ビオ・サバールの法則を丁寧に導出（Biot–Savart law）

　ビオ・サバール（ビオ・サヴァール）の法則をマクスウェル方程式から丁寧に導出する。そのためには、電流が作る磁場について考え、電磁気学のマクスウェル方程式の理解が必要である。ベクトル解析に慣れていないと計算につまづくかもしれない。

1. 磁場Hに関するマクスウェル方程式

真空中でのマクスウェル方程式のうち、div ${\bf H}$ とrot ${\bf H}$ に関するものを用いる。

$\begin{eqnarray*}{\rm div}{\bf H} = \nabla \cdot {\bf H}=0 \cdots (1)\end{eqnarray*}$

　これは、磁場の湧き出し(divergence, 発散)がないことを表す。つまり、磁気単極子, magnetic monopoleが存在しないことを表す（現在では存在しないことになっている。）。電荷の場合は、正電荷、負電荷による湧き出しの可能性があるので、div ${\bf E} \neq 0$ 。いわゆる、ガウスの法則である。

$\begin{eqnarray*}{\rm rot}{\bf H} = \nabla \times {\bf H} = \frac{1}{c} \frac{\partial {\bf E}}{\partial t}+\frac{4\pi}{c}{\bf j} \cdots (2)\end{eqnarray*}$

　この式はアンペール・マクスウェルの式という。 $\nabla \times {\bf H}$ は磁場の回転（rotation）を表す。 ${\bf j}$ は電流を表す。アンペールの式によると、電流 ${\bf j}$ が流れれば、図のように電流の周りに磁場が生まれる。マクスウェルは、電場の時間変化である変位電流 $\frac{1}{c} \frac{\partial {\bf E}}{\partial t}$ もまた、電流と同じ役割をもつことを示した。

2. 定常的な運動を考える

　ビオ・サバールの法則に必要なのは電流であるが、それは電荷の定常的な運動によって記述できる。すなわち、それは電荷の運動の時間的な平均である。時間的な平均について考えるために、上のマクスウェル方程式の時間平均を取る。第１式については以下の通り。

$\begin{eqnarray*}\nabla \cdot \overline{\bf H} = 0\end{eqnarray*}$

$\overline{\bf H}$ は磁場の時間平均を表す。第２式について、

$\begin{eqnarray*}{\rm rot}\overline{\bf H} = \nabla \times \overline{\bf H} = \frac{1}{c} \overline {\frac{\partial {\bf E}}{\partial t}}+\frac{4\pi}{c}\overline{\bf j}\end{eqnarray*}$

である。ここで、右辺の第１項について考える。ある時間の関数 $f$ の導関数 $\frac{df}{dt}$ の、ある時間 $T$ にわたる時間平均は、

$\begin{eqnarray*}\overline {\frac{df}{dt}} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T}\frac{df}{dt} dt = \frac{f(T) - f(0)}{T}\end{eqnarray*}$

である。時間 $T \rightarrow \infty$ とすると、この $f$ の導関数の時間平均は 0 に近く。したがって、

$\begin{eqnarray*}\frac{1}{c} \overline{\frac{\partial {\bf E}}{\partial t}} \rightarrow 0\end{eqnarray*}$

である。まとめるとここまでで以下の２式を得た。

$\begin{eqnarray*}\nabla \cdot \overline{\bf H} &=&0 \cdots (1')\\\nabla \times {\bf \overline{H}} &=& \frac{4\pi}{c}{\bf \overline{j}}\cdots(2')\end{eqnarray*}$

3. 新しい式を導く

　(1′)について、ベクトル解析によるとdiv ${\bf H}=0$ を満たすときは、 ${\bf H}={\rm rot} {\bf A}=\nabla\times{\bf A}$ とベクトルポテンシャル ${\bf A}$ を用いて磁場を表すことができた。（ベクトル解析の式 $\nabla\cdot(\nabla\times{\bf A})=0$ による[証明はこちらの記事]。）
　いま、時間平均を考えているので、

$\begin{eqnarray*}\overline{\bf H}=\nabla\times\overline{\bf A}\end{eqnarray*}$

　である。最終的に求めるのは磁場 $\overline{\bf H}$ であるが、この式から $\overline{\bf A}$ が分かれば、その回転 $\nabla\times\overline{\bf A}$ をとることによって $\overline{\bf H}$ が求められる。当面の問題は $\overline{\bf A}$ を求めることである。これを、(2′)へ代入しよう。左辺は、

$\begin{eqnarray*}\nabla\times\overline{\bf H}&=&\nabla\times(\nabla\times\overline{\bf A})\\&=&\nabla(\nabla\cdot\overline{\bf A})-\nabla^2 \overline{\bf A} \cdots (3)\end{eqnarray*}$

　である。ここで、以下のベクトル三重積の変形（BAC-CAB則）を用いた。「バックキャブ」などと唱えて覚えるべきベクトル解析の公式である。

$\begin{eqnarray*}{\bf A}\times({\bf B}\times{\bf C})={\bf B}({\bf A}\cdot{\bf C}) - {\bf C}({\bf A}\cdot{\bf B})\end{eqnarray*}$

(3)式の第１項に現れる $\nabla\cdot\overline{\bf A}=0$ にとる（クーロンゲージ $\nabla\cdot{\bf A}=0$ ）。このようなゲージを選んでも、元々のマクスウェル方程式は不変である。結局式(3)を(2′)へ代入すると、

$\begin{eqnarray*}\Delta\overline{\bf A} \equiv \nabla^2 \overline{\bf A} =-\frac{4\pi}{c}\overline{\bf j} \cdots (4)\end{eqnarray*}$

を得る。これは、スカラーポテンシャル $\varphi$ のポアソン方程式、

$\begin{eqnarray*}\Delta\varphi \equiv \nabla^2 \varphi = -4\pi\rho\end{eqnarray*}$

と同じ形をしている。この式の意味は、電荷（電荷密度 $\rho$ ）によって、電場のポテンシャルが生まれていることを表す。

　電場のポテンシャルはよく知られているように電荷からの距離 $R$ に反比例する。図（左）のように電荷が離散的であるときは、 $\Sigma$ を用いて各電荷のポテンシャルへの寄与の総和で表される。
　連続的な場を考える場合は、図（右）のように $\Sigma$ は積分記号に置き換えて、電荷密度 $\rho$ によりスカラーポテンシャル $\varphi$ を記述する。

　このスカラーポテンシャル $\varphi$ と同じように、ベクトルポテンシャル ${\bf A}$ の形を作る。そうすると、ポアソン方程式 (4) の解は、

$\begin{eqnarray*}\overline{\bf A}=\frac{1}{c} \int \frac{\overline{\bf j}}{R} dV \cdots (5)\end{eqnarray*}$

で与えられるだろう。

4. A から H がわかる

　最後のステップである。式 (5)のrotation(回転）をとり、 $\overline{\bf H}$ を導く。

$\begin{eqnarray*}\overline{\bf H}=\nabla\times\overline{\bf A}=\frac{1}{c}\int \nabla\times \bigl(\frac{\overline{\bf j}}{R}\bigr) dV \cdots (6)\end{eqnarray*}$

である。右辺のrotationの $\nabla$ は位置に関する微分（ $\frac{\partial}{\partial R_x}$ など）を含むので、位置の関数である $\overline{\bf j}$ と $R=\sqrt{{R_x}^2+{R_y}^2+{R_z}^2}$ に作用する。式(6)のうち、 $x$ 成分についての式、

$\begin{eqnarray*}\overline{\bf H_x}=\bigl[\nabla\times\overline{\bf A}\bigr]_x=\frac{1}{c}\int \Bigl[ \nabla\times \bigl(\frac{\overline{\bf j}}{R}\bigr) \Bigr]_x dV\end{eqnarray*}$

の被積分関数、

$\begin{eqnarray*}\Bigl[ \nabla\times \bigl(\frac{\overline{\bf j}}{R}\bigr) \Bigr]_x = \frac{\partial}{\partial R_y} \bigl(\frac{\overline{\bf j_z}}{R}\bigr)- \frac{\partial}{\partial R_z} \bigl(\frac{\overline{\bf j_y}}{R}\bigr) \cdots (7)\end{eqnarray*}$

を計算する。式(7)の右辺第１項については、合成関数の微分として、

$\begin{eqnarray*}\frac{\partial}{\partial R_y} \bigl(\frac{\overline{\bf j_z}}{R}\bigr)&=&\frac{\partial \overline{\bf j_z}}{\partial R_y}\frac{1}{R}+\overline{\bf j_z}\frac{\partial}{\partial R_y}\bigl(\frac{1}{R}\bigr)\\&=& \frac{\partial \overline{\bf j_z}}{\partial R_y}\frac{1}{R}+\overline{\bf j_z}\frac{\partial}{\partial R_y}\bigl(\frac{1}{\sqrt{{R_x}^2+{R_y}^2+{R_z}^2}}\bigr)\\&=& \frac{\partial \overline{\bf j_z}}{\partial R_y}\frac{1}{R}+\overline{\bf j_z}\frac{-R_y}{\sqrt{({R_x}^2+{R_y}^2+{R_z}^2)^3}}\\&=& \frac{\partial \overline{\bf j_z}}{\partial R_y}\frac{1}{R}-\overline{\bf j_z}\frac{R_y}{R^{3}}\\&=&-\frac{\overline{\bf j_z} R_y}{R^{3}}\end{eqnarray*}$

最後の行では、 ${\bf j}$ の微分は無視した。式(7)の右辺第２項についても同様に、

$\begin{eqnarray*}\frac{\partial}{\partial R_z} \bigl(\frac{\overline{\bf j_y}}{R}\bigr)=-\frac{\overline{\bf j_y} R_z}{R^{3}}\end{eqnarray*}$

となる。したがって、式(7)は、

$\begin{eqnarray*}\Bigl[ \nabla\times \bigl(\frac{\overline{\bf j}}{R}\bigr) \Bigr]_x &=&-\frac{\overline{\bf j_z} R_y}{R^{3}}-\Bigl(-\frac{\overline{\bf j_y} R_z}{R^{3}}\Bigr)\\&=&\frac{1}{R^3} \Bigl( \overline{\bf j_y} R_z - \overline{\bf j_z} R_y \Bigr)\\&=&\frac{1}{R^3} \Bigl[ \overline{\bf j} \times {\bf R}\Bigr]_x\end{eqnarray*}$

のようになる。 $y$ 、 $z$ 成分も同様に、

$\begin{eqnarray*}\Bigl[ \nabla\times \bigl(\frac{\overline{\bf j}}{R}\bigr) \Bigr]_y =\frac{1}{R^3} \Bigl[ \overline{\bf j} \times {\bf R}\Bigr]_y\\\Bigl[ \nabla\times \bigl(\frac{\overline{\bf j}}{R}\bigr) \Bigr]_z=\frac{1}{R^3} \Bigl[ \overline{\bf j} \times {\bf R}\Bigr]_z\end{eqnarray*}$

であるので、式 (6)に代入して、ビオ・サバールの法則

$\begin{eqnarray*} \overline{\bf H}=\nabla\times\overline{\bf A}=\frac{1}{c}\int \frac{\overline{\bf j}\times {\bf R}}{R^3} dV \end{eqnarray*}$

　で表されるビオ・サバールの法則を得る。動径ベクトル ${\bf R}$ は考えている体積要素 $dV$ から求めている場に向かう方向である。

1. 磁場Hに関するマクスウェル方程式

2. 定常的な運動を考える

3. 新しい式を導く

4. A から H がわかる

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