【全微分】関数がf(x,y)の全微分であるための必要十分条件（証明）

　ここでは、全微分の形がどうか調べる方法を学ぶ。応用として、完全微分型の微分方程式を解く上で非常に重要である。

　ある関数が全微分になっているか調べるためには、以下の条件を用いると良い。

ポイント

ある関数

$\begin{eqnarray*} \omega=P(x,y)dx+Q(x,y)dy \end{eqnarray*}$

が $f(x,y)$ の全微分 $df$ であるための必要十分条件は

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial P(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x} \end{eqnarray*}$

が成立することである。

1. 全微分の定義
2. 証明
- 必要条件
- 十分条件
3. まとめ

1. 全微分の定義

　２変数関数の場合の全微分の形をまとめておく。 $z=f(x,y)$ の全微分は以下のように $x,y$ の偏微分によって表される。

ポイント

$\begin{eqnarray*} dz=df&=&\frac{\partial f(x,y)}{\textcolor{red}{\partial x}}\,\textcolor{red}{dx} +\frac{\partial f(x,y)}{\textcolor{blue}{\partial y}}\,\textcolor{blue}{dy}\\\\ &=&f_x(x,y)\,dx+f_y(x,y)\,dy \end{eqnarray*}$

これは基本なのでおさえておく。

2. 証明

必要条件、十分条件についてそれぞれ証明していく。

必要条件

　 $\omega$ が $f(x,y)$ の全微分 ( $\omega=df$ ) のとき、

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial P(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x} \end{eqnarray*}$

となることを示す。

【証明】

$\begin{eqnarray*} &&\omega=P(x,y)\textcolor{red}{dx}+Q(x,y)\textcolor{blue}{dy}\\\\ &&df=\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\,\textcolor{red}{dx} +\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\,\textcolor{blue}{dy} \end{eqnarray*}$

について、 $\textcolor{red}{dx},\textcolor{blue}{dy}$ が独立であるため $\omega=df$ のとき

$\begin{eqnarray*} \begin{cases} P(x,y)=\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\\\\ Q(x,y)=\frac{\partial f(x,y)}{\partial y} \end{cases} \end{eqnarray*}$

上を $y$ で偏微分、下を $x$ で偏微分して

$\begin{eqnarray*} \begin{cases} \frac{\partial P(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x\partial y}\\\\ \frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}=\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial y\partial x} \end{cases} \end{eqnarray*}$

となる。

したがって、

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial P(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}\quad\blacksquare \end{eqnarray*}$

となる。

十分条件

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial P(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x} \end{eqnarray*}$

のとき $\omega$ は $f(x,y)$ の全微分（ $\omega=df$ ）になることを示す。何の関数になっているかに注意して証明していく（ $\phi(y)$ など）。

【証明】

$\begin{eqnarray*} \textcolor{red}{\frac{\partial P(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}} \end{eqnarray*}$

が成立する。

このとき、

$\begin{eqnarray*} g(x,y)=\int P(x,y)\,dx \end{eqnarray*}$

とおく。 $x$ で偏微分して

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial g(x,y)}{\partial x}=P(x,y) \end{eqnarray*}$

を得る。

これをさらに、 $y$ で偏微分して

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial^2 g(x,y)}{\partial x \partial y}=\frac{\partial P(x,y)}{\partial y} \textcolor{red}{=\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}} \end{eqnarray*}$

となる。

$\partial/\partial x$ でまとめる。

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial x}\left\{Q(x,y)-\frac{\partial g(x,y)}{\partial y}\right\}=0 \end{eqnarray*}$

$x$ で偏微分して０になるため、カッコの中は $x$ を含まない $y$ のみの関数である。よって

$\begin{eqnarray*} Q(x,y)-\frac{\partial g(x,y)}{\partial y}=\phi(y) \end{eqnarray*}$

とおく。

ここで

$\begin{eqnarray*} z=f(x,y)=\textcolor{red}{g(x,y)+\int \phi(y)\,dy} \end{eqnarray*}$

とおく。

このとき

$\begin{eqnarray*} \begin{cases} \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=\frac{\partial g(x,y)}{\partial x}=P(x,y)\\\\ \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial g(x,y)}{\partial y}+\phi(y)=Q(x,y) \end{cases} \end{eqnarray*}$

となる。したがって、

$\begin{eqnarray*} \omega&=&P(x,y)\,dx + Q(x,y)\,dy\\\\ &=&\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\,dx+ \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\,dy=df\quad\blacksquare \end{eqnarray*}$

となる。

3. まとめ

　完全微分型の微分方程式を学ぶときに、ここの内容を思い出してあげて。

1. 全微分の定義

2. 証明

必要条件

十分条件

3. まとめ

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