める。

以下では、求める $y(t)$ のラプラス変換を $Y(s)={\mathcal L}[y(t)](s)$ とする。初期値は $y(0)=y_0$ , $y'(0)=v_0$ である。

例題(1)の解答

　(1)で表された斉次の線形微分方程式（単振動の運動方程式など）を解いていく。

【解答】

微分方程式の両辺をラプラス変換する。微分のラプラス変換を用いて、

$\begin{eqnarray*} &&s^2 Y(s) -sy_0 - v_0 + 9Y(s)=0\\\\ \Leftrightarrow\quad&& Y(s)=\frac{s}{s^2+9}y_0 + \frac{\textcolor{blue}{3}}{s^2 + 9}\cdot\frac{v_0}{\textcolor{blue}{3}}\\\\ \therefore\quad&&y(t)={\mathcal L}^{-1}[Y(s)]=y_0\cos 3t + \frac{v_0}{3}\sin 3t \quad\blacksquare \end{eqnarray*}$

となる。

　解を $y(t)=A\cos(3t+\delta)$ と書けば、単振動を表すことがわかる（ $\delta$ は初期位相）。

例題(2)の解答

(2)は非斉次の線形微分方程式であり、（強制振動の運動方程式など）を表す。

【解答】

微分方程式の両辺をラプラス変換する。微分のラプラス変換と $\cos$ のラプラス変換を用いる。このとき左辺は例題(1)と同様の形になる。

$\begin{eqnarray*} &&s^2 Y(s) -sy_0 - v_0 + 9Y(s) = \frac{5s}{s^2+1}\\\\ \Leftrightarrow\quad&& Y(s)=\frac{s}{s^2+9}y_0+\frac{\textcolor{blue}{3}}{s^2+9}\cdot\frac{v_0}{\textcolor{blue}{3}}+ \textcolor{red}{\frac{5s}{(s^2+9)(s^2+1)}} \end{eqnarray*}$

ここで、第３項について部分分数分解

$\begin{eqnarray*} \textcolor{red}{\frac{5s}{(s^2+9)(s^2+1)}} =\left(\frac{s}{s^2+1}-\frac{s}{s^2+9}\right)\cdot\frac{5}{8} \end{eqnarray*}$

を用いて、

$\begin{eqnarray*} Y(s)&=&\frac{s}{s^2+9}y_0+\frac{\textcolor{blue}{3}}{s^2+9}\cdot\frac{v_0}{\textcolor{blue}{3}}+\frac{5}{8}\cdot\frac{s}{s^2+1}-\frac{5}{8}\cdot\frac{s}{s^2+9}\\\\ &=& \left(y_0-\frac{5}{8}\right)\cdot\frac{s}{s^2+9}+\frac{v_0}{3}\cdot\frac{3}{s^2+9} +\frac{5}{8}\cdot\frac{s}{s^2+1} \end{eqnarray*}$

を得る。これをラプラス逆変換して微分方程式の解を得る。

$\begin{eqnarray*} y(t)&=&\left(y_0-\frac{5}{8}\right) \cos 3t +\frac{v_0}{3}\sin 3t +\frac{5}{8}\cos t \quad\blacksquare\\\\ (\quad &=& y^{(1)}(t) + y_b(t) \quad) \end{eqnarray*}$

ここで、 $y^{(1)}(t)$ は例題(1)の解と同じ形の斉次解である（初期値を同じにしたため $\cos$ の係数が異なる）。 $y_b(t)=\frac{5}{8}\cos t$ は特殊解を表す。非斉次微分方程式の一般解は、（斉次解）＋（特殊解）の形になる。例題(2)で初期値が与えられていない場合の一般解は、

$\begin{eqnarray*} y(t)=A\cos 3t + B\cos 3t + \frac{5}{8}\cos t \quad(A,B:\;const.) \end{eqnarray*}$

となる。

例題(3)の解答

　例題(2)と似ているがどうだろうか。

【解答】

微分方程式の両辺をラプラス変換する。

$\begin{eqnarray*} &&s^2 Y(s) -sy_0 - v_0 + 9Y(s) = \frac{5s}{s^2+9}\\\\ \Leftrightarrow\quad&& Y(s)=\frac{s}{s^2+9}y_0+\frac{\textcolor{blue}{3}}{s^2+9}\cdot\frac{v_0}{\textcolor{blue}{3}}+\textcolor{red}{\frac{5s}{(s^2+9)^2}} \end{eqnarray*}$

ここで、第３項について部分分数分解する。 $s^2+9=(s+3i)(s-3i)$ と因数分解して

$\begin{eqnarray*} \textcolor{red}{\frac{5s}{(s^2+9)^2}} =\frac{a}{(s+3i)}+\frac{b}{(s+3i)^2}+\frac{c}{(s-3i)}+\frac{d}{(s-3i)^2} \end{eqnarray*}$

と置き、係数 $a,b,c,d$ を求めると、

▼ 係数代入法により（計算詳細）

$\begin{eqnarray*} \begin{cases} a=0\\ b=+\frac{5}{12}i\\ c=0\\ d=-\frac{5}{12}i \end{cases} \end{eqnarray*}$

である。したがって、

$\begin{eqnarray*} \textcolor{red}{\frac{5s}{(s^2+9)^2}} &=&\frac{5}{12}i\cdot\frac{1}{(s+3i)^2}-\frac{5}{12}i\cdot\frac{d}{(s-3i)^2}\\\\ &=&-\frac{5}{12}i\left(\frac{1}{(s-3i)^2}-\frac{1}{(s+3i)^2}\right) \end{eqnarray*}$

ここで「 $s$ 移動」によるラプラス逆変換：

$\begin{eqnarray*} {\mathcal L}^{-1} \left[ \frac{1}{(s\pm 3i)^2}\right] =te^{\mp 3it} \end{eqnarray*}$

を用いて、

$\begin{eqnarray*} {\mathcal L}^{-1} \left[ \frac{5s}{(s^2+9)^2}\right] &=&-\frac{5}{12}i\cdot t\left(e^{3it}-e^{-3it}\right)\\\\ &=&-\frac{5}{12}i\cdot t\cdot 2i\sin 3t\\\\ &=&+\frac{5}{6}t\sin 3t \end{eqnarray*}$

したがって、

$\begin{eqnarray*} Y(s)=\frac{s}{s^2+9}y_0+\frac{3}{s^2+9}\cdot \frac{v_0}{3} +\frac{5s}{(s^2+9)^2} \end{eqnarray*}$

をラプラス逆変換して微分方程式の解を得る。

$\begin{eqnarray*} y(t)=y_0\cos 3t + \frac{v_0}{3}\sin 3t +\frac{5}{6}t\sin 3t\quad\blacksquare \end{eqnarray*}$

※解は $t$ が大きくなると第三項により振動の振幅が増幅する。もともとの微分方程式の左辺は単振動の運動方程式であり、右辺を時間 $t$ で振動する外力とみると、外力の振動数と元の単振動の振動数が一致している。これは「共鳴」であり、振幅が増幅していることに対応する。

参考：摩擦なし強制振動の運動方程式と「共鳴」

例題(4)の解答

【解答】

微分方程式の両辺をラプラス変換する

$\begin{eqnarray*} &&s^2Y(s)-sy_0 -v_0 + 4\left\{ sY(s)-y_0 \right\}+9Y(s)=\frac{5s}{s^2+9}\\\\ \Leftrightarrow \quad && (s^2+4s+9)Y(s)=sy_0 + v_0 + 4y_0 +\frac{5s}{s^2+9}\\\\ \Leftrightarrow \quad && Y(s)=\frac{sy_0+v_0+4y_0}{s^2+4s+9}+\frac{5s}{(s^2+4s+9)(s^2+9)} \end{eqnarray*}$

第一項について：

$\begin{eqnarray*} s^2+4s+9=(s+2)^2 + \sqrt{5}^2 \end{eqnarray*}$

を利用して

$\begin{eqnarray*} \frac{sy_0+v_0+4y_0}{s^2+4s+9} &=& \frac{sy_0+v_0+4y_0}{(s+2)^2+\sqrt{5}}\\\\ &=& \frac{\textcolor{red}{(s+2)y_0-2y_0}+v_0+4y_0}{(s+2)^2+\sqrt{5}}\\\\ &=& \frac{s+2}{(s+2)^2+\sqrt{5}} +\frac{\textcolor{blue}{\sqrt{5}}}{(s+2)^2+\sqrt{5}}\cdot\frac{v_0 + 2y_0}{\textcolor{blue}{\sqrt{5}}} \end{eqnarray*}$

第二項について：

$\begin{eqnarray*} \frac{5s}{(s^2+4s+9)(s^2+9)} &=&\left(\frac{1}{s^2+9}-\frac{1}{s^2+4s+9}\right)\cdot\frac{5}{4}\\\\ &=&\frac{5}{4\cdot\textcolor{blue}{3}}\cdot\frac{\textcolor{blue}{3}}{s^2+9} -\frac{5}{4\cdot \textcolor{blue}{\sqrt{5}}}\cdot \frac{\textcolor{blue}{\sqrt{5}}}{(s+2)^2+\sqrt{5}^2}\\\\ &=& \frac{5}{12}\cdot\frac{3}{s^2+9}-\frac{\sqrt{5}}{4}\cdot\frac{\sqrt{5}}{(s+2)^2+\sqrt{5}^2} \end{eqnarray*}$

したがって、

$\begin{eqnarray*} Y(s)= \frac{s+2}{(s+2)^2+\sqrt{5}} +\left(\frac{v_0 + 2y_0}{\sqrt{5}}-\frac{\sqrt{5}}{4}\right) \cdot\frac{\sqrt{5}}{(s+2)^2+\sqrt{5}}+\frac{5}{12}\cdot\frac{3}{s^2+9} \end{eqnarray*}$

「 $s$ 移動」および $\sin,\cos$ のラプラス逆変換により

$\begin{eqnarray*} y(t)=y_0 e^{-2t}\cos\sqrt{5}t +\left(\frac{v_0 + 2y_0}{\sqrt{5}}-\frac{\sqrt{5}}{4}\right)e^{-2t}\sin\sqrt{5}t +\frac{5}{12}\sin 3t\quad\blacksquare \end{eqnarray*}$

*第一項と第二項は $Ae^{-2t}\cos(\sqrt{5}t+\delta)$ の形の減衰振動を表す。第三項は強制振動による振動運動を表している。

まとめ

　ここでは非斉次の微分方程式をラプラス変換により解いてきた。方程式の形として単振動や強制振動の形を扱った。ラプラス変換の応用として微分方程式を解いてきたが、本例題はよくある方法でも解くことができる。

【例題で学ぶ】ラプラス逆変換（非斉次線形微分方程式）

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2. 例題の解答

例題(1)の解答

例題(2)の解答

例題(3)の解答

例題(4)の解答

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