前回の続きから、同次型に似た例題を解いていこうと思う。 ここでは以下のタイプの微分方程式を「変数分離型」に帰着させることを目指す。
右辺の分子・分母をそれぞれ直線と見たとき、平行になる場合である。 (交点を持つ場合は、「同次型の解法の応用」で扱った。) 以下の例題を元に、上の微分方程式の解法を見ていこう。
以下の微分方程式を解け。
1. 変数分離型に帰着させるアプローチ
本問は、適当な変数変換により簡単に解くことができる。
同次型ではない
ここで扱う問題は同次型ではない。 同次型であれば、
のようにすべて係数はすべて1次式でできているはずで、 定数項は含まないのである。
平行であるという意味
2直線が平行である条件は、高校数学のレベルなので簡単にまとめておく。 2直線が平行とは「2直線の傾きが等しい」ことであった。 したがって、 以下の2直線は、ともに傾きが で平行である。
もし交点がある場合は、微分方程式の変数を変えてやれば解くことができた。(「同次型の解法の応用」参考)
変数変換をおこなう
結論を先に言っておくと、今回のタイプの問題は以下の変数変換により解くことができる。
と置く。すなわち、 に変数変換する。
平行であるがゆえ、
となり右辺は のみの関数でかける。
たとえば、
に対しては、右辺が
の形に書き換えることができる。
右辺は として、
となる。
したがって、微分方程式は
となり、 のみの関数
で表すことができ、変数分離型に帰着する。
つまり、
によって
の微分方程式の解を得ることができる。
これだけだとわかりにくいため、以下の解答の流れを参考にして例題を見ていくのが良いだろう。
解答の流れ
微分方程式
に対する解答の流れを示す。
2. 例題の解答
を解く。
【解答】 式変形していく:
と置く:
微分方程式は
となり変数分離型に帰着する。
変数分離型を解く:
に戻す:
が解である。
*解のチェックのために、得られた結果を微分して元の微分方程式が得られるか調べる。最後の結果を微分する。
となり、元の微分方程式を得る。
3. まとめ
今回は微分方程式を簡単にしてから、適当な変数変換により変数分離型に帰着することができた。微分方程式では変数変換により、別のタイプの微分方程式に帰着することが多いため、適切な変数変換をする力を養っておくとよい。そのためにいくつかのパターンを覚えておく必要があるだろう。