f(x)= |sin(x)| [-π:π]のフーリエ級数展開


例題

[-\pi:\pi] で周期的な以下の関数 f(x) をフーリエ級数に展開せよ。

    \begin{eqnarray*} f(x)=|\sin x|\quad(-\pi \leq x < \pi) \end{eqnarray*}





1. 準備

グラフの概形

f(x) のグラフは下のようになる。

 この関数は [-\pi:\pi] で偶関数である。



フーリエ級数展開/フーリエ係数

フーリエ級数で基本的に使うのは三角関数の直交性である。

三角関数の直交性

    \begin{eqnarray*} &&\int_{-\pi}^{\pi} \sin mx \cos nx \,dx=0 \\\\ &&\int_{-\pi}^{\pi} \sin mx \sin nx \, dx= \begin{cases} \pi \quad({\rm if} \quad n=m)\\ 0 \quad({\rm if} \quad n\neq m) \end{cases}\\\\ &&\int_{-\pi}^{\pi} \cos mx \cos nx \, dx= \begin{cases} \pi \quad({\rm if} \quad n=m)\\ 0 \quad({\rm if} \quad n\neq m) \end{cases} \end{eqnarray*}



2.【解答】

 周期関数 f(x)=|\sin x| をフーリエ級数展開する。すなわち、周期 2\pi の三角関数で展開する。

    \begin{eqnarray*} f(x)=|\sin x|=\frac{a_0}{2}+\sum_{m=1}a_m \cos mx+\cancel{b_m \sin mx} \end{eqnarray*}

f(x) が偶関数なので偶関数の \cos で展開できる。つまり、b_m=0

ここで、両辺に \cos nx をかけて、[-\pi:\pi] で積分する(三角関数の直交性を利用する)。

    \begin{eqnarray*} \int_{-\pi}^{\pi}|\sin x|\cos nx \, dx&=&\frac{a_0}{2} \int_{-\pi}^{\pi}\cos nx \, dx +\sum_{m=1}a_m \int_{-\pi}^{\pi} \cos mx \cos nx \, dx&=&\pi a_m \end{eqnarray*}



したがって、フーリエ係数

n\neq 1 のとき:

    \begin{eqnarray*} a_m&=&\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|\sin x|\cos nx \, dx\\\\ &=&\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin x \cos nx \,dx\\\\ &=&\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} \frac{1}{2}\left[ \sin (n+1)x -\sin(n-1)x \right]\, dx\\\\ &=& \frac{1}{\pi} \left[-\frac{\cos(n+1)x}{n+1}+\frac{\cos(n-1)x}{n-1}\right]_{0}^{\pi}\\\\ &=& \frac{1}{\pi}\left\{ \left(-\frac{\cos(n+1)\pi}{n+1}+\frac{\cos 0}{n+1}\right)+ \left(\frac{\cos(n-1)\pi}{n-1}-\frac{\cos 0}{n+1}\right) \right\}\\\\ &=& \frac{1}{\pi} \left\{-\frac{(-1)^{n+1}}{n+1}+\frac{1}{n+1} +\frac{(-1)^{n-1}}{n-1}-\frac{1}{n-1} \right\}\\\\ &=& \frac{1}{\pi} \left(1+(-1)^n\right) \left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n-1}\right)\\\\ &=& \frac{-2}{\pi(n^2-1)}\left\{1+(-1)^n\right\}\\\\ &=& \begin{cases} 0\quad(n:\;{\rm odd},\;n\neq 1)\\\\ -\frac{4}{\pi(n^2-1)}\quad(n:\;{\rm even}) \end{cases}\quad\blacksquare \end{eqnarray*}


n=1 のとき:

    \begin{eqnarray*} a_1&=&\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}\sin x\cos x \, dx\\\\ &=& \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi} \sin 2x \, dx\\\\ &=& \frac{1}{2\pi}\left[-\cos 2x\right]_0^{\pi}\\\\ &=& \frac{1}{2\pi}\left(\cos 0-\cos 2\pi\right)\\\\ &=& 0\quad\blacksquare \end{eqnarray*}


n=0 のとき:

    \begin{eqnarray*} a_0&=&\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}\sin x\, dx=\frac{4}{\pi}\quad \blacksquare \end{eqnarray*}



まとめて、f(x)=|\sin x| のフーリエ係数は、

    \begin{eqnarray*} \begin{cases} 0\quad(n:\;{\rm odd})\\\\ -\frac{4}{\pi(n^2-1)}\quad(n:\;{\rm even}) \end{cases}\quad\blacksquare \end{eqnarray*}



f(x)=|\sin x| のフーリエ級数展開は、

    \begin{eqnarray*} f(x)=|\sin x|&=&\frac{2}{\pi}+\sum_{n=2,4,6,...}^\infty \left[-\frac{4}{\pi(n^2-1)}\right]\cos nx\\\\ &=& \frac{2}{\pi}+ \sum_{m=1}\infty \left[-\frac{4}{\pi(4m^2-1)}\right]\cos 2mx\quad(n=2m)\\\\ &=& \frac{2}{\pi}-\frac{4}{3\pi}\cos 2x-\frac{4}{15\pi}\cos 4x -\cdots \quad \blacksquare \end{eqnarray*}




おまけ:以下、4つの関数を比較した。

    \begin{eqnarray*} &&f(x)=|\sin x|\\\\\\ m_{\rm max}=1:&&\frac{2}{\pi}-\frac{4}{3\pi}\cos 2x\\\\\\ m_{\rm max}=3:&&\frac{2}{\pi}-\frac{4}{3\pi}\cos 2x-\frac{4}{15\pi}\cos 4x-\frac{4}{35\pi}\cos 6x \\\\\\ m_{\rm max}=5:&&\frac{2}{\pi}-\frac{4}{3\pi}\cos 2x-\frac{4}{15\pi}\cos 4x-\frac{4}{35\pi}\cos 6x \\\\ &&\quad\quad-\frac{4}{63\pi}\cos 8x -\frac{4}{99\pi}\cos 10x \end{eqnarray*}




3. まとめ

 この問題はよく出るのかもしれない。偶関数なので \cos のみで展開できる。




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