ビオ・サバール(ビオ・サヴァール)の法則をマクスウェル方程式から丁寧に導出する。そのためには、電流が作る磁場について考え、電磁気学のマクスウェル方程式の理解が必要である。ベクトル解析に慣れていないと計算につまづくかもしれない。
1. 磁場Hに関するマクスウェル方程式
真空中でのマクスウェル方程式のうち、divとrotに関するものを用いる。
これは、磁場の湧き出し(divergence, 発散)がないことを表す。つまり、磁気単極子, magnetic monopoleが存在しないことを表す(現在では存在しないことになっている。)。電荷の場合は、正電荷、負電荷による湧き出しの可能性があるので、div。いわゆる、ガウスの法則である。
この式はアンペール・マクスウェルの式という。は磁場の回転(rotation)を表す。は電流を表す。アンペールの式によると、電流が流れれば、図のように電流の周りに磁場が生まれる。 マクスウェルは、電場の時間変化である変位電流 もまた、電流と同じ役割をもつことを示した。
2. 定常的な運動を考える
ビオ・サバールの法則に必要なのは電流であるが、それは電荷の定常的な運動によって記述できる。すなわち、それは電荷の運動の時間的な平均である。時間的な平均について考えるために、上のマクスウェル方程式の時間平均を取る。第1式については以下の通り。
は磁場の時間平均を表す。第2式について、
である。ここで、右辺の第1項について 考える。ある時間の関数 の導関数 の、ある時間 にわたる時間平均は、
である。時間 とすると、この の導関数の時間平均は 0 に近く。したがって、
である。 まとめるとここまでで以下の2式を得た。
3. 新しい式を導く
(1′)について、ベクトル解析によるとdivを満たすときは、 とベクトルポテンシャル を用いて磁場を表すことができた。(ベクトル解析の式 による[証明はこちらの記事]。)
いま、時間平均を考えているので、
である。最終的に求めるのは磁場 であるが、この式から が分かれば、その回転 をとることによって が求められる。当面の問題は を求めることである。これを、(2′)へ代入しよう。左辺は、
である。ここで、以下のベクトル三重積の変形(BAC-CAB則)を用いた。「バックキャブ」などと唱えて覚えるべきベクトル解析の公式である。
(3)式の第1項に現れる にとる(クーロンゲージ )。このようなゲージを選んでも、元々のマクスウェル方程式は不変である。結局 式(3)を(2′)へ代入すると、
を得る。これは、スカラーポテンシャル のポアソン方程式、
と同じ形をしている。この式の意味は、電荷(電荷密度 )によって、電場のポテンシャルが生まれていることを表す。
電場のポテンシャルはよく知られているように電荷からの距離 に反比例する。図(左)のように電荷が離散的であるときは、 を用いて各電荷のポテンシャルへの寄与の総和で表される。
連続的な場を考える場合は、図(右)のように は積分記号に置き換えて、電荷密度 によりスカラーポテンシャル を記述する。
このスカラーポテンシャル と同じように、ベクトルポテンシャル の形を作る。そうすると、ポアソン方程式 (4) の解は、
で与えられるだろう。
4. A から H がわかる
最後のステップである。式 (5)のrotation(回転)をとり、 を導く。
である。右辺のrotationの は位置に関する微分(など)を含むので、位置の関数である と に作用する。式(6)のうち、成分についての式、
の被積分関数、
を計算する。式(7)の右辺第1項については、合成関数の微分として、
最後の行では、の微分は無視した。 式(7)の右辺第2項についても同様に、
となる。したがって、式(7)は、
のようになる。、 成分も同様に、
であるので、式 (6)に代入して、 ビオ・サバールの法則
で表されるビオ・サバールの法則を得る。動径ベクトル は考えている体積要素 から求めている場に向かう方向である。