四重極モーメントを導く(多重極展開)


 四重極モーメントについて学ぶ。双極モーメントについて理解されていることが望ましい。なぜなら、四重極モーメントは双極モーメントが0の場合に特に重要になるからである。




1. 四重極モーメント

 双極モーメントの繰り返しになるが、どのような状況のときに現れる項か知っておいた方が良い。双極モーメントは下図(右)のように電荷がある系から離れたところにおける、スカラーポテンシャルの第1近似であった。

1.1 スカラーポテンシャルの多重極展開

 座標原点を点線内に取ると、点線で囲んだ領域の電荷が {\bf R} につくるポテンシャルは、

    \begin{eqnarray*} \varphi({\bf R})=\sum_{a}\frac{e_a}{|{\bf R}-{\bf r_a}|} \end{eqnarray*}

と表すことができる。これを {\bf R}>> {\bf r} と仮定して展開して行った時の、2次の近似が四重極モーメントに対応するポンテシャルである。以下のように \frac{1}{\bf R} で展開しよう(多重極展開)。

ポテンシャルの展開

    \begin{eqnarray*} \varphi({\bf R})= \varphi^{(0)}+\varphi^{(1)}+\varphi^{(2)}+\cdots \end{eqnarray*}

 \frac{1}{|\bf R|} で展開したので \varphi^{(0)}\frac{1}{|\bf R|} に比例する。双極モーメントに対応する \varphi^{(1)}\frac{1}{|\bf R|^2} に比例する。四重極モーメントに対応する \varphi^{(2)} (四重極ポテンシャル)は \frac{1}{|\bf R|^3} に比例する。

1.2 第一項

 展開した時の第1項は \varphi^{(0)}=\frac{\sum_{a}e_a}{|{\bf R}|} であった。これは、点線の領域内の電荷の和 \sum_{a} e_a を全電荷とする粒子を原点に置いて、その粒子が {\bf R} に作るポテンシャルに等しい。

 とにかく第0近似の \varphi^{(0)} では各電荷の位置を無視して、{\bf R} へ作るポテンシャルを考える粗い近似である。実際、各電荷が原点からずれていれば各電荷の位置 {\bf r_a} に依存するが、遠くから見たら無視できるのである。

1.3 第二項(双極モーメント)

 第二項は、双極モーメント {\bf d}=\sum_{a}{e_a{\bf r_a}} とすると、

    \begin{eqnarray*} \varphi^{(1)}=-{\bf d}\cdot {\rm grad}\left(\frac{1}{R}\right) \end{eqnarray*}

となる。grad が \frac{1}{R} に作用するので、\varphi^{(1)}\frac{1}{|R|^2} に比例する。(分数関数の微分 \frac{d}{dr}\frac{1}{r} と同様である。)

 これがモーメントと言われるゆえんは、{\bf d} が原点からの距離と電荷(重み)の積になっているからである。

1.4 第三項(四重極モーメント)

 このモーメントは前述した、\varphi^{(0)}\varphi^{(1)} が 0 のときに重要な項である。これらが 0 のときの条件は、

  1. 全電荷が0
  2. 双極モーメントが0

つまり、

    \begin{eqnarray*} \sum_{a}e_a=0\\\\ {\bf d}=\sum_{a}e_a {\bf r}=0 \end{eqnarray*}

である。さて、\varphi^{(2)}\sum_{a}\frac{e_a}{|{\bf R}-{\bf r}|} の展開における2次の項であった。したがって、

    \begin{eqnarray*} \varphi^{(2)}=\frac{1}{2}\sum e x_i x_k \frac{\partial^2}{X_i X_k}\left(\frac{1}{R}\right) \end{eqnarray*}

となる。(2変数関数 f(x,y) のテイラー展開を思い出してほしい。)ここで、\sum は全電荷についてとり、小文字 x_i などは点線の中の電荷の位置 {\bf r} の成分、大文字 X_i などは {\bf R} の成分を表す。

 このポテンシャルには6個の量 x^2,y^2,z^2,xy,yz,zx が現れる。しかし、\frac{1}{R} はポアソン方程式を満たすため、つまり、

    \begin{eqnarray*} \Delta \left(\frac{1}{R}\right)=\left(\frac{\partial^2}{\partial^2 X}+ \frac{\partial^2}{\partial^2 Y}+\frac{\partial^2}{\partial^2 Z}\right)\left(\frac{1}{R}\right)&=&0\\ \\ \Leftrigharrow  \delta_{ik}\frac{\partial^2}{\partial X_i \partial X_k}\left( \frac{1}{R}\right)&=&0 \end{eqnarray*}

 ここで最後の行ではクロネッカーのデルタを用いて X_i,X_k ごとに偏微分することを明記した。このポアソン方程式のために、独立な変数は 6-1=5 個になる。この0となる項を適当な係数をつけて \varphi^{(2)} の中に入れ込むと、

    \begin{eqnarray*} \varphi^{(2)}&=& \frac{1}{2}\sum e\left(x_i x_k -\frac{r^2}{3}\delta_{ik}\right) \frac{\partial^2}{X_i X_k}\left(\frac{1}{R}\right) \\ \\ &=& \frac{1}{6}\sum_e\left(3x_i x_k -r^2\delta_{ik}\right) \frac{\partial^2}{X_i X_k}\left(\frac{1}{R}\right) \\ \\ \end{eqnarray*}

と書くことができる。この式に現れるテンソルを四重極モーメントという。

四重極モーメント

    \begin{eqnarray*} D_{ik}=\sum e\left(3x_i-r^2\delta_{ik}\right) \end{eqnarray*}



2. 四重極モーメントの性質

 上で定義した四重極モーメントは、i,k の成分を持ったテンソル D_{ik} である。体格成分の和 \sum_{i} D_{ii} は 0になる。これは、ポアソン方程式を満たすところから来ている。また、先に述べたように、独立な成分は5つである。


2.1 1/R を2階微分する

 次に、\frac{\partial^2}{\parital X_i \partial X_k}\frac{1}{R} をみる。R=\sqrt{R_x^2+R_y^2+R_z^2} に注意して、まずは x で1階微分する。

    \begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial X_x}\left(\frac{1}{R}\right) &=&\frac{\partial}{\partial X_x}\left(\frac{1}{\sqrt{R_x^2+R_y^2+R_z^2}}\right)\\ \\ &=& -R_x\left(R_x^2+R_y^2+R_z^2\right)^{-\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}

続いて、この結果をさらに y で1階微分する。

    \begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial X_y}\frac{\partial}{\partial X_x}\left(\frac{1}{R}\right) &=& -R_x\left(R_x^2+R_y^2+R_z^2\right)^{-\frac{3}{2}} \\ \\ &=& -R_x (-3 R_y )\left(R_x^2+R_y^2+R_z^2\right)^{-\frac{5}{2}} \\ \\ &=& 3R_x R_y\left(R_x^2+R_y^2+R_z^2\right)^{-\frac{5}{2}} \\ \\ &=& \frac{3XY}{R^5} \end{eqnarray*}

また、\frac{\partial^2}{\partial X_x^2} について、

    \begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial X_x^2}\left(\frac{1}{R}\right) &=&\frac{\partial}{\partial X_x} \left(-R_x\left(R_x^2+R_y^2+R_z^2\right)^{-\frac{3}{2}}\right)  \\ \\ &=& -\left(R_x^2+R_y^2+R_z^2\right)^{-\frac{3}{2}}+3 R_x^2 \left(R_x^2+R_y^2+R_z^2\right)^{-\frac{5}{2}} \\ \\ &=& \frac{3X^2 }{R^5} - \frac{1}{R^3} \end{eqnarray*}

以上の結果をまとめると、

    \begin{eqnarray*} \frac{\partial^2}{\partial X_y \partial X_x}\left(\frac{1}{R}\right)= \frac{3X_i X_k }{R^5} - \frac{\delta_{ik}}{R^3} \end{eqnarray*}



2.2 四重極モーメントで表すポテンシャル

 上の結果から具体的に、ポテンシャル \varphi^{(2)} を求める。

    \begin{eqnarray*} \varphi^{(2)} &=&\frac{D_{ik}}{6}\frac{\partial^2}{\partial X_i \partial X_k}\left(\frac{1}{R}\right) \\ \\ &=& \frac{D_{ik}}{6}\,\left[ \frac{3X_i X_k }{R^5} - \frac{\delta_{ik}}{R^3}\right] \\ \\ &=& \frac{D_{ik}X_i X_k}{2R^5} \quad (\because D_{ii}=0) \end{eqnarray*}

 このテンソル D を対角化したときにでる3つの固有値のうち独立なものは2つである。なぜなら、D の対角要素の和 (\sum_{i}D_{ii}=0) であるため、D の固有値 \lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=0 となる。


行列のトレースと行列の固有値の関係はこちらを参考にされたい。


3. まとめ

 双極モーメントや四重極モーメントの導出は、ポテンシャルの展開により出てきたのであった。さらに高次の項も取ることが可能で、一般的にはこのような展開を多重極展開という。よく使うであろう、双極モーメント・四重極モーメントはおさえておきたい。


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