【例題で学ぶ⓪】ローラン展開/極/留数定理


 ここでは「留数定理」という名前から来る仰々しさと「ローラン展開」の妖艶さ^*について、例題からわかりやすく解説する。まずは、もっとも簡単な1位の極の例題を解いていこう。

目標:ローラン展開 → 留数定理の流れを理解する。

例題

複素積分を計算せよ。

    \begin{eqnarray*} \oint_C \frac{1}{z(z+1)} \,dz\quad(C:|z|=1)\\\\ \end{eqnarray*}




1. 前提知識

※このページでは、複素積分 C は内部に特異点 a を含んだ反時計回りの円を考える。

 このページで留数定理を学ぶために2つのことを知っておきたい。

 ①も②も計算できるようにしておいたほうがよい。特に今回の例題の関数

    \begin{eqnarray*} f(z)=\frac{1}{z(z+1)} \end{eqnarray*}

などは z=0 周りでローラン展開できるようにしておいたほうがよい。



2. 例題を解きながら留数定理の準備

なぜローラン展開したか(留数の意味)

 一般的な話を簡単にしておく。ローラン展開の前にまず、上の①の積分を具体的に書いてみよう。下図のように1/(z-a) 以外の複素積分はすべて 0 になる。

 逆に言うと、複素積分すると 1/(z-a) の部分は「残り物」として \textcolor{red}{2\pi i} になる。この性質を使うと、複素積分をうまいこと計算できそうな気がするだろう。

 これを踏まえて、下図のローラン展開の形を見て欲しい。

    \begin{eqnarray*} f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n (z-a)^n + \sum_{n=1}^\infty \frac{b_n}{(z-a)^n} \end{eqnarray*}

右辺の項ごとの複素積分は簡単に計算できそうである。なぜなら \textcolor{red}{b_1/(z-a)} 以外 0 なのだから!

 そして 0 でない唯一の「残り物」の係数 b_1 のことを「留数」と呼ぶ。ここでローラン展開したのは、

  • f(z) の複素積分を実行するため
  • 留数 b_1 を探すため

である。ちなみに、「留数」は英語で residue(残量物)、

「他の部分が取りされた後残ったもの」
(“something left after other parts have been taken away”)(weblioより)

という意味である。留数 b_1 を表すのに Res[a,f] などの表記がある。これ以外の表記もあるので、自分が一番かっこいいと思う記号を使えばいいと思う。



例題の解答

 上で見たように f(z) の留数 b_1 を求めれば複素積分は計算できる。つまり、3ステップで良い。

  1. f(z) をローラン展開する
  2. 留数 b_1 を求める
  3. 複素積分の値は 2\pi i b_1

以下では、このステップに沿って計算する。

    \begin{eqnarray*} \oint_C \frac{1}{z(z+1)}\quad(C:|z|=1) \end{eqnarray*}

を計算する。


1 ローラン展開 (z=0 まわり):

    \begin{eqnarray*} f(z)=\frac{1}{z(z+1)} &=&\frac{1}{z}\cdot\frac{1}{z+1}\\\\ &=&\frac{1}{z}\left[ 1-z+z^2-z^3+\cdots \right]\\\\ &=& \textcolor{red}{\frac{1}{z}}-1+z-z^2+\cdots \end{eqnarray*}

2  留数 b_1 を求める:

上の展開の通り、1/(z-0) の係数は 1 である。よって

    \begin{eqnarray*} b_1=Res[a=0,f]=\textcolor{red}{1} \end{eqnarray*}

3 複素積分の値

以上より、

    \begin{eqnarray*} \oint_C \frac{1}{z(z+1)}=2\pi i b_1= 2\pi i \quad\blacksquare \end{eqnarray*}

これで複素積分を計算できた!なぜ b_1 だけでよかったか具体的に見てみよう。

    \begin{eqnarray*} \oint_C \frac{1}{z(z+1)} \, dz &=&\oint_C \left[\frac{1}{z}-1+z-z^2+\cdots\right] \, dz\\\\ &=& \textcolor{red}{\oint_C \frac{1}{z}\, dz} -\cancel{\oint_C    \, dz} +\cancel{\oint_C z  \, dz} -\cancel{\oint_C z^2\, dz} +\cdots\\\\ &=&2\pi i \end{eqnarray*}


1/z の部分のみが 2\pi i で残るのである。



n位の極とは?

 さっきの関数のローラン展開をわかりやすく書いてみる。

    \begin{eqnarray*} \frac{1}{z(z+1)}=\cdots+\frac{0}{z^3}+\frac{0}{z^2}+\textcolor{red}{\frac{1}{z}}-1+z-z^2+\cdots \end{eqnarray*}

 1/z^2,1/z^3,\cdots がなく、z=0 で特異的な部分は 1/z である。この関数の特異点 z=01位の極と呼ぶ。つぎに、上の関数を z で割った関数を考える。

    \begin{eqnarray*} \frac{1}{z^2(z+1)}= \cdots+\frac{0}{z^4}+\frac{0}{z^3}+\textcolor{blue}{\frac{1}{z^2}}+ \frac{-1}{z}+1-z+\cdots \end{eqnarray*}

 z=0 で特異的な部分は -1/z1/z^{\textcolor{blue}{2}} である。この新しい関数の特異点 z=0\textcolor{blue}{2} 位の極とよぶ。イメージでいうと、z=0 に近づけた時の発散スピードは 1/z^2 のほうが早いため、2位の極のほうが「強い」感じであろうか。より高位の極については、1/z^n に対して n 位の極とよぶだけである。

 念の為、1/(z^2(z+1)) の留数は上のローラン展開の形から b_1=-1 になっていることを確認して欲しい。だから、

    \begin{eqnarray*} \oint_C \frac{1}{z^2(z+1)}=2\pi i b_1= -2\pi i \quad\blacksquare \end{eqnarray*}

になる。



3. 留数定理

留数定理(1位の極)

 上の例題で確認したように、

    \begin{eqnarray*} \oint_C f(z) \, dz = 2\pi i b_1 \end{eqnarray*}

であった。ここで、ローラン展開せずに 留数 b_1 を取り出す方法を考えよう。ローラン展開しないで留数を求めて、複素積分値を計算するのが「留数定理」である。


1位の極について:

    \begin{eqnarray*} f(z)&=& \cdots +\cancel{\frac{0}{z^3}}+\cancel{\frac{0}{z^2}}+\frac{\textcolor{red}{b_1}}{z} \\\\&+&a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + \cdots \end{eqnarray*}


両辺に z をかける:

    \begin{eqnarray*} zf(z)&=& \textcolor{red}{b_1} +a_0 z + a_1 z^2 + a_2 z^3 + \cdots \end{eqnarray*}


z を特異点に近づける ( z\to 0 ):

    \begin{eqnarray*} \lim_{z\to 0} zf(z)&=& \lim_{z\to 0}\left[\textcolor{red}{b_1} +a_0 z + a_1 z^2 + a_2 z^3 + \cdots\right]\\\\ &=&\textcolor{red}{b_1} \end{eqnarray*}


留数を取り出せた!


z=a が1位の極の場合は、z=a まわりのローラン展開から出発する。

    \begin{eqnarray*} f(z)&=& \cdots +\cancel{\frac{0}{(z-a)^3}}+\cancel{\frac{0}{(z-a)^2}}+\frac{\textcolor{red}{b_1}}{(z-a)} \\\\&+&a_0 + a_1 (z-a) + a_2 (z-a)^2 + \cdots \end{eqnarray*}


両辺に z-a をかけて、z\to a をとる:

    \begin{eqnarray*} \lim_{z\to a}(z-a)f(z)&=& \lim_{z\to a}\left[\textcolor{red}{b_1} +a_0 (z-a) + a_1 (z-a)^2 + a_2 (z-a)^3 + \cdots\right]\\\\ &=&\textcolor{red}{b_1}=Res[a,f] \end{eqnarray*}


b_1 の値がわかったので、これに 2\pi i をかければ複素積分の結果になる。以上の結果をまとめよう。


留数定理(1位の極)


    \begin{eqnarray*} \oint_C f(z)\, dz=2\pi i b_1=2\pi i \lim_{z\to a}(z-a)f(z) \end{eqnarray*}



つまり、複素積分の結果は 2\pi i ×(留数)である(特異点が1個のとき)。そして、留数の求め方は、

  • ローラン展開して 1/(z-a) の係数を調べる
  • \lim_{z\to a}(z-a)f(z) を計算する(1位の極)

のどちらかで良い。



留数定理(2位の極)

 これは2位を理解すれば、 n 位の極は簡単に求めることができる。

同じくローラン展開から出発する。目的地は留数 b_1 を求めることである。

    \begin{eqnarray*} f(z)&=& \cdots +\cancel{\frac{0}{(z-a)^3}}+\frac{\textcolor{blue}{b_2}}{(z-a)^2}+\frac{\textcolor{red}{b_1}}{(z-a)} \\\\&+&a_0 + a_1 (z-a) + a_2 (z-a)^2 + \cdots \end{eqnarray*}


今度は b_2 が生きている。ここで、試しに z-a をかけてみる。

    \begin{eqnarray*} (z-a)f(z)&=& \textcolor{blue}{\frac{b_2}{z-a}}+b_1 \\\\&+&a_0(z-a) + a_1 (z-a)^2 + a_2 (z-a)^3 + \cdots \end{eqnarray*}


z\to a とすると、右辺の第一項(青色部分)で特異的である。これはよくないので、もう一回 (z-a) をかける。

    \begin{eqnarray*} (z-a)^2 f(z)&=& \textcolor{blue}{b_2}+b_1 (z-a) \\\\&+&a_0(z-a)^2 + a_1 (z-a)^3 + a_2 (z-a)^4 +\cdots \end{eqnarray*}


特異的な部分は消えた。しかし、z\to ab_1 の項が消えてしまう。これはよくない。

ここで両辺を微分する!

    \begin{eqnarray*} \frac{d}{dz}\left[(z-a)^2 f(z)\right]&=& \cancel{\textcolor{blue}{(b_2)'}}+b_1 \\\\&+&2a_0(z-a) + 3a_1 (z-a)^2 + 4a_2 (z-a)^3 +\cdots \end{eqnarray*}


これで z\to a を取ってやると、

    \begin{eqnarray*} \lim_{z\to a}\frac{d}{dz}\left[(z-a)^2 f(z)\right]&=&b_1 \end{eqnarray*}

すばらしい。b_1 を求めることができた。これより2位の極の場合の留数定理がわかる。


留数定理(2位の極)


    \begin{eqnarray*} \oint_C f(z)\, dz=2\pi i \lim_{z\to a}\frac{d}{dz}\left[(z-a)^2 f(z)\right] \end{eqnarray*}




留数定理(n位の極)

 ここはもう簡単に説明する。f(z)(z-a)^n をかけたところから始めよう。

    \begin{eqnarray*} (z-a)^n f(z)&=& \cdots+b_2(z-a)^{n-2}+\textcolor{red}{b_1}(z-a)^{n-1} \\\\&+&a_0(z-a)^{n} + a_1 (z-a)^{n+1} + a_2 (z-a)^{n+2}+ +\cdots \end{eqnarray*}

z\to a としたときに b_1 が残るようにするために、n-1 回微分する。そして、z\to a をとる。

    \begin{eqnarray*} \lim_{z\to a}\frac{d^n}{dz^n}\left[(z-a)^n f(z)\right]= (n-1)\cdot(n-2)\cdots 3\cdot 2 \cdot 1 b_1\\\\ \Leftrightarrow b_1=\lim_{z\to a}\frac{1}{(n-1)!}\frac{d^n}{dz^n}\left[(z-a)^n f(z)\right] \end{eqnarray*}

として留数を求めることができた。複素積分は 2\pi i b_1 であるため留数定理が導かれる。


留数定理(ん位の極)


    \begin{eqnarray*} \oint_C f(z)\, dz=2\pi i\,\frac{1}{(n-1)!}\lim_{z\to a}\frac{d^n}{dz^n}\left[(z-a)^n f(z)\right] \end{eqnarray*}




4. まとめ

ローラン展開 → 留数 → 留数定理 と説明した。複素積分を求めたいなら、留数 b_1 を求めて 2\pi i をかければよい。

留数の求め方は、

  • ローラン展開して 1/(z-a) の係数を調べる
  • \lim_{z\to a}(z-a)f(z) を計算する(1位の極)

である。留数定理がわかれば、複素積分の応用問題につまづくことはないだろう。




<脚注(思いついたことを書く場所)>

^*:数学者ピエール・アルフォンス・ローラン(Pierre Alphonse Laurent) は男性であるため、妖艶という形容詞はちょっと違う。ローラン展開の「妖艶さ」のイメージはイヴ・サンローランから来ている(自分の中で)。そしてフランス語は読みにくい。






コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です