フーリエ係数の求め方・導出・意味／三角関数の直交性

　フーリエ係数 $a_n,b_n$ は以下で求められるが、フーリエ係数の意味を簡単に説明しておこうと思う。以下で、 $f(x)$ は $[-\pi:\pi]$ で周期的な関数とする。

$\begin{eqnarray*} \begin{cases} a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx \,dx \quad(n=0,1,2,3,...)\\\\ b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx \,dx \quad(n=1,2,3,...) \end{cases} \end{eqnarray*}$

1. フーリエ係数の意味
2. フーリエ係数の導出
3. まとめ

1. フーリエ係数の意味

　フーリエ級数展開とは、周期 $2\pi$ の周期関数 $f(x)$ を同じ周期を持った三角関数で展開してやることである。こんな風に。

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n \cos nx + b_n \sin nx) \end{eqnarray*}$

$a_n, b_n$ は、 $f(x)$ がそれぞれの三角関数の成分をどれだけ持っているかを表す。 $a_n$ は $\cos nx$ の重みを表す。

わかりやすいイメージ

　初めてフーリエ級数になれていない人は、 $\sum_{n=1}^{\infty}$ によって身構えしてしまう。一回そのことは忘れよう。そして2次元の平面ベクトルに戻ってみてほしい。

　下に平面ベクトル $(a\; b)$ を用意した。見てわかる通り、 $a$ は $x$ 軸方向の成分である。そして、 $b$ は $y$ 軸方向の成分である。

　そして今まで $x$ 軸、 $y$ 軸と呼んでいたものを $\cos x$ と $\sin x$ に置き換えてしまったのが下の図である。フーリエ級数のイメージはこのようなものである。

　結局「 $\cosx$ 方向の成分は何か？ $\sin x$ 方向の成分は何か？」を調べるのがフーリエ級数である。

　関数もベクトルと同じように扱うためには、とりあえずは下のように決めてやれば良い $^{*}$ 。

　実際は、 $\sum_{n=1}^{\infty}$ であったため、ベクトルの次元は無限に大きい。

フーリエ係数を求める

　2次元ベクトルで $a,b$ の成分を求める場合は、求めたいベクトル $(a \quad b)$ に対して、 $(1 \quad 0),(0\quad 1)$ のベクトルで内積を取れば良い。そうすれば、図の上のように $a,b$ が求められる。

　 $\sin,\cos$ の場合も同様にできないだろうか？

できる。ただし、 $\sinx,\cosx$ が直交する場合である。実はフーリエ級数は関数空間の話なので踏み込まないが、上のベクトルから拡張するためには以下に注意する。

関数空間で「内積」を定義する
$\sin x,\cos x$ などが直交するか調べる

参考：線形空間のイメージを学ぶ。ベクトル空間→関数空間→状態空間

参考：ベクトル内積の意味。射影・なす角とは。

関数の内積の定義

ここでのフーリエ級数での二つの関数 $f(x),g(x)$ の内積の定義は、

$\begin{eqnarray*} f(x)\cdot g(x)=\int_{-\pi}^{\pi} f(x)g(x)\, dx \end{eqnarray*}$

ここでフーリエ級数においては

$f(x)$ ：フーリエ級数展開される側の関数
$g(x)$ ： $\cos x,\sin x$ などの三角関数

である。例えば、 $g(x)=\cos x$ とすると、

$\begin{eqnarray*} f(x)\cdot \textcolor{red}{\cos x}=\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\textcolor{red}{\cos x}\, dx \end{eqnarray*}$

となる。なんとなくフーリエ級数の形が見えてきたと思う。

三角関数の直交性

　内積を定義すると、関数同士が直交しているかどうかわかる！

では、 $f(x)=\sin x,g(x)=\cos x$ の内積を計算してみる。

$\begin{eqnarray*} \sin x\cdot \cos x&=&\int_{-\pi}^{\pi} \sin x\cosx \, dx\\\\ &=&\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\sin 2x \,dx\\\\ &=&\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{2}\cos 2x\right]_{-\pi}^{\pi}\\\\ &=& \textcolor{red}{0} \end{eqnarray*}$

となり、 $\cos x$ と $\sin x$ は直交している！したがって、初めに見た絵のように座標軸が直交しているようなイメージになる。

　自分自身との内積を考える。 $f(x)=\cos x, g(x)=\cos x$ として、

$\begin{eqnarray*} \cos x\cdot \cos x&=&\int_{-\pi}^{\pi} \cos^2 x \, dx\\\\ &=&\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi} 1+\cos2x \,dx\\\\ &=&\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}\left(x+\sin 2x)\right]_{-\pi}^{\pi}\\\\ &=&\textcolor{red}{\pi}\neq 0 \end{eqnarray*}$

となり直交していない。これは、 $\cos x$ が関数空間である大きさ（ノルム）を持っているということである。

　 $\sin nx,\cos nx$ などの一般的な三角関数についての内積は以下の通りである。

フーリエ級数で一番大事な式

$\begin{eqnarray*} &&\int_{-\pi}^{\pi} \sin mx \cos nx \,dx=0 \\\\\\ &&\int_{-\pi}^{\pi} \sin mx \sin nx \, dx= \begin{cases} \pi\quad({\rm if} \quad n=m)\\ 0 \quad({\rm if} \quad n\neq m) \end{cases}\\\\\\ &&\int_{-\pi}^{\pi} \cos mx \cos nx \, dx= \begin{cases} \pi \quad({\rm if} \quad n=m)\\ 0 \quad({\rm if} \quad n\neq m) \end{cases} \end{eqnarray*}$

参考：三角関数の直交性の証明

見ての通り、自分以外の関数とは直交することがわかる。したがって、初めにベクトルの成分を内積で取り出せたように、 $f(x)$ のフーリエ係数 $a_n,b_n$ を「関数の内積」で取り出せそうである。

ベクトル空間との違いは、

自分同士の内積は $\textcolor{red}{\pi}$
内積の定義に注意する

である。

　これを踏まえて以下ではフーリエ係数を導出する。

2. フーリエ係数の導出

　以上の三角関数の直交性さえ理解していれば、フーリエ係数は簡単に導出できる。まず、周期 $2\pi$ の $f(x)$ を下のように展開する。

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{m=1}^{\infty}(a_m \cos mx + b_m \sin mx) \end{eqnarray*}$

ここで、 $f(x)$ と $\cos nx$ の内積をとる。つまり、両辺に $\cos nx$ をかけて $[-\pi:\pi]$ で積分する。

$\begin{eqnarray*} &&\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos nx \, dx\\\\ &&=\frac{a_0}{2} \int_{-\pi}^{\pi} \cos nx\, dx\\\\ &&+\sum_{m=1}^{\infty}\left[ a_m\textcolor{red}{\int_{-\pi}^{\pi} \cos nx \cos mx \, dx}+ b_m \textcolor{blue}{\int_{-\pi}^{\pi}\sin nx \cos mx \, dx} \right] \end{eqnarray*}$

ここで、 $x$ の積分に関係のない $a_m,b_m$ は $\int$ の外に出した。

右辺の積分で $0$ にならない部分がわかるだろうか？

三角関数の直交性からもちろん $\cos mx\cos nx$ の $\textcolor{red}{m=n}$ の部分だけが残る！そして自分同士の内積は $\pi$ であった。したがって、

$\begin{eqnarray*} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos nx \, dx&=& a_n\textcolor{red}{\int_{-\pi}^{\pi} \cos nx \cos nx \, dx}\\\\ &=&a_n \pi \end{eqnarray*}$

となり、

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos nx \, dx\quad\blacksquare \end{eqnarray*}$

を得る。

$a_0$ が欲しい場合は、 $1=\cos 0$ と $f(x)$ の内積を取れば良い。つまり、

$\begin{eqnarray*} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\, 1 \, dx&=&\frac{a_0}{2} \int_{-\pi}^{\pi} \, 1\, dx\\\\ &+&\sum_{m=1}^{\infty}\left[ a_m\int_{-\pi}^{\pi} \cos nx \, 1 \, dx + b_m \int_{-\pi}^{\pi}\sin nx \, 1 \, dx \right] \end{eqnarray*}$