【例題で学ぶ】ラプラス逆変換：階段関数の性質と逆変換（t移動）

　以下のヘヴィサイドの単位関数は応用上重要である。ここでは単位関数について簡単に説明し、そのラプラス変換について学ぶ。

ラプラス逆変換の例題

　次の $s$ に関する関数をラプラス逆変換して $f(t)$ を求めよ。また、 $f(t)$ を図示せよ。

$\begin{eqnarray*} &&(1)\quad \frac{e^{-3s}}{s^2}\\ &&(2)\quad \frac{5e^{-2\pi s}}{s^2+4}\\ &&(3)\quad \frac{se^{-2\pi s}}{s^2+1}\\ &&(4)\quad \frac{e^{-s}}{s^2}-\frac{2e^{-2s}}{s^2}+\frac{e^{-3s}}{s^2}\\\\ &&(5)\quad \frac{\frac{V_0}{I}}{s+\frac{1}{RC}}\Bigl(e^{-st_1}-e^{-st_2}\Bigr)\quad(t_1 < t_2) \end{eqnarray*}$

1. ヘヴィサイドの階段関数
2. ラプラス変換／逆変換
- 単位関数のラプラス変換
- f(t-t0)u(t-t0)のラプラス変換／逆変換【tシフト】
3. 例題の解答
4. まとめ

1. ヘヴィサイドの階段関数

階段関数の定義

　ヘヴィサイドの階段関数（Heaviside step function） $u(t-t_0)$ は以下の値をもつ。

$\begin{eqnarray*} u(t-t_0)=\begin{cases} 0\quad(t < t_0)\\ 1\quad(t>t_0) \end{cases} \end{eqnarray*}$

$t=t_0$ で１にジャンプする。 $t=t_0$ で不連続な関数であるため、 $t=t_0$ で値を定義した単位ステップ関数もある。

なぜ必要であるか

　階段関数はある時間で値が0から1になる関数である。 1/0の値は電源スイッチなどのON/OFFに対応していると言える。

　例えば、ある関数 $f(t)$ を用意する。この関数と階段関数を用いて $f(t)$ のON/OFFを関数として表現できる。

　物理現象を関数として表現できれば、 解析的に微分・積分を実行することが可能である。したがって、階段関数は非常に便利である。微分方程式をラプラス変換を用いて解く場合にも、階段関数が便利であるとわかるだろう。

組み合わせて使う

　階段関数を $f(x)$ と組み合わせて新たな関数を作ることができる。

① 関数 $f(t)$ と② 階段関数 $u(t-t_0)$ である。 ④ は $t=t_0$ で、ある外場による力 $f(t)$ をかけ始めることなどに対応する。

2. ラプラス変換／逆変換

以下の性質を証明する。

重要な性質

$\begin{eqnarray*} \square\quad&&{\mathcal L}\left[u(t-t_0)\right](s) =\frac{e^{-st_0}}{s}\\\\ \square\quad&& {\mathcal L}\left[f(t-t_0)u(t-t_0)\right](s)=e^{-st_0}F(s)\\\\ \square\quad&& {\mathcal L}^{-1}\left[e^{-st_0}F(s)\right](t)=f(t-t_0)u(t-t_0) \end{eqnarray*}$

単位関数のラプラス変換

計算の方針：定義通り計算する。

$\begin{eqnarray*} {\mathcal L}\left[u(t-t_0)\right](s) &=&\int_0^{\infty} u(t-t_0)e^{-st}\, dt\\\\ &=&\int_{\textcolor{red}{t_0}}^{\infty} {\bf 1}\,e^{-st}\, dt\\\\ &=&\left[-\frac{1}{s}e^{-st}\right]_{t_0}^{\infty}\\\\ &=&\frac{e^{-st_0}}{s}\quad\blacksquare \end{eqnarray*}$

f(t-t0)u(t-t0)のラプラス変換／逆変換【tシフト】

計算の方針：定義通り計算する。

$\begin{eqnarray*} {\mathcal L}[f(t-t_0)u(t-t_0)](s) &=&\int_0^{\infty}f(t-t_0)u(t-t_0)e^{-st}\,dt\\\\ &=&\int_{\textcolor{red}{t_0}}^{\infty}f(t-t_0)\,{\bf 1}\,e^{-st}\,dt\\\\ &=&\int_{0}^{\infty}f(\tau)e^{-s(\tau+t_0)}\,d\tau\quad(\tau=t-t_0)\\\\ &=&e^{-st_0}\int_0^{\infty}f(\tau)e^{-s\tau}d\tau\\\\ &=&e^{-st_0}F(s)\quad\blacksquare \end{eqnarray*}$

ここで、 $F(s)$ は $f(t)$ のラプラス変換である。したがって、ラプラス逆変換は

$\begin{eqnarray*} {\mathcal L}^{-1}\left[e^{-st_0}F(s)\right](t)=f(t-t_0)u(t-t_0) \end{eqnarray*}$

となる。この逆変換が、ラプラス変換で微分方程式を解くときに現れることがある。

3. 例題の解答

　 $t$ 移動を使う上での方針：

$e^{-st_0}$ を除く
$F(s)$ のラプラス逆変換した $f(t)$ を考える
$f(t-t_0)u(t-t_0)$ と書く
グラフは $f(t)$ を $t$ 移動して $t < t_0$ は0にする

本例題の逆変換で重要なポイントは以下の通り。

ポイント

$\begin{eqnarray*}{\mathcal L}^{-1}[e^{-st_0}F(s)](t)=f(t-t_0)u(t-t_0) \end{eqnarray*}$

その他、通常のラプラス逆変換はできる前提である（逆変換表まとめ）。

例題(1)の解答

【解答】

1. $e^{-3s}$ を除く：

$\begin{eqnarray*} F(s)=\frac{1}{s^2} \end{eqnarray*}$

2. $F(s)$ のラプラス逆変換：

$\begin{eqnarray*} f(t)\equiv{\mathcal L}^{-1}\left[\frac{1}{s^2}\right](t)=t \end{eqnarray*}$

3. $f(t-t_0)u(t-t_0)$ と書く：

$\begin{eqnarray*} {\mathcal L}^{-1}\left[e^{-3s}\cdot\frac{1}{s^2}\right](t) &=&f(t-3)u(t-3)\\\\ &=&(t-3)u(t-3)\\\\ &=&\begin{cases} 0 \quad(t < 3)\\ t-3\quad(3>t) \end{cases}\quad\blacksquare \end{eqnarray*}$

4. グラフを描く

例題(2)の解答

【解答】

1. $e^{-2\pi s}$ を除く：

$\begin{eqnarray*} F(s)=\frac{5}{s^2+4} \end{eqnarray*}$

2. $F(s)$ のラプラス逆変換：

$\begin{eqnarray*} f(t)\equiv{\mathcal L}^{-1}\left[\frac{5}{s^2+4}\right](t) &=& \frac{5}{\textcolor{blue}{2}}{\mathcal L}^{-1}\left[\frac{\textcolor{blue}{2}}{s^2+4}\right](t)\\\\ &=& \frac{5}{2}\sin 2t \end{eqnarray*}$

3. $f(t-t_0)u(t-t_0)$ と書く：

$\begin{eqnarray*} {\mathcal L}^{-1}\left[e^{-2\pi s}\cdot\frac{5}{s^2+4}\right](t) &=&f(t-2\pi)u(t-2\pi)\\\\ &=&\frac{5}{2}\sin[2(t-2\pi)]\,u(t-2\pi)\\\\ &=&\begin{cases} 0 \quad(t < 2\pi)\\\\ \frac{5}{2}\sin[2(t-2\pi)]=\frac{5}{2}\sin 2t\quad(2\pi>t) \end{cases}\quad\blacksquare \end{eqnarray*}$

4. グラフを描く

$\sin 2t$ は周期 $\pi$ の関数である。

例題(3)の解答

【解答】

1. $e^{-2\pi s}$ を除く：

$\begin{eqnarray*} F(s)=\frac{s}{s^2+1} \end{eqnarray*}$

2. $F(s)$ のラプラス逆変換：

$\begin{eqnarray*} f(t)\equiv{\mathcal L}^{-1}\left[\frac{s}{s^2+1}\right](t)=\cos t \end{eqnarray*}$

3. $f(t-t_0)u(t-t_0)$ と書く：

$\begin{eqnarray*} {\mathcal L}^{-1}\left[e^{-2\pi s}\cdot\frac{1}{s^2+1}\right](t) &=&f(t-2\pi)u(t-2\pi)\\\\ &=&\cos(t-2\pi)u(t-2\pi)\\\\ &=& \begin{cases} 0 \quad(t < 2\pi)\\\\ \cos(t-2\pi)=\cos t\quad(2\pi>t) \end{cases}\quad\blacksquare \end{eqnarray*}$

4. グラフを描く

$\cos t$ は周期 $2\pi$ の関数である。

例題(4)の解答

例題(1)と同様のラプラス逆変換を３つの項についておこなう。

【解答】

$\begin{eqnarray*} {\mathcal L}^{-1}\left[\frac{1}{s^2}\right](t)=t \end{eqnarray*}$

より。それぞれの項についてラプラス逆変換すると

$\begin{eqnarray*} {\mathcal L}^{-1}\left[\frac{e^{-s}}{s^2}\right]=(t-1)u(t-1)\\\\ -2{\mathcal L}^{-1}\left[\frac{e^{-s}}{s^2}\right]=-2(t-2)u(t-2)\\\\ {\mathcal L}^{-1}\left[\frac{e^{-s}}{s^2}\right]=(t-3)u(t-3) \end{eqnarray*}$

したがって

$\begin{eqnarray*} f(t)&=&{\mathcal L}^{-1}\left[\frac{e^{-s}}{s^2}-\frac{2e^{-2s}}{s^2}+\frac{e^{-3s}}{s^2}\right](t)\\\\ &=&(t-1)u(t-1)-2(t-2)u(t-2)+(t-3)u(t-3)\\\\ &=&\begin{cases} 0 \quad(t < 1)\\\\ (t-1)\quad(1 < t < 2)\\\\ -(t-3)\quad(2 < t < 3)\\\\ 0 \quad(3 < t) \end{cases}\quad\blacksquare \end{eqnarray*}$

このグラフは下図のようになる。

例題(5)の解答

$F(s-a)$ のラプラス逆変換には「 $s$ 移動( $s$ -shifting)」を使う。

【参考】例題で学ぶ：ラプラス逆変換（s移動）

【解答】与えられた関数を

$\begin{eqnarray*} I(s)=\frac{\frac{V_0}{I}}{s+\frac{1}{RC}}\Bigl(e^{-st_1}-e^{-st_2}\Bigr) \end{eqnarray*}$

とおく。

$\begin{eqnarray*} F(s)=\frac{\frac{V_0}{I}}{s+\frac{1}{RC}} \end{eqnarray*}$

について、

$\begin{eqnarray*} f(t)\equiv {\mathcal L}^{-1}\left[F(s)\right](t)=\frac{V_0}{I}e^{-\frac{t}{RC}}\quad(s-{\rm shifting}) \end{eqnarray*}$

したがって、与えられた関数のラプラス逆変換は

$\begin{eqnarray*} i(t)&=&{\mathcal L}^{-1}[I(s)](t)\\\\ &=&{\mathcal L}^{-s}\left[e^{-st_1}F(s)-e^{-st_2}F(s)\right]\\\\ &=&f(t-t_1)u(t-t_1)-f(t-t_2)u(t-t_2)\\\\ &=&\frac{V_0}{I}e^{-\frac{t-t_1}{RC}}u(t-t_2)-\frac{V_0}{I}e^{-\frac{t-t_2}{RC}}u(t-t_2)\\\\ &=&\frac{V_0}{I}e^{-\frac{t}{RC}}\left\{ e^{\frac{t_1}{RC}}u(t-t_1)-e^{\frac{t_2}{RC}}u(t-t_2)\right\}\\\\ &=&\begin{cases} 0\quad(t < t_1)\\\\ \frac{V_0}{I}e^{-\frac{t}{RC}} e^{\frac{t_1}{RC}}\quad(t_1 < t < t_2)\\\\ \frac{V_0}{I}e^{-\frac{t}{RC}}\left\{ e^{\frac{t_1}{RC}}-e^{\frac{t_2}{RC}} \right\} \quad(t_2 < t) \end{cases}\quad\blacksquare \end{eqnarray*}$

4. まとめ

　階段関数とラプラス変換について、その重要性を簡単に説明した。 RC回路などの微分方程式をラプラス変換で解くときには、例題の(5)のようなものが現れる。ラプラス逆変換に階段関数が現れる（ $t$ 移動）については計算できるようにしておきたい。

【例題で学ぶ】ラプラス逆変換：階段関数の性質と逆変換（t移動）

1. ヘヴィサイドの階段関数

階段関数の定義

なぜ必要であるか

組み合わせて使う

2. ラプラス変換／逆変換

単位関数のラプラス変換

f(t-t0)u(t-t0)のラプラス変換／逆変換【tシフト】

3. 例題の解答

例題(1)の解答

例題(2)の解答

例題(3)の解答

例題(4)の解答

例題(5)の解答

4. まとめ

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1. ヘヴィサイドの階段関数

階段関数の定義

なぜ必要であるか

組み合わせて使う

2. ラプラス変換／逆変換

単位関数のラプラス変換

f(t-t0)u(t-t0)のラプラス変換／逆変換【tシフト】

3. 例題の解答

例題(1)の解答

例題(2)の解答

例題(3)の解答

例題(4)の解答

例題(5)の解答

4. まとめ

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