【微分方程式】例題でわかる：全微分型（問題の見分け方／解法）

　全微分型の微分方程式を解く。全微分型とは

$\begin{eqnarray*} df=\frac{\partial f}{\partial x}\, dx + \frac{\partial f}{\partial y}\, dy=0 \end{eqnarray*}$

の形をしている。これは $f(x,y)$ が分かれば簡単に解ける。つまり、一般解は

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=C \end{eqnarray*}$

である。問題は「いかにして $f(x,y)$ を求めるか」である。例題を解いて見ていこう。ここでは正攻法により求める。（参考：ずるい完全微分型の解法）

例題

以下の微分方程式を解け。

$\begin{eqnarray*} &&(1)\quad (2x+3y+4)dx+(3x+4y+1)dy=0\\ &&(2)\quad (2e^{2x}\sin y+y)dx+(e^{2x}\cos y+x)dy=0\\ &&(3)\quad (2-\sqrt{\frac{y}{x}})dx+(2-\sqrt{\frac{x}{y}})dy=0 \end{eqnarray*}$

1. 全微分型の微分方程式
2. 例題の解答
3. まとめ

1. 全微分型の微分方程式

全微分型の微分方程式の説明をおこない、その後解き方を解説する。

全微分型とは何か

　全微分型が何かわからないと解き方を覚えていても仕方ないので、全微分型の形を示す。

$\begin{eqnarray*} df=\textcolor{red}{\frac{\partial f}{\partial x}}\, dx + \textcolor{blue}{\frac{\partial f}{\partial y}}\, dy=0\quad\cdots (*) \end{eqnarray*}$

　例題を見るとわかる通り、実際は以下の形が全微分型であることを見分けないといけない。

$\begin{eqnarray*} \textcolor{red}{P(x,y)}\, dx + \textcolor{blue}{Q(x,y)}\, dy=0\quad\cdots(*)' \end{eqnarray*}$

　この左辺が、何かの全微分になっていれば、(*)と一致する。すなわち、与えられた問題が全微分型であれば、

$\begin{eqnarray*} \begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x}=P(x,y)\\\\ \frac{\partial f}{\partial y}=Q(x,y) \end{cases} \end{eqnarray*}$

である。以下では(*)’が $f(x,y)$ の全微分になるための条件を説明する。

全微分型の条件

ポイント

与えられた

$\begin{eqnarray*} \omega=P(x,y)dx+Q(x,y)dy \end{eqnarray*}$

がある関数の全微分であるための必要十分条件は

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x} \end{eqnarray*}$

が成立することである。

【参考】関数がf(x,y)の全微分であるための必要十分条件（証明）

　初めの３つの例題の左辺

$\begin{eqnarray*}&& (2x+3y+4)dx+(3x+4y+1)dy\\ &&(2e^{2x}\sin y+y)dx+(e^{2x}\cos y+x)dy\\ &&(2-\sqrt{\frac{y}{x}})dx+(2-\sqrt{\frac{x}{y}})dy \end{eqnarray*}$

については、確かに上の必要十分条件を満たすことが確認できる。全微分型になっているかどうかをチェックした後で、以下の解法を用いて微分方程式を解く流れである。

全微分型の解き方（簡単な例）

　１変数関数 $y(x)$ の場合

$\begin{eqnarray*} y'=0 \quad(dy=0\cdot dx)\quad\Rightarrow \quad y(x)=C \end{eqnarray*}$

であった。したがって、２変数関数 $z=f(x,y)$ の場合

$\begin{eqnarray*} \textcolor{red}{df(x,y)=0 \quad \Rightarrow \quad f(x,y)=C} \end{eqnarray*}$

は簡単にわかる。

いくつかの例を見ていく。

$\begin{eqnarray*} &&ydx+xdx=0\quad\Rightarrow \quad d(xy)=0\quad \therefore xy=C\\ &&xdx+ydx=0\quad\Rightarrow \quad d(x^2+y^2)=0\quad \therefore x^2+y^2=C\\ &&xdy-ydx=0\quad\Rightarrow \quad d\left(\frac{y}{x}\right)=0\quad \therefore \frac{y}{x}=C\\ &&x^2dx+y^2dy=0\quad\Rightarrow \quad d(x^3+y^3)=0\quad \therefore x^3+y^3=C\\ &&xy^2dx+x^2ydy=0\quad\Rightarrow \quad d(x^2y^2)=0\quad \therefore x^2y^2=C \end{eqnarray*}$

大丈夫だろうか。結局、 $f(x,y)$ を求めることができれば、微分方程式が解けたも同然である。

f(x,y)を求める

$\begin{eqnarray*} \textcolor{red}{P(x,y)}\, dx + \textcolor{blue}{Q(x,y)}\, dy=0\quad\cdots(*)' \end{eqnarray*}$

が全微分型であることを確認した後で、 $f(x,y)$ を求める。 $f$ を求めるということを常に頭に置いて、下の求め方を見ていくのがよい（そうでないと迷子になる）。

【 $f$ の求め方】

(*)’式の左辺が $f$ の全微分であるため、

$\begin{eqnarray*} \begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x}=P(x,y)\\ \frac{\partial f}{\partial y}=Q(x,y)\\ \end{cases}\quad\cdots (*)'' \end{eqnarray*}$

である。

上の式に対して、両辺を $x$ で積分する。

$\begin{eqnarray*} f(x,y)&=&\int P(x,y)\,dx +\phi(y)\\\\ &=&g(x,y)+\phi(y)\quad\quad(g(x,y)\equiv \int P(x,y)\,dx) \end{eqnarray*}$

ここで、 $\phi(y)$ は $x$ を含まない関数である（１変数のときの積分定数に対応）。 (*)”の下より、この $f$ を $y$ で偏微分すれば、 $Q(x,y)$ になる。

$\begin{eqnarray*} &&\frac{\partial}{\partial y}\left(g(x,y)+\phi(y)\right)=Q(x,y)\\\\ &&\phi'(y)=Q(x,y)-\frac{\partial g(x,y)}{\partial y} \end{eqnarray*}$

右辺の $Q(x,y),g(x,y)$ は既知であるため、両辺を $y$ で積分して $\phi(y)$ を求めることができる。

以上より、

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=g(x,y)+\phi(y) \end{eqnarray*}$

として、 $f(x,y)$ が求められる。したがって、微分方程式の一般解は

$\begin{eqnarray*} &&f(x,y)=g(x,y)+\phi(y)=C\\\\ &&\quad\left(g(x,y)\equiv \int P(x,y)\,dx\right) \end{eqnarray*}$

となる。

解法まとめ

全微分型微分方程式

$\begin{eqnarray*} P(x,y)dx+Q(x,y)=0 \end{eqnarray*}$

の解き方は以下の通りである。

全微分型の微分方程式の解法まとめ

全微分型であること、以下の条件より確かめる
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x} \end{eqnarray*}$
$f$ を、 $P$ を $x$ で積分した関数と $\phi(y)$ で表す
$\begin{eqnarray*} f(x,y)=g(x,y)+\phi(y)\quad(g(x,y)\equiv \int P(x,y)\, dx) \end{eqnarray*}$
上の $f$ を $y$ で微分したものが $Q$ になる
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=Q(x,y)\quad\rightarrow \quad \phi'(y)=Q(x,y)-\frac{\partial g(x,y)}{\partial y} \end{eqnarray*}$
上の式を $y$ で積分して、 $\phi(y)$ を求める
$f(x,y)=g(x,y)+\phi(y)$ が求められ、下の式が微分方程式の一般解となる
$\begin{eqnarray*} f(x,y)=g(x,y)+\phi(y)=C \end{eqnarray*}$

具体的に例題を解いていったほうが、圧倒的にわかりやすい。

2. 例題の解答

　以下の解答で、 $C,C_1$ などは定数である。

例題(1)の解答

$\begin{eqnarray*} (1)\quad (2x+3y+4)dx+(3x+4y+1)dy=0 \end{eqnarray*}$

について

$\begin{eqnarray*} \begin{cases} P(x,y)=2x+3y+4\\ Q(x,y)=3x+4y+1 \end{cases} \end{eqnarray*}$

とおく。

全微分型をチェック：

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial P}{\partial y}=3=\frac{\partial Q}{\partial x} \end{eqnarray*}$

より全微分型。

微分方程式の左辺が $f$ の全微分とする：

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x}\,dx+\frac{\partial f}{\partial y}\,dy =(2x+3y+4)dx+(3x+4y+1)dy \end{eqnarray*}$

この $f$ を求めたい

$P(x,y)=2x+3y+4$ から求めていく：

$\begin{eqnarray*} &&\frac{\partial f}{\partial x}=2x+3y+4\\\\ \Rightarrow \quad&& f=\int (2x+3y+4)\,dx + \phi(y)\\\\ \Rightarrow \quad&& \textcolor{red}{f=x^2 +3xy + 4x + \phi(y)} \end{eqnarray*}$

$f$ を $y$ で偏微分したものが $Q$ ：

$\begin{eqnarray*} &&\frac{\partial f}{\partial y}=Q(x,y)\\\\ \Leftrightarrow \quad&& 3x+\phi'(y)=3x+4y+1\\\\ \Leftrightarrow \quad && \phi'(y)=4y+1\\\\ \quad \therefore && \phi(y)=2y^2+y+C \end{eqnarray*}$

$f$ がわかる：

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=x^2+3xy+4x+2y^2 + y \end{eqnarray*}$

一般解：

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=x^2+3xy+4x+2y^2 + y=C \quad\blacksquare \end{eqnarray*}$

* $P$ から求めていったが、 $Q$ から

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial y}=Q \end{eqnarray*}$

を $y$ で積分して、 $f$ を求めることもできる。

例題(2)の解答

$\begin{eqnarray*} (2)\quad (2e^{2x}\sin y+y)dx+(e^{2x}\cos y+x)dy=0 \end{eqnarray*}$

全微分型をチェック：

$\begin{eqnarray*} \begin{cases} P(x,y)=2e^{2x}\sin y+y\\ Q(x,y)=e^{2x}\cos y+x \end{cases} \end{eqnarray*}$

とおく。

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial P}{\partial y}=2e^{2x}\cos y + 1=\frac{\partial Q}{\partial x} \end{eqnarray*}$

確かに全微分であるための必要十分条件を満たす。

微分方程式の左辺が $f$ の全微分とする：

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x}\,dx+\frac{\partial f}{\partial y}\,dy =(2e^{2x}\sin y+y)\,dx+(e^{2x}\cos y+x)\,dy \end{eqnarray*}$

この $f$ を求めたい

$P(x,y)=2e^{2x}\sin y+y$ から求めていく：

$\begin{eqnarray*} &&\frac{\partial f}{\partial x}=2e^{2x}\sin y+y\\\\ \Rightarrow \quad && f=\int (=2e^{2x}\sin y+y)\, dx +\phi(y)\\\\ \Rightarrow \quad && f=e^{2x}\sin y + xy +\phi(y) \end{eqnarray*}$

$f$ を $y$ で偏微分したものが $Q$ ：

$\begin{eqnarray*} &&\frac{\partial f}{\partial y}=Q\\\\ \Leftrightarrow \quad&& \phi'(y)=0 \end{eqnarray*}$

よって、

$\begin{eqnarray*} \phi(y)=C \end{eqnarray*}$

$f$ がわかり、一般解がわかる：

$\begin{eqnarray*} f(x,y) =e^{2x}\sin y + xy =C\quad\blacksquare \end{eqnarray*}$

例題(3)の解答

$\begin{eqnarray*} (3)\quad (2-\sqrt{\frac{y}{x}})dx+(2-\sqrt{\frac{x}{y}})dy=0 \end{eqnarray*}$

全微分型をチェック：

$\begin{eqnarray*} \begin{cases} P(x,y)=1-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{y}{x}}\\ Q(x,y)=1-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{x}{y}} \end{cases} \end{eqnarray*}$

とおく。

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial P}{\partial y}=-\frac{1}{\sqrt{xy}}=\frac{\partial Q}{\partial x} \end{eqnarray*}$

より、確かに全微分であるための必要十分条件を満たす。

微分方程式の左辺が $f$ の全微分とする：

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x}\,dx+\frac{\partial f}{\partial y}\,dy =\left(1-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{y}{x}}\right)\,dx +\left(1-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{x}{y}}\right)\,dy \end{eqnarray*}$

この $f$ を求めたい

$P(x,y)=1-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{y}{x}}$ から求めていく：

$\begin{eqnarray*} &&\frac{\partial f}{\partial x}=1-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{y}{x}}\\\\ \Rightarrow \quad&& f(x,y)=\int \left(1-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{y}{x}}\right)\, dx+\phi(y)\\\\ \Leftrightarrow \quad&& f(x,y)=2x-2\sqrt{xy}+\phi(y) \end{eqnarray*}$

$f$ を $y$ で偏微分したものが $Q$ ：

$\begin{eqnarray*} &&\frac{\partial f}{\partial y}=Q\\\\ \Leftrightarrow \quad&& -\sqrt{\frac{x}{y}}+\phi'(y)=2-\sqrt{\frac{x}{y}}\\\\ \Leftrightarrow \quad&& \phi'(y)=2 \end{eqnarray*}$

したがって、

$\begin{eqnarray*} \phi(y)=2y \end{eqnarray*}$

$f$ がわかり、一般解がわかる：

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=2(x+y-\sqrt{xy})&=&C_1\\\\ \therefore \quad (x+y-\sqrt{xy})&=&C\quad\blacksquare \end{eqnarray*}$

3. まとめ

　全微分型の微分方程式はいかがだっただろうか。このタイプは、具体的な例題を解いていくと自然に解き方が身につくと思う。ただし、全微分になっているかどうかのチェックは忘れずに。

【微分方程式】例題で学ぶ：全微分型（問題の見分け方／解法）