例題として、以下の3問を見ていく。ローラン展開→複素積分の流れで計算した。したがって、複素積分の計算に「留数定理」は使わなかった。参考:「例題で学ぶ:ローラン展開/極/留数定理」 (読了目安:30分)
例題
Cを|z|=1上を反時計回りに一周する積分経路とする。以下の積分を求めよ。
1. 方針
を
周りで ローラン展開/テイラー展開 する(級数展開)
- 各級数
の複素積分において、以下の結果を利用( 導出 )
1/z^n の複素積分
2. 解答
(1) f(z)=sin(z)/z
この関数の特異点は である。
中心にローラン展開:
となる。この場合、 は除去可能な特異点である。よって、
の極はない。言い換えると、留数 (
の係数)がゼロ。したがって、
あるいは、 をローラン展開した各項について
であることを利用しても良い(「1. 方針」参考)。
(2) f(z)=exp(z)/z
この関数の特異点は である。
中心にローラン展開:
となる。したがって、1位の極をもつ。留数は の係数である 1 である。留数定理より、
あるいは、 をローラン展開した結果と
を利用して直接積分しても同じ結果を得る。
(3) f(z)=1/z^3
1/z^nの複素積分と同じである。答えは 0 になる。
は特異点 をもつ。これは3位の極である。留数は 0 である。これは
をローラン展開して
の係数を見ればわかる。
の
まわりのローラン展開:
より留数は である!したがって、留数定理より
あるいは、
としてもよい。
3. まとめ
ローラン展開→複素積分を求めてきた。あるいは留数定理でも求めることができる。好きなやり方でやるのがよい。ただ、留数定理を使いすぎると、 がどっからきた?ってなるかもしれない。