例題で学ぶ：ローラン展開／極／留数定理

　ここでは「留数定理」という名前から来る仰々しさと「ローラン展開」の妖艶さ $^*$ について、例題からわかりやすく解説する。まずは、もっとも簡単な１位の極の例題を解いていこう。

目標：ローラン展開 → 留数定理の流れを理解する。

例題

複素積分を計算せよ。

$\begin{eqnarray*} \oint_C \frac{1}{z(z+1)} \,dz\quad\left(C:|z|=\frac{1}{2}\right)\\\\ \end{eqnarray*}$

1. 前提知識
2. 例題を解きながら留数定理の準備
3. 留数定理
4. まとめ

1. 前提知識

※このページでは、複素積分 $C$ は内部に特異点 $a$ を含んだ反時計回りの円を考える。

　このページで留数定理を学ぶために２つのことを知っておきたい。

　①も②も計算できるようにしておいたほうがよい。特に今回の例題の関数

$\begin{eqnarray*} f(z)=\frac{1}{z(z+1)} \end{eqnarray*}$

などは $z=0$ 周りでローラン展開できるようにしておいたほうがよい。

2. 例題を解きながら留数定理の準備

なぜローラン展開したか（留数の意味）

　一般的な話を簡単にしておく。ローラン展開の前にまず、上の①の積分を具体的に書いてみよう。下図のように $1/(z-a)$ 以外の複素積分はすべて 0 になる。

　逆に言うと、複素積分すると $1/(z-a)$ の部分は「残り物」として $\textcolor{red}{2\pi i}$ になる。この性質を使うと、複素積分をうまいこと計算できそうな気がするだろう。

　これを踏まえて、下図のローラン展開の形を見て欲しい。

$\begin{eqnarray*} f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n (z-a)^n + \sum_{n=1}^\infty \frac{b_n}{(z-a)^n} \end{eqnarray*}$

右辺の項ごとの複素積分は簡単に計算できそうである。なぜなら $\textcolor{red}{b_1/(z-a)}$ 以外 0 なのだから！

　そして 0 でない唯一の「残り物」の係数 $b_1$ のことを「留数」と呼ぶ。ここでローラン展開したのは、

$f(z)$ の複素積分を実行するため
留数 $b_1$ を探すため

である。ちなみに、「留数」は英語で residue（残量物）、

「他の部分が取りされた後残ったもの」
(“something left after other parts have been taken away”）（weblioより）

という意味である。留数 $b_1$ を表すのに $Res[a,f]$ などの表記がある。これ以外の表記もあるので、自分が一番かっこいいと思う記号を使えばいいと思う。

例題の解答

　上で見たように $f(z)$ の留数 $b_1$ を求めれば複素積分は計算できる。つまり、３ステップで良い。

$f(z)$ をローラン展開する
留数 $b_1$ を求める
複素積分の値は $2\pi i b_1$

以下では、このステップに沿って計算する。

$\begin{eqnarray*} \oint_C \frac{1}{z(z+1)}\quad\left(C:|z|=\frac{1}{2}\right) \end{eqnarray*}$

を計算する。

１　ローラン展開（ $z=0$ まわり）：

$\begin{eqnarray*} f(z)=\frac{1}{z(z+1)} &=&\frac{1}{z}\cdot\frac{1}{z+1}\\\\ &=&\frac{1}{z}\left[ 1-z+z^2-z^3+\cdots \right]\\\\ &=& \textcolor{red}{\frac{1}{z}}-1+z-z^2+\cdots \end{eqnarray*}$

2 　留数 $b_1$ を求める：

上の展開の通り、 $1/(z-0)$ の係数は 1 である。よって

$\begin{eqnarray*} b_1=Res[a=0,f]=\textcolor{red}{1} \end{eqnarray*}$

3　複素積分の値

以上より、

$\begin{eqnarray*} \oint_C \frac{1}{z(z+1)}=2\pi i b_1= 2\pi i \quad\blacksquare \end{eqnarray*}$

これで複素積分を計算できた！なぜ $b_1$ だけでよかったか具体的に見てみよう。

$\begin{eqnarray*} \oint_C \frac{1}{z(z+1)} \, dz &=&\oint_C \left[\frac{1}{z}-1+z-z^2+\cdots\right] \, dz\\\\ &=& \textcolor{red}{\oint_C \frac{1}{z}\, dz} -\cancel{\oint_C \, dz} +\cancel{\oint_C z \, dz} -\cancel{\oint_C z^2\, dz} +\cdots\\\\ &=&2\pi i \end{eqnarray*}$

$1/z$ の部分のみが $2\pi i$ で残るのである。

n位の極とは？

　さっきの関数のローラン展開をわかりやすく書いてみる。

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{z(z+1)}=\cdots+\frac{0}{z^3}+\frac{0}{z^2}+\textcolor{red}{\frac{1}{z}}-1+z-z^2+\cdots \end{eqnarray*}$

　 $1/z^2,1/z^3,\cdots$ がなく、 $z=0$ で特異的な部分は $1/z$ である。この関数の特異点 $z=0$ を１位の極と呼ぶ。つぎに、上の関数を $z$ で割った関数を考える。

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{z^2(z+1)}= \cdots+\frac{0}{z^4}+\frac{0}{z^3}+\textcolor{blue}{\frac{1}{z^2}}+ \frac{-1}{z}+1-z+\cdots \end{eqnarray*}$

　 $z=0$ で特異的な部分は $-1/z$ と $1/z^{\textcolor{blue}{2}}$ である。この新しい関数の特異点 $z=0$ を $\textcolor{blue}{2}$ 位の極とよぶ。イメージでいうと、 $z=0$ に近づけた時の発散スピードは $1/z^2$ のほうが早いため、2位の極のほうが「強い」感じであろうか。より高位の極については、 $1/z^n$ に対して $n$ 位の極とよぶだけである。

　念の為、 $1/(z^2(z+1))$ の留数は上のローラン展開の形から $b_1=-1$ になっていることを確認して欲しい。だから、

$\begin{eqnarray*} \oint_C \frac{1}{z^2(z+1)}=2\pi i b_1= -2\pi i \quad\blacksquare \end{eqnarray*}$

になる。

3. 留数定理

留数定理（１位の極）

　上の例題で確認したように、

$\begin{eqnarray*} \oint_C f(z) \, dz = 2\pi i b_1 \end{eqnarray*}$

であった。ここで、ローラン展開せずに留数 $b_1$ を取り出す方法を考えよう。ローラン展開しないで留数を求めて、複素積分値を計算するのが「留数定理」である。

１位の極について：

$\begin{eqnarray*} f(z)&=& \cdots +\cancel{\frac{0}{z^3}}+\cancel{\frac{0}{z^2}}+\frac{\textcolor{red}{b_1}}{z} \\\\&+&a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + \cdots \end{eqnarray*}$

両辺に $z$ をかける：

$\begin{eqnarray*} zf(z)&=& \textcolor{red}{b_1} +a_0 z + a_1 z^2 + a_2 z^3 + \cdots \end{eqnarray*}$

$z$ を特異点に近づける ( $z\to 0$ )：

$\begin{eqnarray*} \lim_{z\to 0} zf(z)&=& \lim_{z\to 0}\left[\textcolor{red}{b_1} +a_0 z + a_1 z^2 + a_2 z^3 + \cdots\right]\\\\ &=&\textcolor{red}{b_1} \end{eqnarray*}$

留数を取り出せた！

$z=a$ が１位の極の場合は、 $z=a$ まわりのローラン展開から出発する。

$\begin{eqnarray*} f(z)&=& \cdots +\cancel{\frac{0}{(z-a)^3}}+\cancel{\frac{0}{(z-a)^2}}+\frac{\textcolor{red}{b_1}}{(z-a)} \\\\&+&a_0 + a_1 (z-a) + a_2 (z-a)^2 + \cdots \end{eqnarray*}$

両辺に $z-a$ をかけて、 $z\to a$ をとる：

$\begin{eqnarray*} \lim_{z\to a}(z-a)f(z)&=& \lim_{z\to a}\left[\textcolor{red}{b_1} +a_0 (z-a) + a_1 (z-a)^2 + a_2 (z-a)^3 + \cdots\right]\\\\ &=&\textcolor{red}{b_1}=Res[a,f] \end{eqnarray*}$

$b_1$ の値がわかったので、これに $2\pi i$ をかければ複素積分の結果になる。以上の結果をまとめよう。

留数定理(１位の極）

$\begin{eqnarray*} \oint_C f(z)\, dz=2\pi i b_1=2\pi i \lim_{z\to a}(z-a)f(z) \end{eqnarray*}$

つまり、複素積分の結果は $2\pi i$ ×（留数）である（特異点が１個のとき）。そして、留数の求め方は、

ローラン展開して $1/(z-a)$ の係数を調べる
$\lim_{z\to a}(z-a)f(z)$ を計算する（１位の極）

のどちらかで良い。

留数定理（2位の極）

　これは2位を理解すれば、 $n$ 位の極は簡単に求めることができる。

同じくローラン展開から出発する。目的地は留数 $b_1$ を求めることである。

$\begin{eqnarray*} f(z)&=& \cdots +\cancel{\frac{0}{(z-a)^3}}+\frac{\textcolor{blue}{b_2}}{(z-a)^2}+\frac{\textcolor{red}{b_1}}{(z-a)} \\\\&+&a_0 + a_1 (z-a) + a_2 (z-a)^2 + \cdots \end{eqnarray*}$

今度は $b_2$ が生きている。ここで、試しに $z-a$ をかけてみる。

$\begin{eqnarray*} (z-a)f(z)&=& \textcolor{blue}{\frac{b_2}{z-a}}+b_1 \\\\&+&a_0(z-a) + a_1 (z-a)^2 + a_2 (z-a)^3 + \cdots \end{eqnarray*}$

$z\to a$ とすると、右辺の第一項（青色部分）で特異的である。これはよくないので、もう一回 $(z-a)$ をかける。

$\begin{eqnarray*} (z-a)^2 f(z)&=& \textcolor{blue}{b_2}+b_1 (z-a) \\\\&+&a_0(z-a)^2 + a_1 (z-a)^3 + a_2 (z-a)^4 +\cdots \end{eqnarray*}$

特異的な部分は消えた。しかし、 $z\to a$ で $b_1$ の項が消えてしまう。これはよくない。

ここで両辺を微分する！

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dz}\left[(z-a)^2 f(z)\right]&=& \cancel{\textcolor{blue}{(b_2)'}}+b_1 \\\\&+&2a_0(z-a) + 3a_1 (z-a)^2 + 4a_2 (z-a)^3 +\cdots \end{eqnarray*}$

これで $z\to a$ を取ってやると、

$\begin{eqnarray*} \lim_{z\to a}\frac{d}{dz}\left[(z-a)^2 f(z)\right]&=&b_1 \end{eqnarray*}$

すばらしい。 $b_1$ を求めることができた。これより２位の極の場合の留数定理がわかる。

留数定理(２位の極）

$\begin{eqnarray*} \oint_C f(z)\, dz=2\pi i \lim_{z\to a}\frac{d}{dz}\left[(z-a)^2 f(z)\right] \end{eqnarray*}$

留数定理（n位の極）

　ここはもう簡単に説明する。 $f(z)$ に $(z-a)^n$ をかけたところから始めよう。

$\begin{eqnarray*} (z-a)^n f(z)&=& \cdots+b_2(z-a)^{n-2}+\textcolor{red}{b_1}(z-a)^{n-1} \\\\&+&a_0(z-a)^{n} + a_1 (z-a)^{n+1} + a_2 (z-a)^{n+2}+ +\cdots \end{eqnarray*}$

$z\to a$ としたときに $b_1$ が残るようにするために、 $n-1$ 回微分する。そして、 $z\to a$ をとる。

$\begin{eqnarray*} \lim_{z\to a}\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}\left[(z-a)^n f(z)\right]= (n-1)\cdot(n-2)\cdots 3\cdot 2 \cdot 1 b_1\\\\ \Leftrightarrow b_1=\lim_{z\to a}\frac{1}{(n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}\left[(z-a)^n f(z)\right] \end{eqnarray*}$

として留数を求めることができた。複素積分は $2\pi i b_1$ であるため留数定理が導かれる。

留数定理(n位の極）

$\begin{eqnarray*} \oint_C f(z)\, dz=2\pi i\,\frac{1}{(n-1)!}\lim_{z\to a}\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}\left[(z-a)^n f(z)\right] \end{eqnarray*}$

4. まとめ

ローラン展開 → 留数 → 留数定理　と説明した。複素積分を求めたいなら、留数 $b_1$ を求めて $2\pi i$ をかければよい。

留数の求め方は、

ローラン展開して $1/(z-a)$ の係数を調べる
$\lim_{z\to a}(z-a)f(z)$ を計算する（１位の極）

である。留数定理がわかれば、複素積分の応用問題につまづくことはないだろう。

<脚注（思いついたことを書く場所）>

$^*$ ：数学者ピエール・アルフォンス・ローラン（Pierre Alphonse Laurent）は男性であるため、妖艶という形容詞はちょっと違う。ローラン展開の「妖艶さ」のイメージはイヴ・サンローランから来ている（自分の中で）。そしてフランス語は読みにくい。

【例題で学ぶ⓪】ローラン展開／極／留数定理

1. 前提知識

2. 例題を解きながら留数定理の準備

なぜローラン展開したか（留数の意味）

例題の解答

n位の極とは？

3. 留数定理

留数定理（１位の極）

留数定理（2位の極）

留数定理（n位の極）

4. まとめ

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1. 前提知識

2. 例題を解きながら留数定理の準備

なぜローラン展開したか（留数の意味）

例題の解答

n位の極とは？

3. 留数定理

留数定理（１位の極）

留数定理（2位の極）

留数定理（n位の極）

4. まとめ

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