「同時固有関数をもつ⇆可換」の証明と量子力学における意味


 縮退のない場合の系で、演算子 AB に関して重要なことがある。

ポイント

演算子の交換関係 [A,B]=0\longleftrightarrow AB同時固有状態を持つ

 上の関係は、行列の交換関係と同時固有関数と読み替えてもよい。量子力学の場合は、関数よりも広い概念として同時固有状態と呼んでいる。



1. 証明

 →方向と←方向について証明する。

1.1 同時固有関数→可換

 演算子 AB が同時固有関数をもつ。その固有関数を \ket{a_i,b_i}、固有値をそれぞれ a_ib_iとする。つまり、以下のような関係にある。

    \begin{eqnarray*}A \ket{a_i,b_i}&=&a_i\ket{a_i,b_i}\\B \ket{a_i,b_i}&=&b_i\ket{a_i,b_i}\end{eqnarray*}

 

任意の波動関数 \ket{\phi}\ket{a_i,b_i} で展開すると、

    \begin{eqnarray*}\ket{\phi}=\sum_i c_i \,\ket{a_i,b_i}\\\end{eqnarray*}

となる。c_iは展開係数。\ket{\phi}を用いて証明できる。

    \begin{eqnarray*}AB|\phi&=&\sum_i c_i \,AB\ket{a_i,b_i}\\&=&\sum_i c_i \,Ab_i\,\ket{a_i,b_i}\\&=&\sum_i c_i b_iA\ket{a_i,b_i}\\&=&\sum_i c_i b_i a_i\ket{a_i,b_i}\\ \\BA|\phi&=&\sum_i c_i \,BA\ket{a_i,b_i}\\&=&\sum_i c_i \,Ba_i\,\ket{a_i,b_i}\\&=&\sum_i c_i a_iB\ket{a_i,b_i}\\&=&\sum_i c_i a_i b_i\ket{a_i,b_i}\\&=&\sum_i c_i b_i a_i\ket{a_i,b_i}\\ \\\therefore [AB-BA]\ket{\phi}&=&(AB-BA)\ket{\phi}=0\end{eqnarray*}



1.2 可換→同時固有関数

 適当な基底を用意すると演算子は行列表示が可能となる。

    \begin{eqnarray*}A\ket{a_i}=a_i\ket{a_i}\end{eqnarray*}

となるようなAの固有関数 \ket{i} \equiv \ket{a_i} を基底として考える。この基底で、ABBAを展開する。


行列表示

演算子は適当な基底により行列表示が可能である。行列表示にすることで、計算が扱いやすくなる。


    \begin{eqnarray*}\braket{i|AB|j}&=&\sum_k  \braket{i|A|k}\braket{k|B|j} \quad(\because \sum_k \ket{k}\bra{k}=1)\\&=&\sum_k  \braket{i|a_i^{*}|k}\braket{k|B|j} \quad(\because \bra{i}A = \bra{i}a_i^{*})\\&=&\sum_k  a_i^{*} \delta_{ik}\braket{k|B|j}  \quad (\because \braket{i|k}=\delta_{ik})\\&=&a_i^{*} \braket{i|B|j};\\&=& a_i^{*} B_{ij}\\ \\\braket{i|BA|j}&=&\sum_k  \braket{i|B|k}\braket{k|A|j}; \\&=&\sum_k  \braket{i|B|k}\braket{k|A|j};\\&=&\sum_k  \braket{i|B|k}  \, a_j \delta_{kj} \\&=& a_j B_{ij} \\ \\&&\therefore (a_i^{*} -a_j ) B_{ij}= 0 \quad \cdots (*)\end{eqnarray*}

 


  • Aはエルミートである \rightarrow 固有値は実数
  • 縮退がない場合(異なるi,jに対してa_i\neq a_j

のときに(*)が成立するための条件は以下の通りである。

  • i=jのとき、a_i=a_j であるので(*)は成立する(B_{ij}は0以外でも良い)
  • i\neq jのとき、a_i\neq a_jであるので、B_{ij}=0

 この条件を満たす B_{ij}i=j のとき以外は行列要素が0になった対角行列になっている。したがって、A を対角化するように用意した固有関数 \ket{i} \equiv \ket{a_i} によって、B も対角化されていることが示された(同時対角化されている)。つまり、\ket{i} に対するB の固有値を b_iとすれば、

(1)   \begin{eqnarray*} B\ket{i} = b_i \ket{i} \end{eqnarray*}

である。 A,B の同時固有関数であることをはっきりさせるために \ket{i} \equiv \ket{a_i, b_i} と書くこともある。



2. 同時固有関数(同時固有状態)を持つの意味

 いつ同時固有状態が現れるのか、簡単に見ていこう。


2.1 例1:方位量子数と磁気量子数

 量子力学にでてくる球面調和関数は、
   方位量子数:l
   磁気量子数:m
で表されているだろう。例えば状態は \ket{l,m} のようにlmの値によって状態が指定されている。lm という値が、上の証明で扱った固有値 a_ib_jに対応している。

 磁気量子数 m とは何だっただろうか。その正体は、z方向のlの値 l_z であった。そして、教科書に出てくるような交換関係を思い出して欲しい。

 [\hat{l^2}, \hat{l_z}]=0 となっていただろう。つまり、演算子 \hat{l^2}\hat{l_z} に対して同時固有状態が存在するのである。また、これは\ket{l}のみでは状態を指定することができないことも表している。


方位量子数と磁気量子数

[\hat{l^2}, \hat{l_z}]=0 によって、演算子 \hat{l^2}\hat{l_z} に対して同時固有状態が存在する。



2.2 例2:ブロッホの定理

 詳細な話は別の記事で書いたので参考にして欲しい。

 固体物理における同時固有関数の例を見よう。シュレディンガー方程式、

    \begin{eqnarray*}\hat{H({\bf x})}\phi({\bf x}) =\left(\frac{-\nabla^2}{2m}+V({\bf x})\right)\phi({\bf x}) = E \phi({\bf x}) \end{eqnarray*}

の形は明らかに固有値方程式の形である。

 結晶に周期性があり、ハミルトニアンの中にある V({\bf x}) が結晶格子と同じ並進対称性を持つ場合を考える。結晶格子の周期性に対応する格子ベクトル {\bf a} だけずらす並進移動の操作を \hat{T_{\bf a}} とすると、

    \begin{eqnarray*}[\hat{H({\bf x})},\, \hat{T_{\bf a}}] = 0\end{eqnarray*}

が成立する。したがって、\hat{H({\bf x})}\hat{T_{\bf a}} は同時固有関数をもつ。固有関数をシュレディンガー方程式を満たす上記の \phi とすれば、

    \begin{eqnarray*}\hat{T_{\bf a}} \phi = C \phi\end{eqnarray*}

となる固有値 C がある。N 回の並進移動の操作 {\hat{T_{\bf a}}}^N や波動関数の規格化から

    \begin{eqnarray*}C=\exp{(i{\bf k}\cdot{\bf a})}\end{eqnarray*}

となる。ここで、波数ベクトルを {\bf k} とした。


ブロッホの定理における同時固有関数

[\hat{H({\bf x})},\, \hat{T_{\bf a}}] = 0によって、\hat{H({\bf x})}\hat{T_{\bf a}} は同時固有関数をもつ


3. まとめ

 意外とよく出でくる事項である。






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