以下、実数 ,
次正方行列
とする。
と同じように、
としたとき
のようにベキ級数展開が定義できる。このとき、行列の積の定義から は
次正方行列になる。また、これに関連していくつかの重要な性質をまとめる。
* ここで は行列なので、
とせずに大文字の
を使っている。
目次
関数の展開
一般に関数 は
のように多項式でベキ級数展開できる。このことはテイラー展開(マクローリン展開)と同じである。
正方行列Aの関数
上の と同じように
についてもベキ級数が定義できる。
F(P^-1 A P)
逆行列の定義できる 次正則行列
を用いて
![Rendered by QuickLaTeX.com F(A)](https://batapara.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5aecb826c821fc57e7085da05a99a977_l3.png)
ここで、
![Rendered by QuickLaTeX.com P^{-1}P=I](https://batapara.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8f2a9f7039335aae3129f1e72a1947ef_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \nu](https://batapara.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c0896d0ceb88366e513212a04fc69fe1_l3.png)
となる。したがって、
exp(A) (指数関数形)
指数関数の展開
より、
![Rendered by QuickLaTeX.com x\to A](https://batapara.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6259426eb24e60be29b9ca3926b7b54a_l3.png)
exp(A+B) (AB=BAのとき)
(
の行列が交換する)とき
左辺は
また、右辺は
![Rendered by QuickLaTeX.com \nu_1=\mu,\nu_2=\nu-\mu](https://batapara.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a7dac870e9d76d30439d36447041617e_l3.png)
より、
exp(A) exp(A^-1)
![Rendered by QuickLaTeX.com {\bf 1}](https://batapara.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b8bafa2d1de2213f8cfe8db743cb7495_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com A](https://batapara.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d9935b9baebc03834bc94f491d79d155_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com n](https://batapara.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4d83b4cd24338a737e664fe0466854c1_l3.png)
証明:上の式で、 とすればよい。
F(A)のエルミート随伴: [F(A)]^†
![Rendered by QuickLaTeX.com A^\dagger](https://batapara.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f28bc55f61caad7bc11819e0b623cef6_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com A](https://batapara.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d9935b9baebc03834bc94f491d79d155_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com A^\dagger=(A^*)^T=(A^T)^*](https://batapara.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bcf9d868d55b84628c0ef75f40b63180_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com f^*(A)](https://batapara.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b1140a633f03dd946287b8ce2ce567c5_l3.png)
*
![Rendered by QuickLaTeX.com a_\nu](https://batapara.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-09af80aff974533c701b784cebfbed5e_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com a_\nu^\dagger=a_\nu^*](https://batapara.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-645b8610d338df100c08f31681c039eb_l3.png)
導関数: F(xA)の微分
がベキ級数で表すことができるとき
のとき、
対角行列D
次正方行列
の非対角要素が
のときを考える。対角行列であることをわかりやすくするため、
を
(Diagonal matrix)とする。このとき、
成分を
とする。
対角行列を と表すこともある。
F(D)=diag(f(dii))
対角行列 について、
は対角的で対角成分は
となる。
![Rendered by QuickLaTeX.com F(D)](https://batapara.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6bb707f716cac9b1192362b87a1256ec_l3.png)
ここで、
より、行列の対角成分について
これより、
Aを対角化して使う
の固有値を
、固有ベクトルを
(
次)とする。このとき、
次正則行列
によって を対角化することができる。これを
と書く()。このとき、上に示したいくつかの関係式を使って
などが成り立つ。たとえば、 について
など。