【行列式】行列のトレースと固有値の関係式


n\times nの行列Aについて、
Aの固有値を\lambda_{\rm i}(i=1, 2, …, n)とすると

    \[ {\rm tr}A =\sum_{i=1}^{n} \lambda_i \]

が成立することを示す。(tr(AB)=tr(BA)は使わない。)
この式は行列のトレースと固有値を結ぶ関係式となっている。

まず
固有多項式 \phi_A(\lambda)={\rm det}(\lambda E-A)=\left| \begin{array}{c c c c} \lambda-a_{11}&-a_{12}&\cdots&-a_{1n}\\ -a_{21}&\lambda-a_{22}&\cdots&-a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ -a_{n1}&-a_{n2}&\cdots&\lambda-a_{nn} \end{array} \right|

は、 \phi_A(\lambda)=\lambda^n+\alpha_1 \lambda^{n-1}+\cdots+\alpha_nとおける。

実際に係数\alpha_1を求めてみる。すなわち\lambda^{(n-1)}の係数を求める。
はじめに、行列式の第1列に対する余因子展開を考える。

\left| \begin{array}{c c c c} \lambda-a_{11}&-a_{12}&\cdots&-a_{1n}\\ -a_{21}&\lambda-a_{22}&\cdots&-a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ -a_{n1}&-a_{n2}&\cdots&\lambda-a_{nn} \end{array} \right| \\= (\lambda-a_{11})\cdot \left| \begin{array}{c c c c} \lambda-a_{22}&-a_{23}&\cdots&-a_{2n}\\ -a_{32}&\lambda-a_{33}&\cdots&-a_{3n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ -a_{n2}&-a_{n3}&\cdots&\lambda-a_{nn} \end{array} \right| \\ + (-1)\cdot(-a_{21}) \cdot \left| \begin{array}{c c c c} -a_{12}&-a_{13}&\cdots&-a_{1n}\\ -a_{32}&\lambda -a_{33} &\cdots&-a_{3n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ -a_{n2}&-a_{n3}&\cdots&\lambda-a_{nn} \end{array} \right|\\ + \cdots + (-1)^n \cdot(-a_{n1}) \cdot \left| \begin{array}{c c c c} -a_{12}&-a_{13}&\cdots&-a_{1n}\\ \lambda-a_{22}&-a_{23}&\cdots&-a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ -a_{(n-1)2}&-a_{(n-1)3}&\cdots&-a_{(n-1)n} \end{array}\right|

余因子展開によりn\times n行列の行列式が、
(n-1)\times (n-1)行列の行列式の和で表された。

第2項以下について行列式の\lambdaは次数は高々(n-2)次である。
つまり、第1項からのみ\lambda^{(n-1)}が現れる。
具体的には、(\lambda-a_{11})(\lambda-a_{22})\cdots(\lambda-a_{nn}) からのみ現れ、

(1)   \[\alpha_1=-(a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn})=-{\rm tr}A \]

と表される。
一方で、固有多項式\phi_A(\lambda)は、

    \begin{eqnarray*}\phi_A(\lambda)&=(\lambda-\lambda_1)(\lambda-\lambda_2)\cdots(\lambda-\lambda_n)\\ &=\lambda^n-(\lambda_1+\lambda_2 \cdots \lambda_n)  \lambda^{(n-1)} \cdots\end{eqnarray*}

なので、

(2)   \[\alpha_1=-(\lambda_1+\lambda_2 \cdots \lambda_n)=\sum_{i=1}^{n} \lambda_i \]

となる。

(1)(2)より {\rm tr}A =\sum_{i=1}^{n} \lambda_i が証明された。


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