フーリエ級数と無限級数和を考える。
例題
で周期的な関数
をフーリエ級数で表して、以下の無限級数和を求める。
はじめに
で定義された周期 周期関数 は、同じく周期 の三角関数で展開できそうである。
したがって、
と表す。 はフーリエ係数と呼ばれる。三角関数の直交性,
フーリエ級数で一番大事な式
を用いてフーリエ係数は導出できる。
f(t)=|t|のフーリエ係数
で周期 2 の は偶関数である。したがって、フーリエ級数は偶関数のみ残る。つまり、 のシーリズのみで展開できる()。
ここで、フーリエ係数 は と がともに偶関数であることを利用して、
を求める:
を求める:
は「フーリエ級数あるある」である(下図)。
以上より、 をフーリエ級数で表すことができる。
無限級数を求める
とフーリエ級数の結果を比べて、 とおけば良さそうである。
したがって、
このように、フーリエ級数を利用して無限級数和を表すことができる。