【はじめに】フーリエ係数の求め方


 フーリエ係数 a_n,b_n は以下で求められるが、フーリエ係数の意味を簡単に説明しておこうと思う。以下で、f(x)[-\pi:\pi] で周期的な関数とする。

    \begin{eqnarray*} \begin{cases} a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx \,dx \quad(n=0,1,2,3,...)\\\\ b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx \,dx \quad(n=1,2,3,...) \end{cases} \end{eqnarray*}





1. フーリエ係数の意味

 フーリエ級数展開とは、周期 2\pi の周期関数 f(x) を同じ周期を持った三角関数で展開してやることである。こんな風に。

    \begin{eqnarray*} f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n \cos nx + b_n \sin nx) \end{eqnarray*}

a_n, b_n は、f(x) がそれぞれの三角関数の成分をどれだけ持っているかを表す。a_n\cos nx重みを表す。

わかりやすいイメージ

 初めてフーリエ級数になれていない人は、\sum_{n=1}^{\infty} によって身構えしてしまう。一回そのことは忘れよう。そして2次元の平面ベクトルに戻ってみてほしい。

 下に平面ベクトル (a\; b) を用意した。見てわかる通り、ax 軸方向の成分である。そして、by 軸方向の成分である。

 そして今まで x 軸、y 軸と呼んでいたものを \cos x\sin x に置き換えてしまったのが下の図である。フーリエ級数のイメージはこのようなものである。

 結局 「\cosx 方向の成分は何か?\sin x 方向の成分は何か?」 を調べるのがフーリエ級数である。


 関数もベクトルと同じように扱うためには、とりあえずは下のように決めてやれば良い^{*}

 実際は、\sum_{n=1}^{\infty} であったため、ベクトルの次元は無限に大きい。



フーリエ係数を求める

 2次元ベクトルで a,b の成分を求める場合は、求めたいベクトル (a \quad b) に対して、(1 \quad 0),(0\quad 1) のベクトルで内積を取れば良い。そうすれば、図の上のように a,b が求められる。

 \sin,\cos の場合も同様にできないだろうか?

できる。ただし、\sinx,\cosx直交する場合である。実はフーリエ級数は関数空間の話なので踏み込まないが、上のベクトルから拡張するためには以下に注意する。

  1. 関数空間で「内積」を定義する
  2. \sin x,\cos x などが直交するか調べる


関数の内積の定義

ここでのフーリエ級数での二つの関数 f(x),g(x) の内積の定義は、

    \begin{eqnarray*} f(x)\cdot g(x)=\int_{-\pi}^{\pi} f(x)g(x)\, dx \end{eqnarray*}

ここでフーリエ級数においては

  • f(x):フーリエ級数展開される側の関数
  • g(x)\cos x,\sin x などの三角関数

である。例えば、g(x)=\cos x とすると、

    \begin{eqnarray*} f(x)\cdot \textcolor{red}{\cos x}=\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\textcolor{red}{\cos x}\, dx \end{eqnarray*}

となる。なんとなくフーリエ級数の形が見えてきたと思う。



三角関数の直交性

 内積を定義すると、関数同士が直交しているかどうかわかる

では、f(x)=\sin x,g(x)=\cos x の内積を計算してみる。

    \begin{eqnarray*} \sin x\cdot \cos x&=&\int_{-\pi}^{\pi} \sin x\cosx \, dx\\\\ &=&\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\sin 2x \,dx\\\\ &=&\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{2}\cos 2x\right]_{-\pi}^{\pi}\\\\ &=& \textcolor{red}{0} \end{eqnarray*}

となり、\cos x\sin x直交している!したがって、初めに見た絵のように座標軸が直交しているようなイメージになる。

 自分自身との内積を考える。f(x)=\cos x, g(x)=\cos x として、

    \begin{eqnarray*} \cos x\cdot \cos x&=&\int_{-\pi}^{\pi} \cos^2 x \, dx\\\\ &=&\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi} 1+\cos2x \,dx\\\\ &=&\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}\left(x+\sin 2x)\right]_{-\pi}^{\pi}\\\\ &=&\textcolor{red}{\pi}\neq 0 \end{eqnarray*}

となり直交していない。これは、\cos x が関数空間である大きさ(ノルム)を持っているということである。

 \sin nx,\cos nx などの一般的な三角関数についての内積は以下の通りである。


フーリエ級数で一番大事な式

    \begin{eqnarray*} &&\int_{-\pi}^{\pi} \sin mx \cos nx \,dx=0 \\\\\\ &&\int_{-\pi}^{\pi} \sin mx \sin nx \, dx= \begin{cases} \pi\quad({\rm if} \quad n=m)\\ 0 \quad({\rm if} \quad n\neq m) \end{cases}\\\\\\ &&\int_{-\pi}^{\pi} \cos mx \cos nx \, dx= \begin{cases} \pi \quad({\rm if} \quad n=m)\\ 0 \quad({\rm if} \quad n\neq m) \end{cases} \end{eqnarray*}


見ての通り、自分以外の関数とは直交することがわかる。したがって、初めにベクトルの成分を内積で取り出せたように、f(x) のフーリエ係数 a_n,b_n を「関数の内積」で取り出せそうである。

ベクトル空間との違いは、

  • 自分同士の内積は \textcolor{red}{\pi}
  • 内積の定義に注意する

である。

 これを踏まえて以下ではフーリエ係数を導出する。



2. フーリエ係数の導出

 以上の三角関数の直交性さえ理解していれば、フーリエ係数は簡単に導出できる。まず、周期 2\pif(x) を下のように展開する。

    \begin{eqnarray*} f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{m=1}^{\infty}(a_m \cos mx + b_m \sin mx) \end{eqnarray*}


ここで、f(x)\cos nx内積をとる。つまり、両辺に \cos nx をかけて [-\pi:\pi] で積分する。

    \begin{eqnarray*} &&\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos nx \, dx\\\\ &&=\frac{a_0}{2} \int_{-\pi}^{\pi} \cos nx\, dx\\\\ &&+\sum_{m=1}^{\infty}\left[ a_m\textcolor{red}{\int_{-\pi}^{\pi}  \cos nx \cos mx \, dx}+  b_m \textcolor{blue}{\int_{-\pi}^{\pi}\sin nx \cos mx \, dx} \right] \end{eqnarray*}

ここで、 x の積分に関係のない a_m,b_m\int の外に出した。

右辺の積分で 0 にならない部分がわかるだろうか?

三角関数の直交性からもちろん \cos mx\cos nx\textcolor{red}{m=n} の部分だけが残る!そして自分同士の内積は \pi であった。したがって、

    \begin{eqnarray*} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos nx \, dx&=& a_n\textcolor{red}{\int_{-\pi}^{\pi}  \cos nx \cos nx \, dx}\\\\ &=&a_n \pi \end{eqnarray*}

となり、

    \begin{eqnarray*} a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos nx \, dx\quad\blacksquare \end{eqnarray*}

を得る。


a_0 が欲しい場合は、1=\cos 0f(x) の内積を取れば良い。つまり、

    \begin{eqnarray*} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\, 1 \, dx&=&\frac{a_0}{2} \int_{-\pi}^{\pi} \, 1\, dx\\\\ &+&\sum_{m=1}^{\infty}\left[ a_m\int_{-\pi}^{\pi}  \cos nx \, 1 \, dx +   b_m \int_{-\pi}^{\pi}\sin nx \, 1 \, dx \right] \end{eqnarray*}

より、

    \begin{eqnarray*} a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cdot 1 \, dx\quad\blacksquare \end{eqnarray*}

となる。\frac{a_0}{2} と置いているために、n=0 のときも下の形でまとめることができる。

    \begin{eqnarray*} a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos nx \, dx \quad(n=\textcolor{red}{0},1,2,3,...) \end{eqnarray*}



b_n を求める場合は、f(x)\sin nx との内積を取れば良い。つまり、f(x)\sin nx をかけて [-\pi:\pi] で積分すれば良い。結果は

    \begin{eqnarray*} a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin nx \, dx \quad(n=1,2,3,...) \end{eqnarray*}



 n=0 がないのは、\sin0=0 だからである。\cos のときは、\cos 0 =1 の定数項として残っているだけである。



3. まとめ

 フーリエ係数は、三角関数の直交性から導出できることがわかっただろうか。また、平面ベクトルとの比較からフーリエ係数のイメージを持っておくと便利である。



^*:基底ベクトルとして扱いやすくするためには、規格化しておくのが良いだろうが、ここでは単に \sin,\cos を基底としてみている。






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