ここでは「留数定理」という名前から来る仰々しさと「ローラン展開」の妖艶さについて、例題からわかりやすく解説する。まずは、もっとも簡単な1位の極の例題を解いていこう。
目標:ローラン展開 → 留数定理の流れを理解する。
複素積分を計算せよ。
目次
1. 前提知識
※このページでは、複素積分 は内部に特異点 を含んだ反時計回りの円を考える。
このページで留数定理を学ぶために2つのことを知っておきたい。
①も②も計算できるようにしておいたほうがよい。特に今回の例題の関数
などは 周りでローラン展開できるようにしておいたほうがよい。
2. 例題を解きながら留数定理の準備
なぜローラン展開したか(留数の意味)
一般的な話を簡単にしておく。ローラン展開の前にまず、上の①の積分を具体的に書いてみよう。下図のように 以外の複素積分はすべて 0 になる。
逆に言うと、複素積分すると の部分は「残り物」として になる。この性質を使うと、複素積分をうまいこと計算できそうな気がするだろう。
これを踏まえて、下図のローラン展開の形を見て欲しい。
右辺の項ごとの複素積分は簡単に計算できそうである。なぜなら 以外 0 なのだから!
そして 0 でない唯一の「残り物」の係数 のことを「留数」と呼ぶ。ここでローラン展開したのは、
- の複素積分を実行するため
- 留数 を探すため
である。ちなみに、「留数」は英語で residue(残量物)、
「他の部分が取りされた後残ったもの」
(“something left after other parts have been taken away”)(weblioより)
という意味である。留数 を表すのに などの表記がある。これ以外の表記もあるので、自分が一番かっこいいと思う記号を使えばいいと思う。
例題の解答
上で見たように の留数 を求めれば複素積分は計算できる。つまり、3ステップで良い。
- をローラン展開する
- 留数 を求める
- 複素積分の値は
以下では、このステップに沿って計算する。
を計算する。
1 ローラン展開 ( まわり):
2 留数 を求める:
上の展開の通り、 の係数は 1 である。よって
3 複素積分の値
以上より、
これで複素積分を計算できた!なぜ だけでよかったか具体的に見てみよう。
の部分のみが で残るのである。
n位の極とは?
さっきの関数のローラン展開をわかりやすく書いてみる。
がなく、 で特異的な部分は である。この関数の特異点 を1位の極と呼ぶ。つぎに、上の関数を で割った関数を考える。
で特異的な部分は と である。この新しい関数の特異点 を 位の極とよぶ。イメージでいうと、 に近づけた時の発散スピードは のほうが早いため、2位の極のほうが「強い」感じであろうか。より高位の極については、 に対して 位の極とよぶだけである。
念の為、 の留数は上のローラン展開の形から になっていることを確認して欲しい。だから、
になる。
3. 留数定理
留数定理(1位の極)
上の例題で確認したように、
であった。ここで、ローラン展開せずに 留数 を取り出す方法を考えよう。ローラン展開しないで留数を求めて、複素積分値を計算するのが「留数定理」である。
1位の極について:
両辺に をかける:
を特異点に近づける ( ):
留数を取り出せた!
が1位の極の場合は、 まわりのローラン展開から出発する。
両辺に をかけて、 をとる:
の値がわかったので、これに をかければ複素積分の結果になる。以上の結果をまとめよう。
つまり、複素積分の結果は ×(留数)である(特異点が1個のとき)。そして、留数の求め方は、
- ローラン展開して の係数を調べる
- を計算する(1位の極)
のどちらかで良い。
留数定理(2位の極)
これは2位を理解すれば、 位の極は簡単に求めることができる。
同じくローラン展開から出発する。目的地は留数 を求めることである。
今度は が生きている。ここで、試しに をかけてみる。
とすると、右辺の第一項(青色部分)で特異的である。これはよくないので、もう一回 をかける。
特異的な部分は消えた。しかし、 で の項が消えてしまう。これはよくない。
ここで両辺を微分する!
これで を取ってやると、
すばらしい。 を求めることができた。これより2位の極の場合の留数定理がわかる。
留数定理(n位の極)
ここはもう簡単に説明する。 に をかけたところから始めよう。
としたときに が残るようにするために、 回微分する。そして、 をとる。
として留数を求めることができた。複素積分は であるため留数定理が導かれる。
4. まとめ
ローラン展開 → 留数 → 留数定理 と説明した。複素積分を求めたいなら、留数 を求めて をかければよい。
留数の求め方は、
- ローラン展開して の係数を調べる
- を計算する(1位の極)
である。留数定理がわかれば、複素積分の応用問題につまづくことはないだろう。
<脚注(思いついたことを書く場所)>
:数学者ピエール・アルフォンス・ローラン(Pierre Alphonse Laurent) は男性であるため、妖艶という形容詞はちょっと違う。ローラン展開の「妖艶さ」のイメージはイヴ・サンローランから来ている(自分の中で)。そしてフランス語は読みにくい。