【行列式】ヴァンデルモンドの行列式の証明

　以下のような「ヴァンデルモンドの行列式（Vandermonde’s determinant）」と呼ばれる特殊な行列式がある。対照的な綺麗な形をしており、行列式の性質を使うことで証明することができる。

ヴァンデルモンドの行列式

$\begin{eqnarray*} \left|\begin{array}{cccc} 1 &1 &\cdots&1\\\\ \lambda_1 &\lambda_2 &\cdots&\lambda_n\\\\ \vdots &\vdots& \ddots & \vdots \\\\ \lambda_1^{n-1} &\lambda_2^{n-1} &\cdots&\lambda_n^{n-1} \end{array}\right| &=& \Pi_{1 \leq i < j \leq n} (\lambda_j-\lambda_i)\quad (*)\\\\ &=& (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\Pi_{1 \leq i < j \leq n} (\lambda_i-\lambda_j)\\\\ &&\quad(\Pi_i^{n}\lambda_i=\lambda_1 \cdot \lambda_2\cdot \cdots \cdot \lambda_n) \end{eqnarray*}$

1. 証明
2. 登場場面
3. まとめ

1. 証明

　方針：帰納法を用いる。

【証明】

(i) $n=2$ のとき

$\begin{eqnarray*} \left| \begin{array}{cc} 1&1\\ \lambda_1&\lambda_2 \end{array} \right|=\lambda_2 -\lambda_1 \end{eqnarray*}$

より(*)は成り立つ。

(ii) $n=k-1$ のとき(*)が成り立つと仮定する。

$\begin{eqnarray*} \left|\begin{array}{cccc} 1 &1 &\cdots&1\\\\ \lambda_1 &\lambda_2 &\cdots&\lambda_{k-1}\\\\ \vdots &\vdots& \ddots & \vdots \\\\ \lambda_1^{k-2} &\lambda_2^{k-2} &\cdots&\lambda_{k-1}^{k-2} \end{array}\right| &=& \Pi_{1 \leq i < j \leq k-1} (\lambda_j-\lambda_i)\quad\cdots\quad(*)' \end{eqnarray*}$

このとき、 $n=k$ に対して(*)の左辺(LHS; left-hand side)は

$\begin{eqnarray*} \left|\begin{array}{ccccc} 1 &1 &\cdots&1&1\\\\ \lambda_1 &\lambda_2 &\cdots&\lambda_{k-1}&\lambda_{k}\\\\ \vdots &\vdots& \ddots & \vdots &\vdots \\\\ \lambda_1^{k-2} &\lambda_2^{k-2} &\cdots&\lambda_{k-1}^{k-2}&\lambda_{k}^{k-2}\\\\ \lambda_1^{k-1} &\lambda_2^{k-1} &\cdots&\lambda_{k-1}^{k-1}&\lambda_{k}^{k-1} \end{array}\right| \end{eqnarray*}$

である。

　ここで以下の操作をおこなう。

証明のポイント

（n行目）- $\textcolor{blue}{\lambda_1}$ ×（n-1行目）
（n-1行目）- $\textcolor{blue}{\lambda_1}$ ×（n-2行目）
・・・
（2行目）- $\textcolor{blue}{\lambda_1}$ ×（1行目）

この操作により、

$\begin{eqnarray*}({\rm LHS})&=&\left|\begin{array}{ccccc} 1 &1 &\cdots&1&1\\\\ 0&\lambda_2 -\textcolor{blue}{\lambda_1} &\cdots&\lambda_{k-1}-\textcolor{blue}{\lambda_1} &\lambda_{k}-\textcolor{blue}{\lambda_1}\\\\ \vdots &\vdots& \ddots & \vdots &\vdots \\\\ 0&\lambda_2^{k-2}-\textcolor{blue}{\lambda_1}\lambda_2^{k-1} &\cdots&\lambda_{k-1}^{k-2}-\textcolor{blue}{\lambda_1}\lambda_{k-1}^{k-3} &\lambda_{k}^{k-2}-\textcolor{blue}{\lambda_1}\lambda_k^{k-1}\\\\ 0&\lambda_2^{k-1}-\textcolor{blue}{\lambda_1}\lambda_2^{k-2} &\cdots&\lambda_{k-1}^{k-1}-\textcolor{blue}{\lambda_1}\lambda_{k-1}^{k-2} &\lambda_{k}^{k-1}-\textcolor{blue}{\lambda_1}\lambda_{k}^{k-2} \end{array}\right| \\\\\\ &=& \left|\begin{array}{ccccc} \textcolor{red}{1} &1 &\cdots&1&1\\\\ 0&(\lambda_2 -\textcolor{blue}{\lambda_1}) &\cdots&(\lambda_{k-1}-\textcolor{blue}{\lambda_1}) &(\lambda_{k}-\textcolor{blue}{\lambda_1})\\\\ \vdots &\vdots& \ddots & \vdots &\vdots \\\\ 0&(\lambda_2-\textcolor{blue}{\lambda_1})\lambda_2^{k-1} &\cdots&(\lambda_{k-1}-\textcolor{blue}{\lambda_1})\lambda_{k-1}^{k-3} &(\lambda_{k}-\textcolor{blue}{\lambda_1})\lambda_k^{k-1}\\\\ 0&(\lambda_2-\textcolor{blue}{\lambda_1})\lambda_2^{k-2} &\cdots&(\lambda_{k-1}-\textcolor{blue}{\lambda_1})\lambda_{k-1}^{k-2} &(\lambda_{k}-\textcolor{blue}{\lambda_1})\lambda_{k}^{k-2} \end{array}\right|\\\\\\ &=& \textcolor{red}{1}\cdot\left|\begin{array}{ccccc} (\lambda_2 -\textcolor{blue}{\lambda_1}) &\cdots&(\lambda_{k-1}-\textcolor{blue}{\lambda_1}) &(\lambda_{k}-\textcolor{blue}{\lambda_1})\\\\ \vdots& \ddots & \vdots &\vdots \\\\ (\lambda_2-\textcolor{blue}{\lambda_1})\lambda_2^{k-1} &\cdots&(\lambda_{k-1}-\textcolor{blue}{\lambda_1})\lambda_{k-1}^{k-3} &(\lambda_{k}-\textcolor{blue}{\lambda_1})\lambda_k^{k-1}\\\\ (\lambda_2-\textcolor{blue}{\lambda_1})\lambda_2^{k-2} &\cdots&(\lambda_{k-1}-\textcolor{blue}{\lambda_1})\lambda_{k-1}^{k-2} &(\lambda_{k}-\textcolor{blue}{\lambda_1})\lambda_{k}^{k-2} \end{array}\right|\\\\\\ \end{eqnarray*}$

より、

$\begin{eqnarray*} ({\rm LHS})&=&(\lambda_2-\textcolor{blue}{\lambda_1})\cdot\cdots\cdot (\lambda_{k-1}-\textcolor{blue}{\lambda_1})\cdot (\lambda_k-\textcolor{blue}{\lambda_1})\, \left|\begin{array}{cccc} 1&\cdots&1&1\\\\ \vdots& \ddots & \vdots &\vdots \\\\ \lambda_2^{k-1} &\cdots&\lambda_{k-1}^{k-3} &\lambda_k^{k-1}\\\\ \lambda_2^{k-2} &\cdots&\lambda_{k-1}^{k-2} &\lambda_{k}^{k-2} \end{array}\right| \\\\\\ &=&\Pi_{\textcolor{red}{1} \leq i < j \leq k} (\lambda_j-\lambda_i) \quad\blacksquare \end{eqnarray*}$

　 $\lambda_j -\lambda_i$ は $1\leq i < j\leq k$ の $_{k}C_2=\frac{k(k-1)}{2}$ 個ある。また、 $\lambda_j-\lambda_i \rightarrow \lambda_i-\lambda_j$ と入れ替えるごとに $(-1)$ の因子がつく。

　したがって最後の行で $\lambda_i -\lambda_j$ と書き換えると、

$\begin{eqnarray*} \Pi_{\textcolor{red}{1} \leq i < j \leq k} (\lambda_j-\lambda_i) =(-1)^{\frac{k(k-1)}{2}}\Pi_{\textcolor{red}{1} \leq i < j \leq k} (\lambda_i-\lambda_j)\quad\blacksquare \end{eqnarray*}$