複素積分の応用問題を解く。 ここで学ぶことは、
- 留数定理の応用
- 実積分を複素積分で解く
である。
有名な問題としてを積分しよう。
例題
(1)
1. 複素積分に変換して解く
積分区間は
とおく。このとき、
である。 を
で表すと、
(2)
cosやsinの実積分から複素積分へ
複素積分の変換により求めたい積分は、

2. 極を求めて留数定理を用いる
分母がゼロになる特異点である極は2つある。それぞれ1位の極で、
(3)
複素関数
の1位の極
の留数


(i) の留数:
(ii) の留数:
留数がわかったので、留数定理により求めたい積分 を計算する。ただし、留数定理の適用は、極が積分領域
(複素平面上の単位円)の内側にある極についてのみ
として使えるのであった。(「コーシーの積分公式」を思い出してもらえればわかる。)



(I) のとき:
このとき、 であり、
の外にある。したがって、
の極についてのみ、留数定理を用いる。
(II) のとき:
このとき、 であり、
の外にある。したがって、
の極についてのみ、留数定理を用いる。
である。まとめて書くと、
3. まとめ
一般に、 の実積分を複素積分に変換するとうまく解けることがある。複素積分を計算する上で、留数定理が強力な武器になることも確認できたであろう。