【複素積分】応用（三角関数(cos,sin)型の実積分の変換）

　複素積分の応用問題を解く。ここで学ぶことは、

留数定理の応用
実積分を複素積分で解く

である。

有名な問題としてを積分しよう。

例題

(1) $\begin{eqnarray*}I=\int_{0}^{2\pi} \frac{d\theta}{1-2a{\rm cos}\theta +a^2}\\ \\ (a\neq 0, |a|\neq 1) \end{eqnarray*}$

1. 複素積分に変換して解く
2. 極を求めて留数定理を用いる
3. まとめ

1. 複素積分に変換して解く

積分区間は $0\leq \theta \leq 2\pi$ であるので、複素平面の単位円を複素積分の積分区間として

$\begin{eqnarray*} z&=&e^{i\theta} \; 0\leq \theta \leq 2\pi\\ &=& {\rm cos}\theta + i {\rm sin}\theta \end{eqnarray*}$

とおく。このとき、

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{z}&=&e^{-i\theta}={\rm cos}\theta + i {\rm sin}\theta\\ \\ dz&=&i e^{i\theta} d\theta\\ &=& i z d\theta\\ \Leftrightarrow d\theta&=&-\frac{idz}{z} \end{eqnarray*}$

である。 ${\rm cos}\theta$ を $z$ で表すと、

(2) $\begin{eqnarray*} {\rm cos}\theta=\frac{1}{2}\left( z+\frac{1}{z}\right) \end{eqnarray*}$

となる。三角関数を含んだ実積分から複素積分への変換はよくおこなわれる。

cosやsinの実積分から複素積分へ

$\begin{eqnarray*} {\rm cos}\theta &=& \frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)\\ {\rm sin}\theta &=& \frac{1}{2i}\left(z-\frac{1}{z}\right) \end{eqnarray*}$

を利用する。

複素積分の変換により求めたい積分は、

$\begin{eqnarray*} I&=&\cint \frac{-i\frac{dz}{z}}{1-2a\cdot\frac{1}{2}\left( z+\frac{1}{z}\right) + a^2}\\ \\ &=& \oint_C \frac{idz}{a(z^2+1)-z(1+a^2)}\\ \\ &=& \oint_C \frac{idz}{az^2 - (1+a^2) z + a}\\ \\ &=& \oint_C \frac{idz}{(az-1)(z-a)} \\ &=& \oint_C f(z) dz \end{eqnarray*}$

となる。被積分関数を $f(z)$ とおいた。

2. 極を求めて留数定理を用いる

分母がゼロになる特異点である極は2つある。それぞれ1位の極で、

(3) $\begin{eqnarray*} z=\frac{1}{a},\, a \end{eqnarray*}$

である。また、これらの留数を求める。

複素関数 $f(z)$ の1位の極 $z=z_0$ の留数

$\begin{eqnarray*} {\rm Res}(z_0,f(z)=\lim_{z\rightarrow z_0} (z-z_0)f(z) \end{eqnarray*}$

　　(i) $z=\frac{1}{a}$ の留数：

$\begin{eqnarray*} {\rm Res}(\frac{1}{a},f(z)&=&\lim_{z\rightarrow \frac{1}{a}} (z-\frac{1}{a})\cdot \frac{i}{a\left(z-\frac{1}{a}\right)(z-a)}\\ &=&\lim_{z\rightarrow \frac{1}{a}}\frac{i}{a(z-a)}\\ &=&\frac{i}{1-a^2} \end{eqnarray*}$

　　(ii) $z=a$ の留数：

$\begin{eqnarray*} {\rm Res}(a,f(z)&=&\lim_{z\rightarrow a} (z-a)\cdot \frac{i}{a\left(z-\frac{1}{a}\right)(z-a)}\\ &=& \lim_{z\rightarrow a} \frac{i}{a\left(z-\frac{1}{a}\right)}\\ &=& \frac{i}{a^2-1} \end{eqnarray*}$

　留数がわかったので、留数定理により求めたい積分 $I$ を計算する。ただし、留数定理の適用は、極が積分領域 $C$ （複素平面上の単位円）の内側にある極についてのみ $2\pi i {\rm Res}(z_0, f)$ として使えるのであった。(「コーシーの積分公式」を思い出してもらえればわかる。)

上の2つの極が $C$ の内外にある場合で場合分けをおこなう。問題文より、 $a=0$ と $|a|=1$ はない。

　　(I) $|\frac{1}{a}| < 1 \Leftrightarrow |a|>1$ のとき：

　このとき、 $|a| > 1$ であり、 $C$ の外にある。したがって、 $z=\frac{1}{a}$ の極についてのみ、留数定理を用いる。

$\begin{eqnarray*} I &=& 2\pi i {\rm Res}(\frac{1}{a}, f)2\pi i \, \frac{i}{1-a^2} \\ &=& \frac{2\pi}{a^2 - 1} \end{eqnarray*}$

　　(II) $|a|<1$ のとき：

　このとき、 $|\frac{1}{a}|>1$ であり、 $C$ の外にある。したがって、 $z=a$ の極についてのみ、留数定理を用いる。

$\begin{eqnarray*} I &=& 2\pi i {\rm Res}(a,f)=2\pi i \,\frac{i}{a^2-1} \\ &=& \frac{2\pi}{1-a^2} \end{eqnarray*}$

である。まとめて書くと、

$\begin{eqnarray*} I&=&\begin{cases} \frac{2\pi}{a^2 - 1}\; ({\rm for} |a|>1) \\ \frac{2\pi}{1-a^2}\; ({\rm for} |a|<1) \end{cases}\\ \\ &=& \frac{2\pi}{|1-a^2|} \end{eqnarray*}$