【複素積分】∮1/(z-a)^n dz の計算


 コーシーの積分公式などに関係する計算。これは留数定理にも関係する話。下の式において、積分経路 C 内に z=z_0 がある場合を考える。積分経路の外に z_0 がある場合は積分は 0 になる。


(z-z0)^n の複素積分

    \begin{eqnarray*} \oint_C \frac{dz}{(z-z_0)^n}= \begin{cases} 2\pi i \quad(n=1)\\ 0\quad(n\neq 1) \end{cases} \end{eqnarray*}



 上のように、C|z-z_0|=1 の単位円として考える。このとき複素積分を具体的に計算したければ、

    \begin{eqnarray*} z-z_0=e^{i\theta}\quad(0\leq \theta \leq 2\pi) \end{eqnarray*}

と積分変換して計算すれば良い。ここで、

    \begin{eqnarray*} dz=ie^{i\theta}\, d\theta \end{eqnarray*}



n=1 のとき:

    \begin{eqnarray*} \oint_{|z-z_0|=1} \frac{dz}{(z-z_0)} &=& \int_0^{2\pi} \frac{i\cancel{e^{i\theta}}}{\cancel{e^{i\theta}}}d\theta\\\\ &=& i\int_0^{2\pi}\,d\theta\\\\ &=&2\pi i \quad\blacksquare \end{eqnarray*}



n\neq 1 のとき:

    \begin{eqnarray*} \oint_{|z-z_0|=1} \frac{dz}{(z-z_0)^n} &=& \int_0^{2\pi} \frac{ie^{i\theta}}{e^{in\theta}}\,d\theta\\\\ &=& i\int_0^{2\pi} e^{-i(n-1)\theta}\, d\theta\\\\ &=& i\left[-\frac{i}{n-1}e^{-i(n-1)\theta}\right]_0^{2\pi}\\\\ &=& -\left\{ e^{-2(n-1)\pi i}-e^0 \right\}\\\\ &=& -\left\{ \left(e^{-2\pi i})^{(n-1)}-e^0 \right\}\\\\ &=& 0 \quad\blacksquare \end{eqnarray*}



以上より、


(z-z0)^n の複素積分

    \begin{eqnarray*} \oint_C \frac{dz}{(z-z_0)^n}= \begin{cases} 2\pi i \quad(n=1)\\ 0\quad(n\neq 1) \end{cases} \end{eqnarray*}



を得る。



これの結果を利用するといくつかの複素積分が実行できる。






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