【微分方程式】「同次型の解法」の応用その(１)／平行移動による変数変換

　ここでは以下のような同次型に似た問題を扱う。

$\begin{eqnarray*} y'=f\left(\frac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+ c_2}\right) \quad(a_1b_2\neq a_2b_1) \end{eqnarray*}$

　変数変換により同次型に帰着することがわかる。（同次型がわからない・解けない方は先に「同次型の解法」で解法を習得したほうがよいだろう。）以下の例題を使って解説していこう。

同次型に似ている例題その(1)

次の微分方程式を解け。

$\begin{eqnarray*} (4x+y-5)-(x+y+1)y'=0 \end{eqnarray*}$

1. 同次型に帰着する方針
2. 例題の解答
3. まとめ

1. 同次型に帰着する方針

　冒頭に示したように同次型ではないため、変数変換により同次型に帰着させる。どのように変数変換するか、その考え方を以下に示す。

　　「同次型ではない」という意味

　同次型であれば、

$\begin{eqnarray*} (4x+y)-(x+y)y'=0 \end{eqnarray*}$

のように、項の次数が同じであるはず。しかし、本問題では

$\begin{eqnarray*} (4x+y-5)-(x+y+1)y'=0 \end{eqnarray*}$

のように定数項（0次の項）が混じっている。したがって、整理すると

$\begin{eqnarray*} y'=\frac{4x+y-5}{x+y+1}=\frac{4+\frac{y}{x}-5\,\frac{1}{x}}{1+\frac{y}{x}+\frac{1}{x}} \end{eqnarray*}$

のようになる。同次型と同じ解法は使えなさそうである。

　　「同次型にしてしまえばよい」という発想

　今、困っているのは「定数項の存在」である。したがって、変数 $x,y$ を変換して定数項を消してしまえば、同次型の問題になるはず。

　どのように変数変換するかが大事である。まず、分子と分母を見てみよう。これらは１次式である。

$\begin{eqnarray*} &&y=-4x+5\\ &&y=-x-1 \end{eqnarray*}$

とすれば「２本の直線」の式になる。

直線における定数項の役割は「切片」である。２直線を描いてみよう。

　そして、いま目指していることは定数項を消すこと、すなわち、切片が０になるような変数変換をすることである。それも２本の直線とも！

　したがって、新たな $XY$ 平面の原点が２直線の交点を通るようにすればよい。

これに対応する変数変換は、

$\begin{eqnarray*} \begin{cases} X=x-2\\ Y=y+3 \end{cases} \end{eqnarray*}$

である。図から明らかなように、

$\begin{eqnarray*} &&4x+y-5=4X+Y=0\\ &&x+y+1=X+Y=0 \end{eqnarray*}$

となり、定数項が消えた。

　次に左辺 $\frac{dy}{dx}$ を考える。 $y'$ は $y$ を $x$ で微分したものである。微分は傾き（変化率）に対応するものであるため、上のような平行移動による変換では変わらない。したがって

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx}=\frac{dY}{dX} \end{eqnarray*}$

である。

そういうわけで、 $(x,y)\to(X,Y)$ の変換により微分方程式は

$\begin{eqnarray*} Y'\equiv \frac{dY}{dX}=\frac{4X+Y}{X+Y} \end{eqnarray*}$

となり、「同次型の微分方程式」に帰着する。

　　解法まとめ

　上の結果をまとめよう。

$\begin{eqnarray*} y'=f\left(\frac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y c_2}\right) \end{eqnarray*}$

　の同次型に似た微分方程式の解法の流れを以下に示す。

例題の解答の流れ

分子と分母の直線の交点 $(x_0,y_0)$ を求める
$X=x-x_0,Y=y-y_0$ とおく（同次型に帰着）
$Z=\frac{Y}{X}$ と置いて整理（変数分離型に帰着）
変数分離型の微分方程式を解く（変数分離型の解法）
$X,Z$ の式を $X,Y$ に戻す
$X,Y$ の式を $x,y$ に戻す

2. 例題の解答

以下、 $C_1,C_2,C$ などは定数である。

【解答】

$\begin{eqnarray*} (4x+y-5)-(x+y+1)y'=0 \end{eqnarray*}$

を変形して、

$\begin{eqnarray*} y'=\frac{4x+y-5}{x+y+1} \end{eqnarray*}$

ここで、２直線

$\begin{eqnarray*} \begin{cases} 4x+y-5=0\\ x+y+1=0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

の交点は $(x,y)=(2,-3)$ であるため、

$\begin{eqnarray*} \begin{cases} X=x-2\\ Y=y+3 \end{cases} \end{eqnarray*}$

と置く。したがって、もとの微分方程式は

$\begin{eqnarray*} \frac{dY}{dX}=\frac{4X+Y}{X+Y}=\frac{4+\frac{Y}{X}}{1+\frac{Y}{X}} \end{eqnarray*}$

となる（変数分離型に帰着）。

$\begin{eqnarray*} Z=\frac{Y}{X} \end{eqnarray*}$

と置くと

$\begin{eqnarray*} Y=XZ;\quad Y'=Z+X\frac{dZ}{dX} \end{eqnarray*}$

である。このとき微分方程式は、

$\begin{eqnarray*} Z+X\frac{dZ}{dX}&=&\frac{4+Z}{1+Z} \\\\ X\frac{dZ}{dX}&=&\frac{4-Z^2}{1+Z} \end{eqnarray*}$

となる。

したがって、

$\begin{eqnarray*} \frac{1+Z}{4-Z^2}\,\textcolor{red}{dZ} &=&\frac{\textcolor{red}{dX}}{X}\\\\ \int \frac{1+Z}{4-Z^2}\,dZ &=&\int \frac{dX}{X}=\log |X| +C_1 \end{eqnarray*}$

となる。

左辺は

$\begin{eqnarray*} &&\int \frac{1+Z}{4-Z^2}\, dZ\\\\ &=&\int \,-\frac{1}{4}\,\frac{1}{Z+2}+\frac{3}{4}\,\frac{1}{2-Z}\, dZ\\\\ &=&-\frac{1}{4}\log|2+Z|-\frac{3}{4}\log|Z-2| \end{eqnarray*}$

となる。

よって、

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{4}\log|2+Z|-\frac{3}{4}\log|Z-2|&=&\int \frac{dX}{X}=\log |X| +C_1\\\\ \log|2+Z|+3\log|2-Z|+4\log|X|&=&C_2 \quad(C_2\equiv -4C_1)\\\\ \log|2+Z|+\log|2-Z|^3 +\log|X|^4&=&C_2\\\\ \log|X^4(2-Z)(2-Z)^3|&=&C_2\\\\ X^4 (2-Z)(2+Z)^3&=&C\quad(C\equiv \pm e^{C_2})\\\\ X^4 \left(2+\frac{Y}{X}\right)\left(2-\frac{Y}{X}\right)^3&=&C\\\\ (2X+Y)(2X-Y)^3&=&C\quad\cdots(*) \end{eqnarray*}$