f(x) = xcos(x) [-π:π]のフーリエ級数展開


例題

[-\pi:\pi] で周期的な以下の関数 f(x) をフーリエ級数に展開せよ。

    \begin{eqnarray*} f(x)=x\cos x\quad(-\pi \leq x < \pi) \end{eqnarray*}





1. 準備

グラフの概形

f(x) のグラフは下のようになる。

 この関数は [-\pi:\pi]奇関数である。



フーリエ級数展開/フーリエ係数

フーリエ級数で基本的に使うのは三角関数の直交性である。

三角関数の直交性

    \begin{eqnarray*} &&\int_{-\pi}^{\pi} \sin mx \cos nx \,dx=0 \\\\ &&\int_{-\pi}^{\pi} \sin mx \sin nx \, dx= \begin{cases} \pi \quad({\rm if} \quad n=m)\\ 0 \quad({\rm if} \quad n\neq m) \end{cases}\\\\ &&\int_{-\pi}^{\pi} \cos mx \cos nx \, dx= \begin{cases} \pi \quad({\rm if} \quad n=m)\\ 0 \quad({\rm if} \quad n\neq m) \end{cases} \end{eqnarray*}



2.【解答】

 周期関数 f(x)=x\cos x をフーリエ級数展開する。すなわち、周期 2\pi の三角関数で展開する。

    \begin{eqnarray*} f(x)=x\cos x\simeq \cancel{\frac{a_0}{2}}+ \sum_{m=1}^\infty \cancel{a_m \cos mx} +b_m \sin mx \end{eqnarray*}

f(x)奇関数であるため、奇関数\sin mx のみで展開できる。f(x) の両辺に \sin nx をかけて、[-\pi:\pi] で積分する。

    \begin{eqnarray*} \int_{-\pi}^{\pi} x\cos x \sin nx\, dx&=& \sum_{m=1}^\infty b_m \int_{-\pi}^{\pi} \sin mx \sin nx\,dx=\pi b_m \end{eqnarray*}

よって、

n\neq 1 のとき:

    \begin{eqnarray*} b_n&=&\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x\cos x \sin nx\, dx\\\\ &=& \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\left\{ \sin(n+1)x+\sin(n-1)x\rihgt\}\,dx\\\\ &=& \frac{1}{2\pi}\left\{ \left[\frac{sin(n+1)x}{(n+1)^2}-\frac{x\cos(n+1)x}{n+1} +\frac{sin(n-1)x}{(n-1)^2}-\frac{x\cos(n-1)x}{n-1} \right]_{-\pi}^{\pi} \right\}\\\\ &=& frac{1}{2\pi}\left\{ -\frac{2\pi}{n+1}\cos(n+1)\pi-\frac{2\pi}{n-1}\cos(n-1)\pi \right\}\\\\ &=& -\frac{(-1)^{n+1}}{n+1}-\frac{(-1)^{n-1}}{n-1}\\\\ &=& \frac{2n(-1)^n}{n^2 - 1}\quad\blacksquare \end{eqnarray*}


n=1 のとき:

    \begin{eqnarray*} b_1&=&\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x\cos x \sin x\, dx\\\\ &=& \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\sin 2x \,dx\\\\ &=& \frac{1}{2\pi}\left[ \frac{\sin 2x}{4}-\frac{x\cos 2x}{2} \right]_{-\pi}^{\pi}\\\\ &=& \frac{1}{2\pi}\left[ -\frac{\pi}{2}\cos2\pi -\frac{\pi}{2}\cos(-2\pi)\right]\\\\ &=& -\frac{1}{2}\quad\blacksquare \end{eqnarray*}



以上より、f(x)=x\cos x のフーリエ級数展開は、

    \begin{eqnarray*} f(x)=x\cos x&\simeq&-\frac{1}{2}\sin x+\sum_{n=2}^\infty \frac{2n(-1)^n}{n^2-1}\sin nx\\\\ &=& -\frac{1}{2}\sin x +\frac{4}{3}\sin 2x -\frac{3}{4}\sin 3x+\cdots \quad\blacksquare \end{eqnarray*}



下図は、(左)第3項までのフーリエ級数展開、(右)第6項までのフーリエ級数展開である。



3. まとめ

 奇関数なので、フーリエ係数を求める計算は苦労しないだろう。





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