【例題で学ぶ】ラプラス逆変換:階段関数の性質と逆変換(t移動)


 以下のヘヴィサイドの単位関数は応用上重要である。 ここでは単位関数について簡単に説明し、そのラプラス変換について学ぶ。

ラプラス逆変換の例題

  次の s に関する関数をラプラス逆変換して f(t) を求めよ。 また、f(t) を図示せよ。

    \begin{eqnarray*} &&(1)\quad \frac{e^{-3s}}{s}\\ &&(2)\quad \frac{5e^{-2\pi s}}{s^2+4}\\ &&(3)\quad \frac{se^{-2\pi s}}{s^2+1}\\ &&(4)\quad \frac{e^{-s}}{s^2}-\frac{2e^{-2s}}{s^2}+\frac{e^{-3s}}{s^2}\\\\ &&(5)\quad \frac{\frac{V_0}{I}}{s+\frac{1}{RC}}\Bigl(e^{-st_1}-e^{-st_2}\Bigr)\quad(t_1 < t_2)  \end{eqnarray*}





1. ヘヴィサイドの階段関数

階段関数の定義

 ヘヴィサイドの階段関数(Heaviside step function)u(t-t_0) は以下の値をもつ。

    \begin{eqnarray*} u(t-t_0)=\begin{cases}  0\quad(t < t_0)\\  1\quad(t>t_0)  \end{cases}  \end{eqnarray*}

t=t_0 で1にジャンプする。 t=t_0 で不連続な関数であるため、t=t_0 で値を定義した単位ステップ関数もある。


なぜ必要であるか

 階段関数はある時間で値が0から1になる関数である。 1/0の値は電源スイッチなどのON/OFFに対応していると言える。

 例えば、ある関数 f(t) を用意する。 この関数と階段関数を用いて f(t) のON/OFFを関数として表現できる。

 物理現象を関数として表現できれば、 解析的に微分・積分を実行することが可能である。 したがって、階段関数は非常に便利である。 微分方程式をラプラス変換を用いて解く場合にも、 階段関数が便利であるとわかるだろう。


組み合わせて使う

 階段関数を f(x) と組み合わせて新たな関数を作ることができる。

① 関数 f(t) と② 階段関数 u(t-t_0) である。 ④ は t=t_0 で、ある外場による力 f(t) をかけ始めることなどに対応する。


2. ラプラス変換/逆変換

以下の性質を証明する。

重要な性質


    \begin{eqnarray*}  \square\quad&&{\mathcal L}\left[u(t-t_0)\right](s)  =\frac{e^{-st_0}}{s}\\\\ \square\quad&& {\mathcal L}\left[f(t-t_0)u(t-t_0)\right](s)=e^{-st_0}F(s)\\\\ \square\quad&& {\mathcal L}^{-1}\left[e^{-st_0}F(s)\right](t)=f(t-t_0)u(t-t_0)  \end{eqnarray*}




単位関数のラプラス変換

計算の方針:定義通り計算する。

    \begin{eqnarray*} {\mathcal L}\left[(t-t_0)\right](s)  &=&\int_0^{\infty} u(t-t_0)e^{-st}\, dt\\\\  &=&\int_{\textcolor{red}{t_0}}^{\infty} {\bf 1}\,e^{-st}\, dt\\\\  &=&\left[-\frac{1}{s}e^{-st}\right]_{t_0}^{\infty}\\\\  &=&\frac{e^{-st_0}}{s}\quad\blacksquare  \end{eqnarray*}


f(t-t0)u(t-t0)のラプラス変換/逆変換【tシフト】

計算の方針:定義通り計算する。

    \begin{eqnarray*} {\mathcal L}[f(t-t_0)u(t-t_0)](s)  &=&\int_0^{\infty}f(t-t_0)u(t-t_0)e^{-st}\,dt\\\\  &=&\int_{\textcolor{red}{t_0}}^{\infty}f(t-t_0)\,{\bf 1}\,e^{-st}\,dt\\\\  &=&\int_{0}^{\infty}f(\tau)e^{-s(\tau+t_0)}\,d\tau\quad(\tau=t-t_0)\\\\  &=&e^{-st_0}\int_0^{\infty}f(\tau)e^{-s\tau}d\tau\\\\  &=&e^{-st_0}F(s)\quad\blacksquare  \end{eqnarray*}

ここで、F(s)f(t) のラプラス変換である。したがって、ラプラス逆変換は

    \begin{eqnarray*} {\mathcal L}^{-1}\left[e^{-st_0}F(s)\right](t)=f(t-t_0)u(t-t_0)  \end{eqnarray*}

となる。この逆変換が、ラプラス変換で微分方程式を解くときに現れることがある。


3. 例題の解答

 t 移動を使う上での方針:

  1. e^{-st_0} を除く
  2. F(s) のラプラス逆変換した f(t) を考える
  3. f(t-t_0)u(t-t_0) と書く
  4. グラフは f(t)t 移動して t < t_0 は0にする

本例題の逆変換で重要なポイントは以下の通り。

ポイント

    \begin{eqnarray*}{\mathcal L}^{-1}[e^{-st_0}F(s)](t)=f(t-t_0)u(t-t_0)  \end{eqnarray*}


その他、通常のラプラス逆変換はできる前提である(逆変換表まとめ)。


例題(1)の解答

【解答】

1. e^{-3s} を除く:

    \begin{eqnarray*} F(s)=\frac{1}{s^2}  \end{eqnarray*}

2. F(s) のラプラス逆変換:

    \begin{eqnarray*} f(t)\equiv{\mathcal L}^{-1}\left[\frac{1}{s^2}\right](t)=t  \end{eqnarray*}

3. f(t-t_0)u(t-t_0) と書く:

    \begin{eqnarray*} {\mathcal L}^{-1}\left[e^{-3s}\cdot\frac{1}{s^2}\right](t) &=&f(t-3)u(t-3)\\\\  &=&(t-3)u(t-3)\\\\  &=&\begin{cases}  0 \quad(t < 3)\\  t-3\quad(3>t)  \end{cases}\quad\blacksquare  \end{eqnarray*}

4. グラフを描く


例題(2)の解答

【解答】

1. e^{-2\pi s} を除く:

    \begin{eqnarray*} F(s)=\frac{5}{s^2+4}  \end{eqnarray*}

2. F(s) のラプラス逆変換:

    \begin{eqnarray*} f(t)\equiv{\mathcal L}^{-1}\left[\frac{5}{s^2+4}\right](t)  &=&  \frac{5}{\textcolor{blue}{2}}{\mathcal L}^{-1}\left[\frac{\textcolor{blue}{2}}{s^2+4}\right](t)\\\\  &=&  \frac{5}{2}\sin 2t  \end{eqnarray*}

3. f(t-t_0)u(t-t_0) と書く:

    \begin{eqnarray*} {\mathcal L}^{-1}\left[e^{-2\pi s}\cdot\frac{5}{s^2+4}\right](t)  &=&f(t-2\pi)u(t-2\pi)\\\\  &=&\frac{5}{2}\sin[2(t-2\pi)]\,u(t-2\pi)\\\\  &=&\begin{cases}  0 \quad(t < 2\pi)\\\\  \frac{5}{2}\sin[2(t-2\pi)]=\frac{5}{2}\sin 2t\quad(2\pi>t)  \end{cases}\quad\blacksquare  \end{eqnarray*}

4. グラフを描く

\sin 2t は周期 \pi の関数である。


例題(3)の解答

【解答】

1. e^{-2\pi s} を除く:

    \begin{eqnarray*} F(s)=\frac{s}{s^2+1}  \end{eqnarray*}

2. F(s) のラプラス逆変換:

    \begin{eqnarray*} f(t)\equiv{\mathcal L}^{-1}\left[\frac{s}{s^2+1}\right](t)=\cos t  \end{eqnarray*}

3. f(t-t_0)u(t-t_0) と書く:

    \begin{eqnarray*} {\mathcal L}^{-1}\left[e^{-2\pi s}\cdot\frac{1}{s^2+1}\right](t)  &=&f(t-2\pi)u(t-2\pi)\\\\  &=&\cos(t-2\pi)u(t-2\pi)\\\\  &=&  \begin{cases}  0 \quad(t < 2\pi)\\\\  \cos(t-2\pi)=\cos t\quad(2\pi>t)  \end{cases}\quad\blacksquare  \end{eqnarray*}

4. グラフを描く

\cos t は周期 2\pi の関数である。


例題(4)の解答

例題(1)と同様のラプラス逆変換を3つの項についておこなう。

【解答】

    \begin{eqnarray*} {\mathcal L}^{-1}\left[\frac{1}{s^2}\right](t)=t  \end{eqnarray*}

より。それぞれの項についてラプラス逆変換すると

    \begin{eqnarray*} {\mathcal L}^{-1}\left[\frac{e^{-s}}{s^2}\right]=(t-1)u(t-1)\\\\  -2{\mathcal L}^{-1}\left[\frac{e^{-s}}{s^2}\right]=-2(t-2)u(t-2)\\\\  {\mathcal L}^{-1}\left[\frac{e^{-s}}{s^2}\right]=(t-3)u(t-3)  \end{eqnarray*}

したがって

    \begin{eqnarray*} f(t)&=&{\mathcal L}^{-1}\left[\frac{e^{-s}}{s^2}-\frac{2e^{-2s}}{s^2}+\frac{e^{-3s}}{s^2}\right](t)\\\\  &=&(t-1)u(t-1)-2(t-2)u(t-2)+(t-3)u(t-3)\\\\  &=&\begin{cases}  0 \quad(t < 1)\\\\  (t-1)\quad(1 < t < 2)\\\\  -(t-3)\quad(2 < t < 3)\\\\  0 \quad(3 < t)  \end{cases}\quad\blacksquare  \end{eqnarray*}

このグラフは下図のようになる。


例題(5)の解答

F(s-a) のラプラス逆変換には「s 移動(s-shifting)」を使う。


【解答】 与えられた関数を

    \begin{eqnarray*} I(s)=\frac{\frac{V_0}{I}}{s+\frac{1}{RC}}\Bigl(e^{-st_1}-e^{-st_2}\Bigr)  \end{eqnarray*}

とおく。

    \begin{eqnarray*} F(s)=\frac{\frac{V_0}{I}}{s+\frac{1}{RC}}  \end{eqnarray*}

について、

    \begin{eqnarray*} f(t)\equiv {\mathcal L}^{-1}\left[F(s)\right](t)=\frac{V_0}{I}e^{-\frac{t}{RC}}\quad(s-{\rm shifting})  \end{eqnarray*}

したがって、与えられた関数のラプラス逆変換は

    \begin{eqnarray*} i(t)&=&{\mathcal L}^{-1}[I(s)](t)\\\\  &=&{\mathcal L}^{-s}\left[e^{-st_1}F(s)-e^{-st_2}F(s)\right]\\\\  &=&f(t-t_1)u(t-t_1)-f(t-t_2)u(t-t_2)\\\\  &=&\frac{V_0}{I}e^{-\frac{t-t_1}{RC}}u(t-t_2)-\frac{V_0}{I}e^{-\frac{t-t_2}{RC}}u(t-t_2)\\\\  &=&\frac{V_0}{I}e^{-\frac{t}{RC}}\left\{ e^{\frac{t_1}{RC}}u(t-t_1)-e^{\frac{t_2}{RC}}u(t-t_2)\right\}\\\\  &=&\begin{cases}  0\quad(t < t_1)\\\\  \frac{V_0}{I}e^{-\frac{t}{RC}} e^{\frac{t_1}{RC}}\quad(t_1 < t < t_2)\\\\  \frac{V_0}{I}e^{-\frac{t}{RC}}\left\{ e^{\frac{t_1}{RC}}-e^{\frac{t_2}{RC}} \right\} \quad(t_2 < t)  \end{cases}\quad\blacksquare  \end{eqnarray*}



4. まとめ

 階段関数とラプラス変換について、その重要性を簡単に説明した。 RC回路などの微分方程式をラプラス変換で解くときには、例題の(5)のようなものが現れる。 ラプラス逆変換に階段関数が現れる(t 移動)については計算できるようにしておきたい。



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