縮退のない場合の系で、演算子 と
に関して重要なことがある。
演算子の交換関係
と
は同時固有状態を持つ
上の関係は、行列の交換関係と同時固有関数と読み替えてもよい。量子力学の場合は、関数よりも広い概念として同時固有状態と呼んでいる。
1. 証明
→方向と←方向について証明する。
1.1 同時固有関数→可換
演算子 と
が同時固有関数をもつ。その固有関数を
、固有値をそれぞれ
、
とする。つまり、以下のような関係にある。
任意の波動関数 を
で展開すると、


1.2 可換→同時固有関数
適当な基底を用意すると演算子は行列表示が可能となる。
となるようなの固有関数
を基底として考える。この基底で、
と
を展開する。
演算子は適当な基底により行列表示が可能である。行列表示にすることで、計算が扱いやすくなる。
はエルミートである
固有値は実数
- 縮退がない場合(異なる
に対して
)
のときに(*)が成立するための条件は以下の通りである。
のとき、
であるので(*)は成立する(
は0以外でも良い)
のとき、
であるので、
この条件を満たす は
のとき以外は行列要素が0になった対角行列になっている。したがって、
を対角化するように用意した固有関数
によって、
も対角化されていることが示された(同時対角化されている)。つまり、
に対する
の固有値を
とすれば、
(1)
である。 ,
の同時固有関数であることをはっきりさせるために
と書くこともある。
2. 同時固有関数(同時固有状態)を持つの意味
いつ同時固有状態が現れるのか、簡単に見ていこう。
2.1 例1:方位量子数と磁気量子数
量子力学にでてくる球面調和関数は、
方位量子数:
磁気量子数:
で表されているだろう。例えば状態は のように
と
の値によって状態が指定されている。
と
という値が、上の証明で扱った固有値
、
に対応している。
磁気量子数 とは何だっただろうか。その正体は、
方向の
の値
であった。そして、教科書に出てくるような交換関係を思い出して欲しい。
となっていただろう。つまり、演算子
と
に対して同時固有状態が存在するのである。また、これは
のみでは状態を指定することができないことも表している。
によって、演算子
と
に対して同時固有状態が存在する。
2.2 例2:ブロッホの定理
詳細な話は別の記事で書いたので参考にして欲しい。
固体物理における同時固有関数の例を見よう。シュレディンガー方程式、
の形は明らかに固有値方程式の形である。
結晶に周期性があり、ハミルトニアンの中にある が結晶格子と同じ並進対称性を持つ場合を考える。結晶格子の周期性に対応する格子ベクトル
だけずらす並進移動の操作を
とすると、
が成立する。したがって、 と
は同時固有関数をもつ。固有関数をシュレディンガー方程式を満たす上記の
とすれば、



となる。ここで、波数ベクトルを とした。
によって、
と
は同時固有関数をもつ
3. まとめ
意外とよく出でくる事項である。