ビオ・サバール(ビオ・サヴァール)の法則をマクスウェル方程式から丁寧に導出する。そのためには、電流が作る磁場について考え、電磁気学のマクスウェル方程式の理解が必要である。ベクトル解析に慣れていないと計算につまづくかもしれない。
1. 磁場Hに関するマクスウェル方程式
真空中でのマクスウェル方程式のうち、divとrot
に関するものを用いる。
これは、磁場の湧き出し(divergence, 発散)がないことを表す。つまり、磁気単極子, magnetic monopoleが存在しないことを表す(現在では存在しないことになっている。)。電荷の場合は、正電荷、負電荷による湧き出しの可能性があるので、div。いわゆる、ガウスの法則である。
この式はアンペール・マクスウェルの式という。は磁場の回転(rotation)を表す。
は電流を表す。アンペールの式によると、電流
が流れれば、図のように電流の周りに磁場が生まれる。 マクスウェルは、電場の時間変化である変位電流
もまた、電流と同じ役割をもつことを示した。
2. 定常的な運動を考える
ビオ・サバールの法則に必要なのは電流であるが、それは電荷の定常的な運動によって記述できる。すなわち、それは電荷の運動の時間的な平均である。時間的な平均について考えるために、上のマクスウェル方程式の時間平均を取る。第1式については以下の通り。
![Rendered by QuickLaTeX.com \overline{\bf H}](https://batapara.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-694ce8cef549691253f18ba8e7fc5cb1_l3.png)
である。ここで、右辺の第1項について 考える。ある時間の関数
![Rendered by QuickLaTeX.com f](https://batapara.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f68099fa171a7728e42d447a1fada680_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \frac{df}{dt}](https://batapara.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0032a8118ee3e06a25423f2a67d8679e_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com T](https://batapara.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-528ea3ccff5af67129b54812b0593f85_l3.png)
である。時間
![Rendered by QuickLaTeX.com T \rightarrow \infty](https://batapara.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-20b9790ee427de11ac2fdb0eefe3a38f_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com f](https://batapara.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f68099fa171a7728e42d447a1fada680_l3.png)
である。 まとめるとここまでで以下の2式を得た。
3. 新しい式を導く
(1′)について、ベクトル解析によるとdivを満たすときは、
とベクトルポテンシャル
を用いて磁場を表すことができた。(ベクトル解析の式
による[証明はこちらの記事]。)
いま、時間平均を考えているので、
である。最終的に求めるのは磁場 であるが、この式から
が分かれば、その回転
をとることによって
が求められる。当面の問題は
を求めることである。これを、(2′)へ代入しよう。左辺は、
である。ここで、以下のベクトル三重積の変形(BAC-CAB則)を用いた。「バックキャブ」などと唱えて覚えるべきベクトル解析の公式である。
(3)式の第1項に現れる
![Rendered by QuickLaTeX.com \nabla\cdot\overline{\bf A}=0](https://batapara.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-14a32ab6fc801802298d39c1987189cf_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \nabla\cdot{\bf A}=0](https://batapara.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ca563bb60788a5d7ad924bed0e472fda_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \varphi](https://batapara.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-20a310f0f04c80bed0855a60f76b0296_l3.png)
と同じ形をしている。この式の意味は、電荷(電荷密度
![Rendered by QuickLaTeX.com \rho](https://batapara.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e08f2c38650b6ecd1123336734c9cedb_l3.png)
![potential_phi](https://livedoor.blogimg.jp/hrsnpy/imgs/3/b/3bb64bfd-s.jpg)
電場のポテンシャルはよく知られているように電荷からの距離 に反比例する。図(左)のように電荷が離散的であるときは、
を用いて各電荷のポテンシャルへの寄与の総和で表される。
連続的な場を考える場合は、図(右)のように は積分記号に置き換えて、電荷密度
によりスカラーポテンシャル
を記述する。
このスカラーポテンシャル と同じように、ベクトルポテンシャル
の形を作る。そうすると、ポアソン方程式 (4) の解は、
で与えられるだろう。
4. A から H がわかる
最後のステップである。式 (5)のrotation(回転)をとり、 を導く。
である。右辺のrotationの
![Rendered by QuickLaTeX.com \nabla](https://batapara.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7e34eacaa14ab7d6058cebd71b982557_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \frac{\partial}{\partial R_x}](https://batapara.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-50163c7e59b2565a8510cb6f80cffc82_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \overline{\bf j}](https://batapara.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-70250ed76d1972896145ae021d24abdc_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com R=\sqrt{{R_x}^2+{R_y}^2+{R_z}^2}](https://batapara.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bf212215aec9de65878eae0afa923390_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x](https://batapara.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1de01684171adbbe85a7459753c94fe1_l3.png)
の被積分関数、
を計算する。式(7)の右辺第1項については、合成関数の微分として、
最後の行では、
![Rendered by QuickLaTeX.com {\bf j}](https://batapara.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-86dd18f2f58e065a8fe5827396ce5602_l3.png)
のようになる。
![Rendered by QuickLaTeX.com y](https://batapara.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5a1bcea3af11ec30f9fe24cd05d21221_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com z](https://batapara.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9b684f2286e3c2407b82145b231c3a71_l3.png)
であるので、式 (6)に代入して、 ビオ・サバールの法則
で表されるビオ・サバールの法則を得る。動径ベクトル は考えている体積要素
から求めている場に向かう方向である。