【全微分】関数がf(x,y)の全微分であるための必要十分条件(証明)


 ここでは、全微分の形がどうか調べる方法を学ぶ。 応用として、完全微分型の微分方程式を解く上で非常に重要である。

 ある関数が全微分になっているか調べるためには、以下の条件を用いると良い。

ポイント

ある関数

    \begin{eqnarray*} \omega=P(x,y)dx+Q(x,y)dy \end{eqnarray*}


f(x,y) の全微分 df であるための必要十分条件は

    \begin{eqnarray*} \frac{\partial P(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x} \end{eqnarray*}


が成立することである。




1. 全微分の定義

 2変数関数の場合の全微分の形をまとめておく。 z=f(x,y) の全微分は以下のように x,y の偏微分によって表される。

ポイント


    \begin{eqnarray*} dz=df&=&\frac{\partial f(x,y)}{\textcolor{red}{\partial x}}\,\textcolor{red}{dx} +\frac{\partial f(x,y)}{\textcolor{blue}{\partial y}}\,\textcolor{blue}{dy}\\\\ &=&f_x(x,y)\,dx+f_y(x,y)\,dy \end{eqnarray*}



これは基本なのでおさえておく。


2. 証明

必要条件、十分条件についてそれぞれ証明していく。


必要条件

 \omegaf(x,y) の全微分 (\omega=df) のとき、

    \begin{eqnarray*} \frac{\partial P(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x} \end{eqnarray*}

となることを示す。



【証明】

    \begin{eqnarray*} &&\omega=P(x,y)\textcolor{red}{dx}+Q(x,y)\textcolor{blue}{dy}\\\\ &&df=\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\,\textcolor{red}{dx} +\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\,\textcolor{blue}{dy} \end{eqnarray*}

について、\textcolor{red}{dx},\textcolor{blue}{dy} が独立であるため \omega=df のとき

    \begin{eqnarray*} \begin{cases} P(x,y)=\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\\\\ Q(x,y)=\frac{\partial f(x,y)}{\partial y} \end{cases} \end{eqnarray*}


上を y で偏微分、下を x で偏微分して

    \begin{eqnarray*} \begin{cases} \frac{\partial P(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x\partial y}\\\\ \frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}=\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial y\partial x} \end{cases} \end{eqnarray*}

となる。


したがって、

    \begin{eqnarray*} \frac{\partial P(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}\quad\blacksquare \end{eqnarray*}

となる。


十分条件

    \begin{eqnarray*} \frac{\partial P(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x} \end{eqnarray*}

のとき \omegaf(x,y) の全微分(\omega=df)になることを示す。 何の関数になっているかに注意して証明していく(\phi(y) など)。



【証明】

    \begin{eqnarray*} \textcolor{red}{\frac{\partial P(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}} \end{eqnarray*}

が成立する。


このとき、

    \begin{eqnarray*} g(x,y)=\int P(x,y)\,dx \end{eqnarray*}

とおく。x で偏微分して

    \begin{eqnarray*} \frac{\partial g(x,y)}{\partial x}=P(x,y) \end{eqnarray*}

を得る。


これをさらに、y で偏微分して

    \begin{eqnarray*} \frac{\partial^2 g(x,y)}{\partial x \partial y}=\frac{\partial P(x,y)}{\partial y} \textcolor{red}{=\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}} \end{eqnarray*}

となる。


\partial/\partial x でまとめる。

    \begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial x}\left\{Q(x,y)-\frac{\partial g(x,y)}{\partial y}\right\}=0 \end{eqnarray*}

x で偏微分して0になるため、カッコの中は x を含まない y のみの関数である。よって

    \begin{eqnarray*} Q(x,y)-\frac{\partial g(x,y)}{\partial y}=\phi(y) \end{eqnarray*}

とおく。


ここで

    \begin{eqnarray*} z=f(x,y)=\textcolor{red}{g(x,y)+\int \phi(y)\,dy} \end{eqnarray*}

とおく。


このとき

    \begin{eqnarray*} \begin{cases} \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=\frac{\partial g(x,y)}{\partial x}=P(x,y)\\\\ \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial g(x,y)}{\partial y}+\phi(y)=Q(x,y) \end{cases} \end{eqnarray*}

となる。したがって、


    \begin{eqnarray*} \omega&=&P(x,y)\,dx + Q(x,y)\,dy\\\\ &=&\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\,dx+ \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\,dy=df\quad\blacksquare \end{eqnarray*}

となる。



3. まとめ

 完全微分型の微分方程式を学ぶときに、ここの内容を思い出してあげて。



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