「同時固有関数をもつ⇆可換」の証明と量子力学における意味

　縮退のない場合の系で、演算子 $A$ と $B$ に関して重要なことがある。

ポイント

演算子の交換関係 $[A,B]=0\longleftrightarrow$ $A$ と $B$ は同時固有状態を持つ

　上の関係は、行列の交換関係と同時固有関数と読み替えてもよい。量子力学の場合は、関数よりも広い概念として同時固有状態と呼んでいる。

1. 証明
- 1.1 同時固有関数→可換
- 1.2 可換→同時固有関数
2. 同時固有関数（同時固有状態）を持つの意味
- 2.1 例1：方位量子数と磁気量子数
- 2.2 例2：ブロッホの定理
3. まとめ

1. 証明

　→方向と←方向について証明する。

1.1 同時固有関数→可換

　演算子 $A$ と $B$ が同時固有関数をもつ。その固有関数を $\ket{a_i,b_i}$ 、固有値をそれぞれ $a_i$ 、 $b_i$ とする。つまり、以下のような関係にある。

$\begin{eqnarray*}A \ket{a_i,b_i}&=&a_i\ket{a_i,b_i}\\B \ket{a_i,b_i}&=&b_i\ket{a_i,b_i}\end{eqnarray*}$

任意の波動関数 $\ket{\phi}$ を $\ket{a_i,b_i}$ で展開すると、

$\begin{eqnarray*}\ket{\phi}=\sum_i c_i \,\ket{a_i,b_i}\\\end{eqnarray*}$

となる。 $c_i$ は展開係数。 $\ket{\phi}$ を用いて証明できる。

$\begin{eqnarray*}AB|\phi&=&\sum_i c_i \,AB\ket{a_i,b_i}\\&=&\sum_i c_i \,Ab_i\,\ket{a_i,b_i}\\&=&\sum_i c_i b_iA\ket{a_i,b_i}\\&=&\sum_i c_i b_i a_i\ket{a_i,b_i}\\ \\BA|\phi&=&\sum_i c_i \,BA\ket{a_i,b_i}\\&=&\sum_i c_i \,Ba_i\,\ket{a_i,b_i}\\&=&\sum_i c_i a_iB\ket{a_i,b_i}\\&=&\sum_i c_i a_i b_i\ket{a_i,b_i}\\&=&\sum_i c_i b_i a_i\ket{a_i,b_i}\\ \\\therefore [AB-BA]\ket{\phi}&=&(AB-BA)\ket{\phi}=0\end{eqnarray*}$

1.2 可換→同時固有関数

　適当な基底を用意すると演算子は行列表示が可能となる。

$\begin{eqnarray*}A\ket{a_i}=a_i\ket{a_i}\end{eqnarray*}$

となるような $A$ の固有関数 $\ket{i} \equiv \ket{a_i}$ を基底として考える。この基底で、 $AB$ と $BA$ を展開する。

行列表示

演算子は適当な基底により行列表示が可能である。行列表示にすることで、計算が扱いやすくなる。

$\begin{eqnarray*}\braket{i|AB|j}&=&\sum_k \braket{i|A|k}\braket{k|B|j} \quad(\because \sum_k \ket{k}\bra{k}=1)\\&=&\sum_k \braket{i|a_i^{*}|k}\braket{k|B|j} \quad(\because \bra{i}A = \bra{i}a_i^{*})\\&=&\sum_k a_i^{*} \delta_{ik}\braket{k|B|j} \quad (\because \braket{i|k}=\delta_{ik})\\&=&a_i^{*} \braket{i|B|j};\\&=& a_i^{*} B_{ij}\\ \\\braket{i|BA|j}&=&\sum_k \braket{i|B|k}\braket{k|A|j}; \\&=&\sum_k \braket{i|B|k}\braket{k|A|j};\\&=&\sum_k \braket{i|B|k} \, a_j \delta_{kj} \\&=& a_j B_{ij} \\ \\&&\therefore (a_i^{*} -a_j ) B_{ij}= 0 \quad \cdots (*)\end{eqnarray*}$

$A$ はエルミートである $\rightarrow$ 固有値は実数
縮退がない場合（異なる $i,j$ に対して $a_i\neq a_j$ ）

のときに(*)が成立するための条件は以下の通りである。

$i=j$ のとき、 $a_i=a_j$ であるので(*)は成立する（ $B_{ij}$ は0以外でも良い）
$i\neq j$ のとき、 $a_i\neq a_j$ であるので、 $B_{ij}=0$

　この条件を満たす $B_{ij}$ は $i=j$ のとき以外は行列要素が0になった対角行列になっている。したがって、 $A$ を対角化するように用意した固有関数 $\ket{i} \equiv \ket{a_i}$ によって、 $B$ も対角化されていることが示された（同時対角化されている）。つまり、 $\ket{i}$ に対する $B$ の固有値を $b_i$ とすれば、

(1) $\begin{eqnarray*} B\ket{i} = b_i \ket{i} \end{eqnarray*}$

である。 $A$ , $B$ の同時固有関数であることをはっきりさせるために $\ket{i} \equiv \ket{a_i, b_i}$ と書くこともある。

2. 同時固有関数（同時固有状態）を持つの意味

　いつ同時固有状態が現れるのか、簡単に見ていこう。

2.1 例1：方位量子数と磁気量子数

　量子力学にでてくる球面調和関数は、
　　　方位量子数： $l$
　　　磁気量子数： $m$
で表されているだろう。例えば状態は $\ket{l,m}$ のように $l$ と $m$ の値によって状態が指定されている。 $l$ と $m$ という値が、上の証明で扱った固有値 $a_i$ 、 $b_j$ に対応している。