【行列式】ヴァンデルモンドの行列式の証明


 以下のような「ヴァンデルモンドの行列式(Vandermonde’s determinant)」 と呼ばれる特殊な行列式がある。 対照的な綺麗な形をしており、行列式の性質を使うことで証明することができる。

ヴァンデルモンドの行列式

    \begin{eqnarray*} \left|\begin{array}{cccc} 1 &1 &\cdots&1\\\\  \lambda_1 &\lambda_2 &\cdots&\lambda_n\\\\  \vdots &\vdots& \ddots & \vdots \\\\  \lambda_1^{n-1} &\lambda_2^{n-1} &\cdots&\lambda_n^{n-1} \end{array}\right|  &=& \Pi_{1 \leq i  <  j \leq n} (\lambda_j-\lambda_i)\quad (*)\\\\  &=& (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\Pi_{1 \leq i  <  j \leq n} (\lambda_i-\lambda_j)\\\\  &&\quad(\Pi_i^{n}\lambda_i=\lambda_1 \cdot \lambda_2\cdot \cdots \cdot \lambda_n)  \end{eqnarray*}




1. 証明

 方針:帰納法を用いる。

【証明】

(i) n=2 のとき

    \begin{eqnarray*} \left|  \begin{array}{cc}  1&1\\  \lambda_1&\lambda_2  \end{array}  \right|=\lambda_2 -\lambda_1  \end{eqnarray*}

より(*)は成り立つ。


(ii) n=k-1 のとき(*)が成り立つと仮定する。

    \begin{eqnarray*} \left|\begin{array}{cccc} 1 &1 &\cdots&1\\\\  \lambda_1 &\lambda_2 &\cdots&\lambda_{k-1}\\\\  \vdots &\vdots& \ddots & \vdots \\\\  \lambda_1^{k-2} &\lambda_2^{k-2} &\cdots&\lambda_{k-1}^{k-2} \end{array}\right|  &=& \Pi_{1 \leq i  <  j \leq k-1} (\lambda_j-\lambda_i)\quad\cdots\quad(*)'  \end{eqnarray*}

このとき、n=k に対して(*)の左辺(LHS; left-hand side)は

    \begin{eqnarray*} \left|\begin{array}{ccccc} 1 &1 &\cdots&1&1\\\\  \lambda_1 &\lambda_2 &\cdots&\lambda_{k-1}&\lambda_{k}\\\\  \vdots &\vdots& \ddots & \vdots &\vdots \\\\  \lambda_1^{k-2} &\lambda_2^{k-2} &\cdots&\lambda_{k-1}^{k-2}&\lambda_{k}^{k-2}\\\\  \lambda_1^{k-1} &\lambda_2^{k-1} &\cdots&\lambda_{k-1}^{k-1}&\lambda_{k}^{k-1} \end{array}\right|  \end{eqnarray*}

である。

 ここで以下の操作をおこなう。

証明のポイント


  • (n行目)-\textcolor{blue}{\lambda_1}×(n-1行目)
  • (n-1行目)-\textcolor{blue}{\lambda_1}×(n-2行目)
  • ・・・
  • (2行目)-\textcolor{blue}{\lambda_1}×(1行目)

この操作により、

    \begin{eqnarray*}({\rm LHS})&=&\left|\begin{array}{ccccc} 1 &1 &\cdots&1&1\\\\  0&\lambda_2 -\textcolor{blue}{\lambda_1}  &\cdots&\lambda_{k-1}-\textcolor{blue}{\lambda_1}  &\lambda_{k}-\textcolor{blue}{\lambda_1}\\\\  \vdots &\vdots& \ddots & \vdots &\vdots \\\\  0&\lambda_2^{k-2}-\textcolor{blue}{\lambda_1}\lambda_2^{k-1}  &\cdots&\lambda_{k-1}^{k-2}-\textcolor{blue}{\lambda_1}\lambda_{k-1}^{k-3}  &\lambda_{k}^{k-2}-\textcolor{blue}{\lambda_1}\lambda_k^{k-1}\\\\  0&\lambda_2^{k-1}-\textcolor{blue}{\lambda_1}\lambda_2^{k-2}  &\cdots&\lambda_{k-1}^{k-1}-\textcolor{blue}{\lambda_1}\lambda_{k-1}^{k-2}  &\lambda_{k}^{k-1}-\textcolor{blue}{\lambda_1}\lambda_{k}^{k-2}  \end{array}\right| \\\\\\ &=&  \left|\begin{array}{ccccc} \textcolor{red}{1} &1 &\cdots&1&1\\\\  0&(\lambda_2 -\textcolor{blue}{\lambda_1})  &\cdots&(\lambda_{k-1}-\textcolor{blue}{\lambda_1})  &(\lambda_{k}-\textcolor{blue}{\lambda_1})\\\\  \vdots &\vdots& \ddots & \vdots &\vdots \\\\  0&(\lambda_2-\textcolor{blue}{\lambda_1})\lambda_2^{k-1}  &\cdots&(\lambda_{k-1}-\textcolor{blue}{\lambda_1})\lambda_{k-1}^{k-3}  &(\lambda_{k}-\textcolor{blue}{\lambda_1})\lambda_k^{k-1}\\\\  0&(\lambda_2-\textcolor{blue}{\lambda_1})\lambda_2^{k-2}  &\cdots&(\lambda_{k-1}-\textcolor{blue}{\lambda_1})\lambda_{k-1}^{k-2}  &(\lambda_{k}-\textcolor{blue}{\lambda_1})\lambda_{k}^{k-2}  \end{array}\right|\\\\\\   &=&  \textcolor{red}{1}\cdot\left|\begin{array}{ccccc}  (\lambda_2 -\textcolor{blue}{\lambda_1})  &\cdots&(\lambda_{k-1}-\textcolor{blue}{\lambda_1})  &(\lambda_{k}-\textcolor{blue}{\lambda_1})\\\\  \vdots& \ddots & \vdots &\vdots \\\\  (\lambda_2-\textcolor{blue}{\lambda_1})\lambda_2^{k-1}  &\cdots&(\lambda_{k-1}-\textcolor{blue}{\lambda_1})\lambda_{k-1}^{k-3}  &(\lambda_{k}-\textcolor{blue}{\lambda_1})\lambda_k^{k-1}\\\\  (\lambda_2-\textcolor{blue}{\lambda_1})\lambda_2^{k-2}  &\cdots&(\lambda_{k-1}-\textcolor{blue}{\lambda_1})\lambda_{k-1}^{k-2}  &(\lambda_{k}-\textcolor{blue}{\lambda_1})\lambda_{k}^{k-2}  \end{array}\right|\\\\\\ \end{eqnarray*}

より、

    \begin{eqnarray*} ({\rm LHS})&=&(\lambda_2-\textcolor{blue}{\lambda_1})\cdot\cdots\cdot (\lambda_{k-1}-\textcolor{blue}{\lambda_1})\cdot  (\lambda_k-\textcolor{blue}{\lambda_1})\, \left|\begin{array}{cccc} 1&\cdots&1&1\\\\ \vdots& \ddots & \vdots &\vdots \\\\ \lambda_2^{k-1}  &\cdots&\lambda_{k-1}^{k-3}  &\lambda_k^{k-1}\\\\ \lambda_2^{k-2}  &\cdots&\lambda_{k-1}^{k-2}  &\lambda_{k}^{k-2}  \end{array}\right| \\\\\\  &=&\Pi_{\textcolor{red}{1} \leq i  <  j \leq k} (\lambda_j-\lambda_i) \quad\blacksquare   \end{eqnarray*}



  \lambda_j -\lambda_i1\leq i  <  j\leq k_{k}C_2=\frac{k(k-1)}{2} 個ある。また、\lambda_j-\lambda_i \rightarrow \lambda_i-\lambda_j と入れ替えるごとに (-1) の因子がつく。

 したがって最後の行で \lambda_i -\lambda_j と書き換えると、

    \begin{eqnarray*} \Pi_{\textcolor{red}{1} \leq i  <  j \leq k} (\lambda_j-\lambda_i)  =(-1)^{\frac{k(k-1)}{2}}\Pi_{\textcolor{red}{1} \leq i  <  j \leq k} (\lambda_i-\lambda_j)\quad\blacksquare  \end{eqnarray*}

となる。

 以上より、ヴァンデルモンドの行列式(*)が成り立つことが示された。\blacksquare


2. 登場場面

本サイトではn階線形微分方程式の基本解に関する「ロンスキー行列の行列式」で登場した。 そういったこともあり証明方法をここにまとめた次第。


3. まとめ

 i とか j とか分かりにくかったら 4\times 4 くらいの小さい行列で具体的に計算してみるのが良いと思います。



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