四重極モーメントについて学ぶ。双極モーメントについて理解されていることが望ましい。なぜなら、四重極モーメントは双極モーメントが0の場合に特に重要になるからである。
目次
1. 四重極モーメント
双極モーメントの繰り返しになるが、どのような状況のときに現れる項か知っておいた方が良い。双極モーメントは下図(右)のように電荷がある系から離れたところにおける、スカラーポテンシャルの第1近似であった。
1.1 スカラーポテンシャルの多重極展開
座標原点を点線内に取ると、点線で囲んだ領域の電荷が につくるポテンシャルは、
と表すことができる。これを と仮定して展開して行った時の、2次の近似が四重極モーメントに対応するポンテシャルである。以下のように で展開しよう(多重極展開)。
で展開したので は に比例する。双極モーメントに対応する は に比例する。四重極モーメントに対応する (四重極ポテンシャル)は に比例する。
1.2 第一項
展開した時の第1項は であった。これは、点線の領域内の電荷の和 を全電荷とする粒子を原点に置いて、その粒子が に作るポテンシャルに等しい。
とにかく第0近似の では各電荷の位置を無視して、 へ作るポテンシャルを考える粗い近似である。実際、各電荷が原点からずれていれば各電荷の位置 に依存するが、遠くから見たら無視できるのである。
1.3 第二項(双極モーメント)
第二項は、双極モーメント とすると、
となる。grad が に作用するので、 は に比例する。(分数関数の微分 と同様である。)
これがモーメントと言われるゆえんは、 が原点からの距離と電荷(重み)の積になっているからである。
1.4 第三項(四重極モーメント)
このモーメントは前述した、 と が 0 のときに重要な項である。これらが のときの条件は、
- 全電荷が0
- 双極モーメントが0
つまり、
である。さて、 は の展開における2次の項であった。したがって、
となる。(2変数関数 のテイラー展開を思い出してほしい。)ここで、 は全電荷についてとり、小文字 などは点線の中の電荷の位置 の成分、大文字 などは の成分を表す。
このポテンシャルには6個の量 が現れる。しかし、 はポアソン方程式を満たすため、つまり、
ここで最後の行ではクロネッカーのデルタを用いて ごとに偏微分することを明記した。このポアソン方程式のために、独立な変数は 個になる。この0となる項を適当な係数をつけて の中に入れ込むと、
と書くことができる。この式に現れるテンソルを四重極モーメントという。
2. 四重極モーメントの性質
上で定義した四重極モーメントは、 の成分を持ったテンソル である。体格成分の和 は 0になる。これは、ポアソン方程式を満たすところから来ている。また、先に述べたように、独立な成分は5つである。
2.1 1/R を2階微分する
次に、 をみる。 に注意して、まずは で1階微分する。
続いて、この結果をさらに で1階微分する。
また、 について、
以上の結果をまとめると、
2.2 四重極モーメントで表すポテンシャル
上の結果から具体的に、ポテンシャル を求める。
このテンソル を対角化したときにでる3つの固有値のうち独立なものは2つである。なぜなら、 の対角要素の和 () であるため、 の固有値 となる。
3. まとめ
双極モーメントや四重極モーメントの導出は、ポテンシャルの展開により出てきたのであった。さらに高次の項も取ることが可能で、一般的にはこのような展開を多重極展開という。よく使うであろう、双極モーメント・四重極モーメントはおさえておきたい。