四重極モーメントを導く（多重極展開）

　四重極モーメントについて学ぶ。双極モーメントについて理解されていることが望ましい。なぜなら、四重極モーメントは双極モーメントが0の場合に特に重要になるからである。

双極モーメント・スカラーポテンシャルを導く。

1. 四重極モーメント
2. 四重極モーメントの性質
- 2.1 1/R を2階微分する
- 2.2 四重極モーメントで表すポテンシャル
3. まとめ

1. 四重極モーメント

　双極モーメントの繰り返しになるが、どのような状況のときに現れる項か知っておいた方が良い。双極モーメントは下図（右）のように電荷がある系から離れたところにおける、スカラーポテンシャルの第1近似であった。

1.1 スカラーポテンシャルの多重極展開

　座標原点を点線内に取ると、点線で囲んだ領域の電荷が ${\bf R}$ につくるポテンシャルは、

$\begin{eqnarray*} \varphi({\bf R})=\sum_{a}\frac{e_a}{|{\bf R}-{\bf r_a}|} \end{eqnarray*}$

と表すことができる。これを ${\bf R}>> {\bf r}$ と仮定して展開して行った時の、2次の近似が四重極モーメントに対応するポンテシャルである。以下のように $\frac{1}{\bf R}$ で展開しよう（多重極展開）。

ポテンシャルの展開

$\begin{eqnarray*} \varphi({\bf R})= \varphi^{(0)}+\varphi^{(1)}+\varphi^{(2)}+\cdots \end{eqnarray*}$

　 $\frac{1}{|\bf R|}$ で展開したので $\varphi^{(0)}$ は $\frac{1}{|\bf R|}$ に比例する。双極モーメントに対応する $\varphi^{(1)}$ は $\frac{1}{|\bf R|^2}$ に比例する。四重極モーメントに対応する $\varphi^{(2)}$ （四重極ポテンシャル）は $\frac{1}{|\bf R|^3}$ に比例する。

1.2 第一項

　展開した時の第1項は $\varphi^{(0)}=\frac{\sum_{a}e_a}{|{\bf R}|}$ であった。これは、点線の領域内の電荷の和 $\sum_{a} e_a$ を全電荷とする粒子を原点に置いて、その粒子が ${\bf R}$ に作るポテンシャルに等しい。

　とにかく第0近似の $\varphi^{(0)}$ では各電荷の位置を無視して、 ${\bf R}$ へ作るポテンシャルを考える粗い近似である。実際、各電荷が原点からずれていれば各電荷の位置 ${\bf r_a}$ に依存するが、遠くから見たら無視できるのである。

1.3 第二項（双極モーメント）

　第二項は、双極モーメント ${\bf d}=\sum_{a}{e_a{\bf r_a}}$ とすると、

$\begin{eqnarray*} \varphi^{(1)}=-{\bf d}\cdot {\rm grad}\left(\frac{1}{R}\right) \end{eqnarray*}$

となる。grad が $\frac{1}{R}$ に作用するので、 $\varphi^{(1)}$ は $\frac{1}{|R|^2}$ に比例する。（分数関数の微分 $\frac{d}{dr}\frac{1}{r}$ と同様である。）

　これがモーメントと言われるゆえんは、 ${\bf d}$ が原点からの距離と電荷（重み）の積になっているからである。

1.4 第三項（四重極モーメント）

　このモーメントは前述した、 $\varphi^{(0)}$ と $\varphi^{(1)}$ が 0 のときに重要な項である。これらが $0$ のときの条件は、

全電荷が0
双極モーメントが0

つまり、

$\begin{eqnarray*} \sum_{a}e_a=0\\\\ {\bf d}=\sum_{a}e_a {\bf r}=0 \end{eqnarray*}$

である。さて、 $\varphi^{(2)}$ は $\sum_{a}\frac{e_a}{|{\bf R}-{\bf r}|}$ の展開における2次の項であった。したがって、

$\begin{eqnarray*} \varphi^{(2)}=\frac{1}{2}\sum e x_i x_k \frac{\partial^2}{X_i X_k}\left(\frac{1}{R}\right) \end{eqnarray*}$

となる。（2変数関数 $f(x,y)$ のテイラー展開を思い出してほしい。）ここで、 $\sum$ は全電荷についてとり、小文字 $x_i$ などは点線の中の電荷の位置 ${\bf r}$ の成分、大文字 $X_i$ などは ${\bf R}$ の成分を表す。

　このポテンシャルには6個の量 $x^2,y^2,z^2,xy,yz,zx$ が現れる。しかし、 $\frac{1}{R}$ はポアソン方程式を満たすため、つまり、

$\begin{eqnarray*} \Delta \left(\frac{1}{R}\right)=\left(\frac{\partial^2}{\partial^2 X}+ \frac{\partial^2}{\partial^2 Y}+\frac{\partial^2}{\partial^2 Z}\right)\left(\frac{1}{R}\right)&=&0\\ \\ \Leftrigharrow \delta_{ik}\frac{\partial^2}{\partial X_i \partial X_k}\left( \frac{1}{R}\right)&=&0 \end{eqnarray*}$

　ここで最後の行ではクロネッカーのデルタを用いて $X_i,X_k$ ごとに偏微分することを明記した。このポアソン方程式のために、独立な変数は $6-1=5$ 個になる。この0となる項を適当な係数をつけて $\varphi^{(2)}$ の中に入れ込むと、

$\begin{eqnarray*} \varphi^{(2)}&=& \frac{1}{2}\sum e\left(x_i x_k -\frac{r^2}{3}\delta_{ik}\right) \frac{\partial^2}{X_i X_k}\left(\frac{1}{R}\right) \\ \\ &=& \frac{1}{6}\sum_e\left(3x_i x_k -r^2\delta_{ik}\right) \frac{\partial^2}{X_i X_k}\left(\frac{1}{R}\right) \\ \\ \end{eqnarray*}$

と書くことができる。この式に現れるテンソルを四重極モーメントという。

四重極モーメント

$\begin{eqnarray*} D_{ik}=\sum e\left(3x_i-r^2\delta_{ik}\right) \end{eqnarray*}$

2. 四重極モーメントの性質

　上で定義した四重極モーメントは、 $i,k$ の成分を持ったテンソル $D_{ik}$ である。体格成分の和 $\sum_{i} D_{ii}$ は 0になる。これは、ポアソン方程式を満たすところから来ている。また、先に述べたように、独立な成分は5つである。

2.1 1/R を2階微分する

　次に、 $\frac{\partial^2}{\parital X_i \partial X_k}\frac{1}{R}$ をみる。 $R=\sqrt{R_x^2+R_y^2+R_z^2}$ に注意して、まずは $x$ で1階微分する。

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial X_x}\left(\frac{1}{R}\right) &=&\frac{\partial}{\partial X_x}\left(\frac{1}{\sqrt{R_x^2+R_y^2+R_z^2}}\right)\\ \\ &=& -R_x\left(R_x^2+R_y^2+R_z^2\right)^{-\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$

続いて、この結果をさらに $y$ で1階微分する。

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial X_y}\frac{\partial}{\partial X_x}\left(\frac{1}{R}\right) &=& -R_x\left(R_x^2+R_y^2+R_z^2\right)^{-\frac{3}{2}} \\ \\ &=& -R_x (-3 R_y )\left(R_x^2+R_y^2+R_z^2\right)^{-\frac{5}{2}} \\ \\ &=& 3R_x R_y\left(R_x^2+R_y^2+R_z^2\right)^{-\frac{5}{2}} \\ \\ &=& \frac{3XY}{R^5} \end{eqnarray*}$

また、 $\frac{\partial^2}{\partial X_x^2}$ について、

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial X_x^2}\left(\frac{1}{R}\right) &=&\frac{\partial}{\partial X_x} \left(-R_x\left(R_x^2+R_y^2+R_z^2\right)^{-\frac{3}{2}}\right) \\ \\ &=& -\left(R_x^2+R_y^2+R_z^2\right)^{-\frac{3}{2}}+3 R_x^2 \left(R_x^2+R_y^2+R_z^2\right)^{-\frac{5}{2}} \\ \\ &=& \frac{3X^2 }{R^5} - \frac{1}{R^3} \end{eqnarray*}$

以上の結果をまとめると、

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial^2}{\partial X_y \partial X_x}\left(\frac{1}{R}\right)= \frac{3X_i X_k }{R^5} - \frac{\delta_{ik}}{R^3} \end{eqnarray*}$

2.2 四重極モーメントで表すポテンシャル

　上の結果から具体的に、ポテンシャル $\varphi^{(2)}$ を求める。

$\begin{eqnarray*} \varphi^{(2)} &=&\frac{D_{ik}}{6}\frac{\partial^2}{\partial X_i \partial X_k}\left(\frac{1}{R}\right) \\ \\ &=& \frac{D_{ik}}{6}\,\left[ \frac{3X_i X_k }{R^5} - \frac{\delta_{ik}}{R^3}\right] \\ \\ &=& \frac{D_{ik}X_i X_k}{2R^5} \quad (\because D_{ii}=0) \end{eqnarray*}$

　このテンソル $D$ を対角化したときにでる3つの固有値のうち独立なものは2つである。なぜなら、 $D$ の対角要素の和 ( $\sum_{i}D_{ii}=0$ ) であるため、 $D$ の固有値 $\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=0$ となる。

行列のトレースと固有値の関係式

行列のトレースと行列の固有値の関係はこちらを参考にされたい。

3. まとめ

　双極モーメントや四重極モーメントの導出は、ポテンシャルの展開により出てきたのであった。さらに高次の項も取ることが可能で、一般的にはこのような展開を多重極展開という。よく使うであろう、双極モーメント・四重極モーメントはおさえておきたい。