【微分方程式】ルジャンドルの微分方程式／級数解による解法

　ルジャンドルの微分方程式

$\begin{eqnarray*} (1-x^2)y''-2xy'+\mu(\mu+1)y=0 \end{eqnarray*}$

を解いて２つの特殊解を求める。微分方程式は $x=0$ まわりの級数展開により解いていく。「【微分方程式】級数解による解法（整級数）」の手法がそのまま使える。

　得られる２つの特殊解は「ルジャンドル多項式の導出」と深い関係がある。

1. ルジャンドルの微分方程式の解法
2. まとめ

1. ルジャンドルの微分方程式の解法

　級数解を置く前に微分方程式の形をみておこう。ルジャンドル多項式は以下の形をとる。

$\begin{eqnarray*} (1-x^2)y''-2xy'+\mu(\mu+1)y=0\quad\cdots(1) \end{eqnarray*}$

変形すると

$\begin{eqnarray*} y''+\frac{-2x}{1-x^2}y'+\frac{\mu(\mu+1)}{1-x^2}y=0\quad\cdots(2) \end{eqnarray*}$

となる。この２階線形微分方程式は $x=\pm 1$ で確定特異点をもつ。確定特異点まわりで級数展開するのが常だが、ここでは一般解を $x=0$ まわりの正則点（特異点でない）ところで展開していく。

* 確定特異点については「微分方程式】確定特異点と級数の置き方／計算のコツ」にまとめた。級数解の計算テクニックなども載せているので参考にされたい。

** [難] ルジャンドルの微分方程式は変数変換により、超幾何微分方程式（ガウスの微分方程式）に変換できる。変数変換は確定特異点である $x=1$ を原点にシフトする変換である。超幾何微分方程式に変換できるため、ルジャンドルの微分方程式の $x=1$ における特殊解は超幾何関数 $F(\alpha,\beta,\gamma;x)$ により表すことができる。

【参考】超幾何微分方程式／一般解の導出

級数解を置いて微分方程式へ代入

　 $x=0$ まわりの級数を

$\begin{eqnarray*} y(x)=\sum_{n=0}^\infty C_n x^n \end{eqnarray*}$

と置く。このように置くことで、微分方程式の一般解を求める問題を $C_n$ を求める問題に帰着させることができる。

微分する：

$\begin{eqnarray*} y'&=&\sum_{n=0}^\infty nC_n x^{n-1}\\ y''&=&\sum_{n=0}^\infty n(n-1)C_n x^{n-2} \end{eqnarray*}$

これらを微分方程式(1) へ代入する。

１項ずつ計算した過程

　微分方程式へ代入した時の $x^{n-2}$ の係数は

$\begin{eqnarray*} &&n(n-1)\textcolor{red}{C_n} -(n-2)(n-3)C_{\textcolor{blue}{n-2}}\\ &&\quad\quad -2(n-2)C_{\textcolor{blue}{n-2}} + \mu(\mu+1)C_{\textcolor{blue}{n-2}}\\\\ &=&n(n-1)\textcolor{red}{C_n} -\Bigl\{ \mu^2+\mu-(n-2)(n-1) \Bigr\} C_{\textcolor{blue}{n-2}}\\\\ &=&n(n-1)C_{\textcolor{red}{n}}+(\mu-n+2)(\mu+n-1)C_{\textcolor{blue}{n-2}} \end{eqnarray*}$

　これを０と置いて

$\begin{eqnarray*} \textcolor{red}{C_n}=-\frac{(\mu-n+2)(\mu+n-1)}{n(n-1)}C_{\textcolor{blue}{n-2}}\\quad\cdots(3) \end{eqnarray*}$

を得る。これは級数解の係数に関する漸化式である。

２つの特殊解と一般解

　特殊解を求めるときは、 $C_0,C_1$ を任意に取れる $^{[*]}$ 。以下では、

(i) $C_0=1,\;C_1=0$
(ii) $C_0=0,\;C_1=1$

の場合を考える。

(i) $C_0=1,\;C_1=0$ のとき：

漸化式(3)より

$\begin{eqnarray*} C_1=C_3=\cdots=C_{2m+1}=0 \end{eqnarray*}$

また

$\begin{eqnarray*} C_2&=&-\frac{\mu(\mu+1)}{2\cdot 1}C_0=-\frac{\mu(\mu+1)}{2\cdot 1}\\\\ C_4&=&-\frac{(\mu-2)(\mu+3)}{4\cdot 3}C_2\\ &=&+\frac{(\mu-2)(\mu+3)}{4\cdot 3}\cdot\frac{\mu(\mu+1)}{2\cdot 1}\\ &=&\frac{\mu(\mu-2)(\mu+1)(\mu+3)}{4!}\\\\ C_6&=&-\frac{(\mu-4)(\mu+5)}{6\cdot5}C_4\\ &=&-\frac{\mu(\mu-2)(\mu-4)(\mu+1)(\mu+3)(\mu+5)}{6!}\\\\ \cdots\\\\\\ C_{2m}&=&(-1)^m\,\frac{\mu(\mu-2)\cdot\cdots\cdot(\mu-2m+2) (\mu+1)(\mu+3)\cdot\cdots\cdot(\mu+2m-1)}{(2m)!} \end{eqnarray*}$

よって特殊解は

$\begin{eqnarray*} y_1(x)&=&\sum_{n=0}^\infty C_n x^n\\\\ &=&1-\frac{\mu(\mu+1)}{2!}x^2 +\frac{\mu(\mu-2)(\mu+1)(\mu+3)}{4!}x^4-\cdots \end{eqnarray*}$

(ii) $C_0=0,\;C_1=1$ のとき：

漸化式(3)より

$\begin{eqnarray*} C_0=C_2=\cdots=C_{2m}=0 \end{eqnarray*}$

また

$\begin{eqnarray*} C_3&=&-\frac{(\mu-1)(\mu+2)}{3\cdot2}C_1 = -\frac{(\mu-1)(\mu+2)}{3\cdot2}\\\\ C_5&=&-\frac{(\mu-3)(\mu+4)}{5\cdot 4}C_3\\ &=&\frac{(\mu-1)(\mu-3)(\mu+2)(\mu+4)}{5!}\\\\ \cdots\\\\\\ C_{2m+1}&=&(-1)^{m}\,\frac{(\mu-1)(\mu-3)\cdot\cdots\cdot(\mu-2m+1)(\mu+2)(\mu+4)\cdot\cdots\cdot(\mu+2m)}{(2m+1)!} \end{eqnarray*}$

よって特殊解は

$\begin{eqnarray*} y_2(x)=x-\frac{(\mu-1)(\mu+2)}{3!}x^3 + \frac{(\mu-1)(\mu-3)(\mu+2)(\mu+4)}{5!}-\cdots \end{eqnarray*}$

一般解：ルジャンドルの微分方程式の一般解は上記の２つの特殊解の線型結合で表すことができる $^{[*]}$ 。よって一般解：は

$\begin{eqnarray*} y(x)=c_1 y_1(x)+c_2 y_2(x)\quad\blacksquare \end{eqnarray*}$

　ここで、 $c_1,c_2$ は定数で、

$\begin{eqnarray*} y_1&=&1-\frac{\mu(\mu+1)}{2!}x^2 +\frac{\mu(\mu-2)(\mu+1)(\mu+3)}{4!}x^4-\cdots\\\\ y_2&=&x-\frac{(\mu-1)(\mu+2)}{3!}x^3 + \frac{(\mu-1)(\mu-3)(\mu+2)(\mu+4)}{5!}-\cdots \end{eqnarray*}$

である。

　ここで得られた特殊解の形は多項式の形をしている。 $\mu$ によって多項式の形が変わることもわかる。 $y_1,y_2$ は「ルジャンドル多項式」と関係する。

* C0,C1を任意にとれる意味（特殊解の意味）

　ここでの「特殊解」は、２階線形微分方程式の一般解の定数 $c_1,c_2$ がある値のときの解に対応する。上記で任意に $C_0,C_1$ を決めて、(i)(ii)と場合分けしたそれぞれの特殊解は一般解において

(i) $c_0=1,\;c_1=0$
(ii) $c_0=0,\;c_1=1$

とした場合と同じである。

２階線形の微分方程式は

$\begin{eqnarray*} y(x)=c_1 y_1(x)+c_2 y_2(x) \end{eqnarray*}$

のように２つの特殊解 $y_1,y_2$ の線型結合で表されているのであったから、特殊解 $y_1,y_2$ を見つければよかったのである。定数倍異なる $2y_1,3y_2$ を見つけても一般解の形には影響しないため、任意に $C_0,C_1$ を決めてよかった。

　ただし、注意しなければならないのは２つの特殊解が線型独立であるということを調べないといけない。したがって、２つの特殊解を $2y_1,y_1$ として独立でないものを選ぶのは無意味である。今回の場合は $y_1(x)$ が $x^{2m}$ の多項式であり、 $y_2(x)$ が $x^{2m+1}$ の多項式であるため、線型独立である。