角運動量演算子 L の交換関係とその意味【計算】

　 $\hat{\bf l}^2,\hat{l}_x,\hat{l}_y,\hat{l}_z,\hat{l}_+,\hat{l}_-$ などの交換関係をまとめた。計算に必要なポイントは以下の通り。

古典力学での角運動量 ${\bf l}={\bf r}\times{\bf p}$ の形を使う
量子力学では $\hat{p_j}=-i\hbar \partial}/\partial x$ に注意
交換関係 $[x_i,p_j]=i\hbar \delta_{ij}$ を利用( 導出 )

1. 演算子の定義
2. 交換関係（計算）
3. l^2 を昇降演算子で表す
4. まとめ

1. 演算子の定義

lx, ly, lz の定義

　量子力学で運動量演算子 $\hat{\bf l}$ を定義する。古典力学からの類推から、

$\begin{eqnarray*} {\bf l}={\bf r}\times{\bf p} \end{eqnarray*}$

を使う。量子力学では、位置演算子と運動量演算子は

$\begin{eqnarray*} \hat{x_i}&=&x_i \quad(i=x,y,z)\\\\ \hat{p_j}&=&-i\hbar \frac{\partial}{\partial x_j}\end{eqnarray*}$

である（ $\bf x$ 表示）。

$\hat{l}_x,\hat{l}_y,\hat{l}_z$ の定義：

角運動量演算子の定義

$\begin{eqnarray*} \hat{l}_x&=&-i\hbar\left(y\frac{\partial}{\partial z} -z\frac{\partial}{\partial y} \right)\\\\ \hat{l}_y&=&-i\hbar\left(z\frac{\partial}{\partial x} -x\frac{\partial}{\partial z} \right)\\\\ \hat{l}_z&=&-i\hbar\left(x\frac{\partial}{\partial y} -y\frac{\partial}{\partial x} \right) \end{eqnarray*}$

l^2 の定義

　角運動量の大きさを表す演算子 $\hat{l}^2$ を定義する。

ポイント

$\begin{eqnarray*}\hat{l}^2= \hat{l}_x^2+\hat{l}_y^2+\hat{l}_z^2 \end{eqnarray*}$

昇降演算子 l+, l- の定義

　 $\hat{l_+},\hat{_-}$ は角運動量を +1 したり-1 したりする。

昇降演算子

$\begin{eqnarray*} \hat{l}_+&=&\hat{l}_x + i\hat{l}_y\\\\ \hat{l}_-&=&\hat{l}_x - i\hat{l}_y \end{eqnarray*}$

2. 交換関係（計算）

[ lx, ly ], [ ly, lz ], [ lz, lx ]

$\hat{l}_x$ と $\hat{l}_z$ の交換関係を調べる。

・ $\hat{l}_x\hat{l}_y$ について：

$\begin{eqnarray*} \hat{l}_x\hat{l}_y &=&-\hbar^2\hbar\left(y\frac{\partial}{\partial z} -z\frac{\partial}{\partial y} \right) \hbar\left(z\frac{\partial}{\partial x} -x\frac{\partial}{\partial z} \right)\\\\ &=&-\hbar^2\Biggl[ \textcolor{red}{y\frac{\partial}{\partial z} \left(z\frac{\partial}{\partial x}\right)} + y\frac{\partial}{\partial z} \left(-x\frac{\partial}{\partial z}\right)\\\\ &&\quad - z\frac{\partial}{\partial y} \left(z\frac{\partial}{\partial x}\right) -z\frac{\partial}{\partial y} \left(x\frac{\partial}{\partial z}\right) \Biggr]\\\\ &=& -\hbar^2\left[ \textcolor{red}{y\frac{\partial}{\partial x} +yz\frac{\partial^2}{\partial z\partial x}} -xy\frac{\partial^2}{\partial z^2} -z^2\frac{\partial^2}{\partial x\partial y} +xz\frac{\partial^2}{\partial y\partial z} \right]\\\\ \end{eqnarray*}$

　赤色は注意すべき点。これは適当な関数 $\phi(x,y,z)$ を用意してみればわかる。以下のように計算して、 $\phi(x,y,z)$ の係数を比べれば良い。

$\begin{eqnarray*} y\frac{\partial}{\partial z}\left[ \left(z\frac{\partial}{\partial x}\right)\phi(x,y,z)\right] &=& y\frac{\partial}{\partial z}\left[ z\left(\frac{\partial \phi(x,y,z)}{\partial x}\right) \right] \\\\ &=& y\frac{\partial z}{\partial z}\frac{\partial \phi(x,y,z)}{\partial z} -yz\frac{\partial^2 \phi(x,y,z)}{\partial z^2}\\\\ &=& \left[y\frac{\partial z}{\partial z}\frac{\partial}{\partial z} -yz\frac{\partial^2}{\partial z^2}\right]\phi(x,y,z) \end{eqnarray*}$

・ $\hat{l}_y\hat{l}_x$ について：

$\begin{eqnarray*} \hat{l}_x\hat{l}_y&=& -\hbar^2\left(z\frac{\partial}{\partial x} -x\frac{\partial}{\partial z}\right) \left(y\frac{\partial}{\partial z} -z\frac{\partial}{\partial y}\right)\\\\ &=& -\hbar^2\left[ yz\frac{\partial^2}{\partial x \partial z} -z^2\frac{\partial^2}{\partial x\partial y} -xy\frac{\partial^2}{\partial z^2} +\textcolor{red}{x\frac{\partial}{\partial y} +xz\frac{\partial^2}{\partial y\partial z}} \right] \end{eqnarray*}$

以上の結果から、

$\begin{eqnarray*} [\hat{l}_x,\hat{l}_y]&=&\hat{l}_x\hat{l}_y-\hat{l}_y\hat{l}_x\\\\ &=& -\hbar^2\left(y\frac{\partial}{\partial x}-x\frac{\partial}{\partial y}\right)\\\\ &=&i\hbar \left[-i\hbar \left(x\frac{\partial}{\partial y}-y\frac{\partial}{\partial x}\right)\right]\\\\ &=& i\hbar \hat{l}_z\quad\blacksquare \end{eqnarray*}$

$[\hat{l}_y,\hat{l}_z],\;,[\hat{l}_y,\hat{l}_z]$ も同様に計算できる。

lx,ly,lz 交換関係まとめ

$\begin{eqnarray*} \left[\hat{l}_x, \hat{l}_y\right]&=& i\hbar \hat{l}_z\\\\ \left[\hat{l}_y, \hat{l}_z\right]&=& i\hbar \hat{l}_x\\\\ \left[\hat{l}_z, \hat{l}_x\right]&=& i\hbar \hat{l}_y \end{eqnarray*}$

[ l^2, lz ]

$\hat{l^2}$ と $\hat{l}_z$ の交換関係を計算する。

$\begin{eqnarray*} [\hat{l^2},\hat{l}_z] &=& [\hat{l}_x^2+\hat{l}_y^2+\hat{l}_z^2,\hat{l}_z]\\\\ &=& [\hat{l}_x^2,\hat{l}_z]+[\hat{l}_y^2,\hat{l}_z]+[\hat{l}_z^2,\hat{l}_z]\\\\ &=& [\hat{l}_x^2,\hat{l}_z]+[\hat{l}_y^2,\hat{l}_z]\quad(\because[\hat{l}_z,\hat{l}_z]=0) \end{eqnarray*}$

$[\hat{l}_x^2,l_z]$ について：

$\begin{eqnarray*} [\hat{l}_x^2,\hat{l}_z]&=& \hat{l}_x^2\hat{l}_z-\hat{l}_z\hat{l}_x^2\\\\ &=& \hat{l}_x(\hat{l}_x \hat{l}_z) -(\hat{l}_z\hat{l}_x)\hat{l}_x\\\\ &=& \hat{l}_x(\hat{l}_z \hat{l}_x-i\hbar \hat{l}_y)- (\hat{l}_x \hat{l}_y+i\hbar \hat{l}_y)\hat{l}_x\\\\ &=& \cancel{\hat{l}_x\hat{l}_z\hat{l}_x} -i\hbar\hat{l}_x\hat{l}_y -\cancel{\hat{l}_x\hat{l}_z\hat{l}_x} -i\hbar\hat{l}_y\hat{l}_x\\\\ &=& -i\hbar\left[\hat{l}_x\hat{l}_y +\hat{l}_y\hat{l}_x \right] \end{eqnarray*}$

$[\hat{l}_y^2,l_z]$ について：

$\begin{eqnarray*} [\hat{l}_y^2,\hat{l}_z]&=& \hat{l}_y^2\hat{l}_z-\hat{l}_z\hat{l}_y^2\\\\ &=& \hat{l}_y(\hat{l}_y \hat{l}_z) -(\hat{l}_z\hat{l}_y)\hat{l}_x\\\\ &=& \hat{l}_y(\hat{l}_z \hat{l}_y +i\hbar \hat{l}_x)- (\hat{l}_z \hat{l}_y -i\hbar \hat{l}_x)\hat{l}_y\\\\ &=& \cancel{\hat{l}_y\hat{l}_z\hat{l}_y} +i\hbar\hat{l}_y\hat{l}_x -\cancel{\hat{l}_y\hat{l}_z\hat{l}_y} +i\hbar\hat{l}_x\hat{l}_y\\\\ &=& +i\hbar\left[\hat{l}_x\hat{l}_y +\hat{l}_y\hat{l}_x \right] \end{eqnarray*}$

したがって、

$\begin{eqnarray*} [\hat{l^2},\hat{l}_z] &=&[\hat{l}_x^2,\hat{l}_z]+[\hat{l}_y^2,\hat{l}_z]+[\hat{l}_z^2,\hat{l}_z]\\\\ &=& -\cancel{i\hbar\left[\hat{l}_x\hat{l}_y +\hat{l}_y\hat{l}_x \right]} +\cancel{i\hbar\left[\hat{l}_x\hat{l}_y +\hat{l}_y\hat{l}_x \right]}+0\\\\ &=&0 \quad\blacksquare \end{eqnarray*}$

$l_x,l_z$ についても同様に計算できる。

全角運動量の大きさを表す演算

$\begin{eqnarray*} \left[\hat{l^2},\hat{l}_x\right]&=&0\\\\ \left[\hat{l^2},\hat{l}_y\right]&=&0\\\\ \left[\hat{l^2},\hat{l}_z\right]&=&0 \end{eqnarray*}$

[ l^2, lz ]=0 の意味

　この結果から、 $\hat{l}^2$ と $\hat{l}_z$ は同時固有状態をもつ。したがって、方位量子数方位量子数 $l$ と磁気量子数 $m$ によって状態を表すことができる。そういうわけで、球面調和関数 $Y_\textcolor{l}^{\textcolor{m}}(\theta,\phi)$ などで状態を表すことができる。

参考：同時固有状態をもつ⇄交換関係がゼロ（同時固有状態の意味）

　 $m$ は $l$ の $z$ 成分である。ここで、 $[\hat{l}^2,\hat{l}_x]=0$ より、 $l$ の $x$ 成分も決定できそうに見える。つまり、 $l,m$ で指定した状態として $\ket{l,m}$ を考えた代わりに、 $\ket{l,m,l_x}$ とできるかどうかである。

　しかし、それは許されない。なぜなら、

$\begin{eqnarray*} [\hat{l}_z,\hat{l}_x]\neq 0 \end{eqnarray*}$

によって、 $l$ の $z$ 成分と $x$ 成分は同時に決定できない！

　 $l$ の $x,y,z$ 成分のうち１つを決定してしまえば、他の２成分については決定できないのである。量子力学では慣例として、 $l$ の $z$ 成分を $m$ として扱っている。

　 $l$ と $l$ の $z$ 成分( $m$ ) を決めると、 $\ket{l,m}$ という下の状態が与えられる。 $l$ の $x,y$ 成分は決定できないため、赤いベクトルはぐるぐる回る。

3. l^2 を昇降演算子で表す

$\hat{l}_+\hat{l}_-$ について：

$\begin{eqnarray*} \hat{l}_+\hat{l}_- &=&(\hat{l}_x+i\hat{l}_y)(\hat{l}_x-i\hat{l}_y)\\\\ &=&\hat{l}_x^2 -i\hat{l}_x\hat{l}_y +i\hat{l}_y\hat{l}_x +\hat{l}_y^2\\\\ &=&\hat{l}_x^2+\hat{l}_y^2 -i[\hat{l}_x,\hat{l}_y]\\\\ &=&\hat{l}_x^2+\hat{l}_y^2 -i(i\hbar \hat{l}_z)\\\\ &=&\hat{l}_x^2+\hat{l}_y^2 +\hbar \hat{l}_z \end{eqnarray*}$

$\hat{l}_-\hat{l}_+$ について：

$\begin{eqnarray*} \hat{l}_-\hat{l}_+ &=&(\hat{l}_x-i\hat{l}_y)(\hat{l}_x+i\hat{l}_y)\\\\ &=&\hat{l}_x^2 +i\hat{l}_x\hat{l}_y -i\hat{l}_y\hat{l}_x +\hat{l}_y^2\\\\ &=&\hat{l}_x^2+\hat{l}_y^2 +i[\hat{l}_x,\hat{l}_y]\\\\ &=&\hat{l}_x^2+\hat{l}_y^2 +i(i\hbar \hat{l}_z)\\\\ &=&\hat{l}_x^2+\hat{l}_y^2 -\hbar \hat{l}_z \end{eqnarray*}$

以上より、

$\begin{eqnarray*} \hat{l}_+\hat{l}_- + \hat{l}_-\hat{l}_+ &=&\hat{l}_x^2+\hat{l}_y^2\\\\ \hat{l}_+\hat{l}_- - \hat{l}_-\hat{l}_+ &=& 2 \hbar \hat{l}_z\quad\blacksquare \end{eqnarray*}$

これより、 $\hat{l}^2$ を昇降演算子によって表すことができる。

$\begin{eqnarray*} \hat{l}^2&=&\textcolor{red}{\hat{l}_x^2+\hat{l}_y^2}+\hat{l}_z^2\\\\ &=&\frac{1}{2}\left[\hat{l}_+\hat{l}_- + \hat{l}_-\hat{l}_+\right] +\hat{l}_z^2\quad \blacksquare \end{eqnarray*}$

4. まとめ

　簡単に結果をまとめておく