f(t)=|t|のフーリエ級数展開/その結果を利用した無限級数和


 フーリエ級数と無限級数和を考える。


例題

-1<t\neq1 で周期的な関数

    \begin{eqnarray*}f(t)=|t| \end{eqnarray*}

をフーリエ級数で表して、以下の無限級数和を求める。

    \begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^2}\quad(n=1,2,3,...) \end{eqnarray*}





はじめに

 -L< t \leq L で定義された周期 2L 周期関数 g(x) は、同じく周期 2L の三角関数で展開できそうである。

    \begin{eqnarray*} \{\textcolor{red}{1,\cos\frac{\pi}{L},\cos\frac{2\pi}{L},...}, \textcolor{blue}{\sin\frac{\pi}{L},\sin\frac{2\pi}{L},\sin\frac{3\pi}{L},...}\} \end{eqnarray*}

したがって、

    \begin{eqnarray*} g(x)=\textcolor{red}{\frac{a_0}{2}}+ \sum_{k=1}^{\infty} \textcolor{red}{a_n\cos\frac{k\pi}{L}} +\textcolor{blue}{b_n\sin\frac{k\pi}{L}} \end{eqnarray*}

と表す。a_n,b_n はフーリエ係数と呼ばれる。三角関数の直交性,


フーリエ級数で一番大事な式

    \begin{eqnarray*} &&\int_{-L}^{L} \sin \frac{m\pi}{L}x \cos \frac{n\pi}{L} \,dx=0 \\\\\\ &&\int_{-L}^{L} \sin \frac{m\pi}{L}x \sin \frac{n\pi}{L}x \, dx= \begin{cases} L \quad({\rm if} \quad n=m)\\ 0 \quad({\rm if} \quad n\neq m) \end{cases}\\\\\\ &&\int_{-\pi}^{\pi} \cos \frac{m\pi}{L}x \cos \frac{n\pi}{L}x \, dx= \begin{cases} L \quad({\rm if} \quad n=m)\\ 0 \quad({\rm if} \quad n\neq m) \end{cases} \end{eqnarray*}



を用いてフーリエ係数は導出できる。

    \begin{eqnarray*} a_k&=&\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}g(t)\cos{\frac{k\pi}{L}t}\, dt (k=\textcolor{red}{0},1,2,3,...)\\\\ b_k&=&\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}g(t)\sin{\frac{k\pi}{L}t}\, dt (k=1,2,3,...) \end{eqnarray*}

    \begin{eqnarray*} g(x)=\textcolor{red}{\frac{a_0}{2}}+ \sum_{k=1}^{\infty} \textcolor{red}{a_n\cos\frac{k\pi}{L}} +\textcolor{blue}{b_n\sin\frac{k\pi}{L}}\quad\blacksquare \end{eqnarray*}




f(t)=|t|のフーリエ係数

 -1< t \leq 1 で周期 2 の f(t)=|t| は偶関数である。したがって、フーリエ級数は偶関数のみ残る。つまり、\textcolor{red}{\cos} のシーリズのみで展開できる(\textcolor{blue}{b_n=0})。

    \begin{eqnarray*} |t|=\frac{a_0}{2}+ \sum_{k=1}^{\infty} a_n\cos k\pi t \end{eqnarray*}


ここで、フーリエ係数 a_n|t|\cos k\pi t がともに偶関数であることを利用して、

    \begin{eqnarray*} a_k&=&\frac{1}{1}\int_{-1}^{1} |t|\cos{k\pi t}\, dt\\ &=& \textcolor{red}{2}\int_0^1 t\cos{k\pi t}\, dt \end{eqnarray*}



a_0 を求める:

    \begin{eqnarray*} a_0=\frac{2}{1}\int_0^{1} t\cos{0}\, dt=1\quad\blacksquare \end{eqnarray*}


a_k を求める:

    \begin{eqnarray*} a_0&=&\frac{2}{1}\int_0^{1} t\cos{k\pi t}\, dt\\\\ &=&2\left[ \frac{\cos k\pi t}{(k\pi)^2}+\frac{t\sin k\pi t}{k\pi} \right]_0^{1}\\\\ &=& 2\left\{ \frac{\textcolor{red}{\cos k\pi} - \cos 0}{(k\pi)^2} \right\}\\\\ &=& \frac{2}{k^2\pi^2}\left\{\textcolor{red}{(-1)^k} -1 \right\} \quad \blacksquare \end{eqnarray*}


\textcolor{red}{\cos k\pi=(-1)^k} は「フーリエ級数あるある」である(下図)。



以上より、|t| をフーリエ級数で表すことができる。

    \begin{eqnarray*} f(t)=|t|=\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2}{k^2\pi^2} \left[(-1)^k-1\right]\cos k\pi t\quad\blacksquare \end{eqnarray*}



無限級数を求める

    \begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^2}\quad(n=1,2,3,...) \end{eqnarray*}

とフーリエ級数の結果を比べて、k=2n-1,t=0 とおけば良さそうである。

    \begin{eqnarray*} &&f(0)=0=\frac{1}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{(2n-1)^2\pi^2} \left[(-1)^{2n-1}-1\right]\cos k\pi t\quad\blacksquare\\\\ \Leftrightarrow&&0=\frac{1}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^2} \frac{2}{\pi^2}\left[-1-1\right]\\\\ \Leftrightarrow&& -\frac{1}{2}=\frac{2}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^2}\cdot(-2) \end{eqnarray*}

したがって、

    \begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^2} =\frac{\pi^2}{2}\,\frac{1}{2}\,\frac{1}{2}=\frac{\pi^2}{8}\quad\blacksquare \end{eqnarray*}




 このように、フーリエ級数を利用して無限級数和を表すことができる。






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