数検1級1次で覚えておくべき技

　過去問と実際に数学検定（数検１級）を受けた感触からまとめました。とくに１次試験の対策や勉強法として活用していただければいいと思います。「技」というより絶対に落としてはいけない問題みたいな話です。思いつき次第、随時更新していく(2019/06/18)。完全微分型を追加した(2019/09/23)。

1. 大問1系
- 1.1 三乗根の二重根号外し
- 1.2 ユークリッド互除法
2. 微分・積分／微分方程式
- 2.1 ウォリス積分
- 2.2 全微分型の微分方程式のずるい解法
3. ベクトル・行列
4. 使わないもの
- 4.1 複素積分
- 4.2 フーリエ変換・ラプラス変換
5. おまけ：数検受ける人がモチベーションを上げる漫画

1. 大問1系

1.1 三乗根の二重根号外し

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}\end{eqnarray*}$

　去年受けた時に１回でてたような問題です。ここで落とさないように。解き方わからない方用。

【数検1級】三乗根の二重根号を外す計算

1.2 ユークリッド互除法

　最大公約数を求めるのに使う。つまり、大きな数の分数を約分するときに使う。過去問で出てたので知っておいたほうがよい（参考：ユークリッド互除法の仕組み）。

2. 微分・積分／微分方程式

2.1 ウォリス積分

$\begin{eqnarray*} I_m=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\rm sin}\theta \, d\theta =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\rm cos}\theta \, d\theta \end{eqnarray*}$

と定義したときに、 $m$ の偶奇によって積分値がすぐに求められる。

$\begin{eqnarray*} I_{2n+1}&=&\frac{2n}{2n+1}\cdot\frac{2n-2}{2n-1}\cdot\cdots \cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{2}{3}\cdot 1 \\ &=&\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}\\ \\ I_{2n}&=& \frac{2n-1}{2n}\cdot\frac{2n-3}{2n-2}\cdot \cdots\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}\\ &=&\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\cdot\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

使う場面：回転体の体積（アステロイドの回転など）

2.2 全微分型の微分方程式のずるい解法

　同次型の問題も完全微分型になっていれば使える。完全微分型の $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$ から直接 $df(x,y)=0$ の $f$ を求めるコツみたいなことをメモしている。１次試験のときは一般解だけ書いたらよいので、これはたまに使う。

【微分方程式】ずるい完全微分型の解法（＋例題15問）

3. ベクトル・行列

3.1 2ベクトルに垂直なベクトル

　２つのベクトル ${\bf a}$ , ${\bf b}$ に垂直なベクトルは外積をとればすぐにわかる。したがって、 ${\bf c}={\bf a}\times{\bf b}$ は ${\bf c}\perp{\bf a}$ であり、 ${\bf c}\perp{\bf b}$ である。