【行列式】転置行列tAの行列式についてdet(tA)=det(A)


転置行列の行列式

    \begin{eqnarray*}{\rm det}(^tA)={\rm det}(A)\end{eqnarray*}

 本記事では、n次正方行列Aの転置行列 ^tA の行列式{\rm det}(^tA){\rm det}A と等しくなることを示す。証明する上で、行列式の定義に習熟している必要がある。



1. 転置行列の表現

 転置行列 ^tAA を左上から右下への対角線で折り返せば良い。3次正方行列の場合、

    \begin{eqnarray*}A&=&\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e & f\\ g & h & i\end{array}\right) \\&\downarrow&\\^tA&=&\left(\begin{array}{ccc}a& d& g \\ b& e & h\\ c & f & i\end{array}\right)\end{eqnarray*}

となる。値は、

    \begin{eqnarray*}b\leftrightarrow d\\c\leftrightarrow g\\f\leftrightarrow h\end{eqnarray*}

のように入れ替わるので、置換 \sigma で表すと

    \begin{eqnarray*}\sigma=(b \;d)(c \;g)(f \;h)\end{eqnarray*}

のようになる。

n次正方行列の場合、

    \begin{eqnarray*}A&=&\left(\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\\vdots&&\ddots& \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{array}\right) \\&\downarrow&\\^tA&=&\left(\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1}\\a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2}\\\vdots&&\ddots& \vdots \\a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn}\\\end{array}\right)\end{eqnarray*}


となる。A の要素を a_{ij}^tA の要素を b_{ij} とすれば、a_{ij}=b_{ji} である。

2. det(tA)=det(A) の証明

n 次正方行列の行列式の定義は、

n 次正方行列の行列式

 

    \begin{eqnarray*} {\rm det}(A) = \sum_{\sigma \in S_n} {\rm sgn}(\sigma)a_{1\sigma(1)} a_{2\sigma(2)}a_{3\sigma(3)}\cdots a_{n\sigma(n)} \end{eqnarray*}

 

ここで、
 \sigma:置換
 {\rm sgn}(\sigma):置換の符号
 S_n:置換全体の集合
を表す。

2.1 【証明】


 n 次正方行列A の要素を a_{ij}^tA の要素を b_{ij} と置く(a_{ij}=b_{ji})。
行列式の定義より、

    \begin{eqnarray*}{\rm det}(^tA)&=&\sum_{\sigma \in S_n} {\rm sgn}(\sigma)b_{1\sigma(1)} b_{2\sigma(2)}b_{3\sigma(3)}\cdots b_{n\sigma(n)}\\ \\&=&\sum_{\sigma \in S_n} {\rm sgn}(\sigma)a_{\sigma(1)1} a_{\sigma(2)2}a_{\sigma(3)3}\cdots a_{\sigma(n)n} \quad\cdots (1)\end{eqnarray*}

である。\{\sigma(1),\,\sigma(2),\,\cdots,\,\sigma(n)\} はそれぞれが元々の \{1,\,2,\,\cdots,\,n \} に一致するので、並び替えて

    \begin{eqnarray*}a_{\sigma(1)1} a_{\sigma(2)2}a_{\sigma(3)3}\cdots a_{\sigma(n)n}=a_{1\sigma^{-1}(1)} a_{2\sigma^{-1}(2)} a_{3\sigma^{-1}(3)} \cdots a_{n\sigma^{-1}(n)}\quad \cdots (2)\end{eqnarray*}


となる。ここで、\sigma(k)\rightarrow lに対し

    \begin{eqnarray*}\sigma^{-1}(l)\rightarrow k \sigma^{-1}(l)\\ \\{\rm sgn}(\sigma^{-1})={\rm sgn}(\sigma)\end{eqnarray*}


となる逆置換 \sigma^{-1} を用いた。また、\sigma\in S_n のとき、\sigma^{-1}\in S_n である。式(2)を式(1)へ代入して、

    \begin{eqnarray*}{\rm det}(A)&=&\sum_{\sigma^{-1} \in S_n}a_{1\sigma^{-1}(1)} a_{2\sigma^{-1}(2)} a_{3\sigma^{-1}(3)} \cdots a_{n\sigma^{-1}(n)}\\ \\&=&\sum_{\tau \, \in S_n}a_{1\tau(1)} a_{2\tau(2)} a_{3\tau(3)} \cdots a_{n\tau(n)}\quad (\sigma^{-1}=\tau)\\ \\&=& {\rm det}(A)\end{eqnarray*}


となる。

\blacksquare

 以上のように置換を使いこなし

    \begin{eqnarray*}{\rm det}(^tA)={\rm det}(A)\end{eqnarray*}

が証明できる。


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