角運動量演算子 L の交換関係


 \hat{\bf l}^2,\hat{l}_x,\hat{l}_y,\hat{l}_z,\hat{l}_+,\hat{l}_- などの交換関係をまとめた。計算に必要なポイントは以下の通り。

  • 古典力学での角運動量 {\bf l}={\bf r}\times{\bf p} の形を使う
  • 量子力学では \hat{p_j}=-i\hbar \partial}/\partial x に注意
  • 交換関係 [x_i,p_j]=i\hbar \delta_{ij} を利用( 導出 )




1. 演算子の定義

lx, ly, lz の定義

 量子力学で運動量演算子 \hat{\bf l} を定義する。古典力学からの類推から、

    \begin{eqnarray*} {\bf l}={\bf r}\times{\bf p} \end{eqnarray*}

を使う。量子力学では、位置演算子と運動量演算子は

    \begin{eqnarray*} \hat{x_i}&=&x_i \quad(i=x,y,z)\\\\ \hat{p_j}&=&-i\hbar \partial}/\partial x_j \end{eqnarray*}

である(\bf x表示)。


\hat{l}_x,\hat{l}_y,\hat{l}_z の定義:


角運動量演算子の定義


    \begin{eqnarray*} \hat{l}_x&=&-i\hbar\left(y\frac{\partial}{\partial z} -z\frac{\partial}{\partial y} \right)\\\\ \hat{l}_y&=&-i\hbar\left(z\frac{\partial}{\partial x} -x\frac{\partial}{\partial z} \right)\\\\ \hat{l}_z&=&-i\hbar\left(x\frac{\partial}{\partial y} -y\frac{\partial}{\partial x} \right) \end{eqnarray*}




l^2 の定義

 角運動量の大きさを表す演算子 \hat{l}^2 を定義する。

ポイント


    \begin{eqnarray*}\hat{l}^2= \hat{l}_x^2+\hat{l}_y^2+\hat{l}_z^2 \end{eqnarray*}




昇降演算子 l+, l- の定義

 \hat{l_+},\hat{_-} は角運動量を +1 したり-1 したりする。

昇降演算子


    \begin{eqnarray*} \hat{l}_+&=&\hat{l}_x + i\hat{l}_y\\\\ \hat{l}_-&=&\hat{l}_x - i\hat{l}_y \end{eqnarray*}




2. 交換関係(計算)

[ lx, ly ], [ ly, lz ], [ lz, lx ]

\hat{l}_x\hat{l}_z の交換関係を調べる。


\hat{l}_x\hat{l}_y について:

    \begin{eqnarray*} \hat{l}_x\hat{l}_y &=&-\hbar^2\hbar\left(y\frac{\partial}{\partial z} -z\frac{\partial}{\partial y} \right) \hbar\left(z\frac{\partial}{\partial x} -x\frac{\partial}{\partial z} \right)\\\\ &=&-\hbar^2\Biggl[ \textcolor{red}{y\frac{\partial}{\partial z} \left(z\frac{\partial}{\partial x}\right)} + y\frac{\partial}{\partial z} \left(-x\frac{\partial}{\partial z}\right)\\\\ &&\quad - z\frac{\partial}{\partial y} \left(z\frac{\partial}{\partial x}\right) -z\frac{\partial}{\partial y} \left(x\frac{\partial}{\partial z}\right) \Biggr]\\\\ &=& -\hbar^2\left[ \textcolor{red}{y\frac{\partial}{\partial x} +yz\frac{\partial^2}{\partial z\partial x}} -xy\frac{\partial^2}{\partial z^2} -z^2\frac{\partial^2}{\partial x\partial y} +xz\frac{\partial^2}{\partial y\partial z} \right]\\\\ \end{eqnarray*}



 赤色は注意すべき点。これは適当な関数 \phi(x,y,z) を用意してみればわかる。以下のように計算して、\phi(x,y,z) の係数を比べれば良い。

    \begin{eqnarray*} y\frac{\partial}{\partial z}\left[ \left(z\frac{\partial}{\partial x}\right)\phi(x,y,z)\right] &=& y\frac{\partial}{\partial z}\left[ z\left(\frac{\partial \phi(x,y,z)}{\partial x}\right) \right] \\\\ &=& y\frac{\partial z}{\partial z}\frac{\partial \phi(x,y,z)}{\partial z} -yz\frac{\partial^2 \phi(x,y,z)}{\partial z^2}\\\\ &=& \letf[y\frac{\partial z}{\partial z}\frac{\partial}{\partial z} -yz\frac{\partial^2}{\partial z^2}\right]\phi(x,y,z) \end{eqnarray*}

\hat{l}_y\hat{l}_x について:

    \begin{eqnarray*} \hat{l}_x\hat{l}_y&=& -\hbar^2\left(z\frac{\partial}{\partial x} -x\frac{\partial}{\partial z}\right) \left(y\frac{\partial}{\partial z} -z\frac{\partial}{\partial y}\right)\\\\ &=& -\hbar^2\left[ yz\frac{\partial^2}{\partial x \partial z} -z^2\frac{\partial^2}{\partial x\partial y} -xy\frac{\partial^2}{\partial z^2} +\textcolor{red}{x\frac{\partial}{\partial y} +xz\frac{\partial^2}{\partial y\partial z}} \right] \end{eqnarray*}



以上の結果から、

    \begin{eqnarray*} [\hat{l}_x,\hat{l}_y]&=&\hat{l}_x\hat{l}_y-\hat{l}_y\hat{l}_x\\\\ &=& -\hbar^2\left(y\frac{\partial}{\partial x}-x\frac{\partial}{\partial y}\right)\\\\ &=&i\hbar \left[-i\hbar \left(x\frac{\partial}{\partial y}-y\frac{\partial}{\partial x}\right)\right]\\\\ &=& i\hbar \hat{l}_z\quad\blacksquare \end{eqnarray*}



[\hat{l}_y,\hat{l}_z],\;,[\hat{l}_y,\hat{l}_z] も同様に計算できる。


lx,ly,lz 交換関係まとめ


    \begin{eqnarray*} \left[\hat{l}_x, \hat{l}_y\right]&=& i\hbar \hat{l}_z\\\\ \left[\hat{l}_y, \hat{l}_z\right]&=& i\hbar \hat{l}_x\\\\ \left[\hat{l}_z, \hat{l}_x\right]&=& i\hbar \hat{l}_y \end{eqnarray*}




[ l^2, lz ]

\hat{l^2}\hat{l}_z の交換関係を計算する。

    \begin{eqnarray*} [\hat{l^2},\hat{l}_z] &=& [\hat{l}_x^2+\hat{l}_y^2+\hat{l}_z^2,\hat{l}_z]\\\\ &=& [\hat{l}_x^2,\hat{l}_z]+[\hat{l}_y^2,\hat{l}_z]+[\hat{l}_z^2,\hat{l}_z]\\\\ &=& [\hat{l}_x^2,\hat{l}_z]+[\hat{l}_y^2,\hat{l}_z]\quad(\because[\hat{l}_z,\hat{l}_z]=0) \end{eqnarray*}

[\hat{l}_x^2,l_z] について:

    \begin{eqnarray*} [\hat{l}_x^2,\hat{l}_z]&=& \hat{l}_x^2\hat{l}_z-\hat{l}_z\hat{l}_x^2\\\\ &=& \hat{l}_x(\hat{l}_x \hat{l}_z) -(\hat{l}_z\hat{l}_x)\hat{l}_x\\\\ &=& \hat{l}_x(\hat{l}_z \hat{l}_x-i\hbar \hat{l}_y)- (\hat{l}_x \hat{l}_y+i\hbar \hat{l}_y)\hat{l}_x\\\\ &=& \cancel{\hat{l}_x\hat{l}_z\hat{l}_x} -i\hbar\hat{l}_x\hat{l}_y -\cancel{\hat{l}_x\hat{l}_z\hat{l}_x} -i\hbar\hat{l}_y\hat{l}_x\\\\ &=& -i\hbar\left[\hat{l}_x\hat{l}_y  +\hat{l}_y\hat{l}_x \right] \end{eqnarray*}


[\hat{l}_y^2,l_z] について:

    \begin{eqnarray*} [\hat{l}_y^2,\hat{l}_z]&=& \hat{l}_y^2\hat{l}_z-\hat{l}_z\hat{l}_y^2\\\\ &=& \hat{l}_y(\hat{l}_y \hat{l}_z) -(\hat{l}_z\hat{l}_y)\hat{l}_x\\\\ &=& \hat{l}_y(\hat{l}_z \hat{l}_y +i\hbar \hat{l}_x)- (\hat{l}_z \hat{l}_y -i\hbar \hat{l}_x)\hat{l}_y\\\\ &=& \cancel{\hat{l}_y\hat{l}_z\hat{l}_y} +i\hbar\hat{l}_y\hat{l}_x -\cancel{\hat{l}_y\hat{l}_z\hat{l}_y} +i\hbar\hat{l}_x\hat{l}_y\\\\ &=& +i\hbar\left[\hat{l}_x\hat{l}_y  +\hat{l}_y\hat{l}_x \right] \end{eqnarray*}


したがって、

    \begin{eqnarray*} [\hat{l^2},\hat{l}_z] &=&[\hat{l}_x^2,\hat{l}_z]+[\hat{l}_y^2,\hat{l}_z]+[\hat{l}_z^2,\hat{l}_z]\\\\ &=& -\cancel{i\hbar\left[\hat{l}_x\hat{l}_y  +\hat{l}_y\hat{l}_x \right]} +\cancel{i\hbar\left[\hat{l}_x\hat{l}_y  +\hat{l}_y\hat{l}_x \right]}+0\\\\ &=&0 \quad\blacksquare \end{eqnarray*}



l_x,l_z についても同様に計算できる。


全角運動量の大きさを表す演算


    \begin{eqnarray*} \left[\hat{l^2},\hat{l}_x\right]&=&0\\\\ \left[\hat{l^2},\hat{l}_y\right]&=&0\\\\ \left[\hat{l^2},\hat{l}_z\right]&=&0 \end{eqnarray*}




[ l^2, lz ]=0 の意味

 この結果から、\hat{l}^2\hat{l}_z は同時固有状態をもつ。したがって、方位量子数方位量子数 l と磁気量子数 m によって状態を表すことができる。そういうわけで、球面調和関数 Y_\textcolor{l}^{\textcolor{m}}(\theta,\phi) などで状態を表すことができる。



 mlz 成分である。ここで、[\hat{l}^2,\hat{l}_x]=0 より、lx 成分も決定できそうに見える。つまり、l,m で指定した状態として \ket{l,m} を考えた代わりに、\ket{l,m,l_x} とできるかどうかである。

 しかし、それは許されない。なぜなら、

    \begin{eqnarray*} [\hat{l}_z,\hat{l}_x]\neq 0 \end{eqnarray*}

によって、lz 成分と x 成分は同時に決定できない

 lx,y,z 成分のうち1つを決定してしまえば、他の2成分については決定できないのである。量子力学では慣例として、lz 成分を m として扱っている。

 llz 成分(m) を決めると、\ket{l,m} という下の状態が与えられる。lx,y 成分は決定できないため、赤いベクトルはぐるぐる回る。



3. l^2 を昇降演算子で表す

\hat{l}_+\hat{l}_- について:

    \begin{eqnarray*} \hat{l}_+\hat{l}_- &=&(\hat{l}_x+i\hat{l}_y)(\hat{l}_x-i\hat{l}_y)\\\\ &=&\hat{l}_x^2 -i\hat{l}_x\hat{l}_y +i\hat{l}_y\hat{l}_x +\hat{l}_y^2\\\\ &=&\hat{l}_x^2+\hat{l}_y^2 -i[\hat{l}_x,\hat{l}_y]\\\\ &=&\hat{l}_x^2+\hat{l}_y^2 -i(i\hbar \hat{l}_z)\\\\ &=&\hat{l}_x^2+\hat{l}_y^2 +\hbar \hat{l}_z \end{eqnarray*}


\hat{l}_-\hat{l}_+ について:

    \begin{eqnarray*} \hat{l}_-\hat{l}_+ &=&(\hat{l}_x-i\hat{l}_y)(\hat{l}_x+i\hat{l}_y)\\\\ &=&\hat{l}_x^2 +i\hat{l}_x\hat{l}_y -i\hat{l}_y\hat{l}_x +\hat{l}_y^2\\\\ &=&\hat{l}_x^2+\hat{l}_y^2 +i[\hat{l}_x,\hat{l}_y]\\\\ &=&\hat{l}_x^2+\hat{l}_y^2 +i(i\hbar \hat{l}_z)\\\\ &=&\hat{l}_x^2+\hat{l}_y^2 -\hbar \hat{l}_z \end{eqnarray*}

以上より、

    \begin{eqnarray*} \hat{l}_+\hat{l}_- + \hat{l}_-\hat{l}_+ &=&\hat{l}_x^2+\hat{l}_y^2\\\\ \hat{l}_+\hat{l}_- - \hat{l}_-\hat{l}_+ &=& 2 \hbar \hat{l}_z\quad\blacksquare \end{eqnarray*}


これより、\hat{l}^2 を 昇降演算子によって表すことができる。

    \begin{eqnarray*} \hat{l}^2&=&\textcolor{red}{\hat{l}_x^2+\hat{l}_y^2}+\hat{l}_z^2\\\\ &=&\frac{1}{2}\left[\hat{l}_+\hat{l}_- + \hat{l}_-\hat{l}_+\right] +\hat{l}_z^2\quad \blacksquare \end{eqnarray*}




4. まとめ

 簡単に結果をまとめておく


lx,ly,lz 交換関係まとめ

    \begin{eqnarray*} \left[\hat{l}_x, \hat{l}_y\right]&=& i\hbar \hat{l}_z\\\\ \left[\hat{l}_y, \hat{l}_z\right]&=& i\hbar \hat{l}_x\\\\ \left[\hat{l}_z, \hat{l}_x\right]&=& i\hbar \hat{l}_y \end{eqnarray*}

全角運動量の大きさを表す演算

    \begin{eqnarray*} \left[\hat{l^2},\hat{l}_x\right]&=&0\\\\ \left[\hat{l^2},\hat{l}_y\right]&=&0\\\\ \left[\hat{l^2},\hat{l}_z\right]&=&0 \end{eqnarray*}

lをl+ l- で表す

    \begin{eqnarray*} \hat{l}^2=\frac{1}{2}\left[\hat{l}_+\hat{l}_- + \hat{l}_-\hat{l}_+\right] +\hat{l}_z^2 \end{eqnarray*}


 軌道角運動量演算子の話は、同時固有状態のことに触れないとおもしろくないと思います。あと球面調和関数に作用させたときの話もここではしなかった。単なる計算まとめみたいになっている。




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