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【正方行列】正方行列Aと関数 F(A)（べき級数、exp(A) ）

　以下、実数 x, n 次正方行列 A とする。f(x) と同じように、F(A) としたとき

    \begin{eqnarray*} F(A)=\sum_{\nu=0}^\infty a_\nu A^\nu \end{eqnarray*}

のようにベキ級数展開が定義できる。このとき、行列の積の定義から F(A) は n 次正方行列になる。また、これに関連していくつかの重要な性質をまとめる。

* ここで F(A) は行列なので、f(A) とせずに大文字の F を使っている。


関数の展開

一般に関数 f(x) は

    \begin{eqnarray*} f(x)=\sum_{\nu=0}^\infty a_\nu x^\nu \end{eqnarray*}

のように多項式でベキ級数展開できる。このことはテイラー展開（マクローリン展開）と同じである。


正方行列Aの関数

上の f(x) と同じように F(A) についてもベキ級数が定義できる。

ポイント


    \begin{eqnarray*} F(A)=\sum_{\nu=0}^\infty a_\nu A^\nu \end{eqnarray*}



F(P^-1 A P)

ポイント

逆行列の定義できる n 次正則行列 P を用いて

    \begin{eqnarray*} F(P^{-1}AP)=P^{-1}F(A)P \end{eqnarray*}




F(A) の展開式から

    \begin{eqnarray*} F(P^{-1}AP)&=&\sum_{\nu=0}^\infty a_\nu\textcolor{blue}{(P^{-1}AP)^\nu} \end{eqnarray*}



ここで、P^{-1}P=I (単位行列) を用いて \nu 乗の項を展開すると

    \begin{eqnarray*} \textcolor{blue}{(P^{-1}AP)^\nu}&=&P^{-1}A\cancel{P\cdot P^{-1}}A\cancel{P\cdot P^{-1}}A\cancel{P} \cdots \cdot \cancel{P^{-1}}AP\\ &=&P^{-1}\textcolor{red}{A^\nu}P \end{eqnarray*}



となる。したがって、

    \begin{eqnarray*} F(P^{-1}AP)&=&\sum_{\nu=0}^\infty a_\nu P^{-1}A^\nu P\\ &=&P^{-1}\textcolor{blue}{\sum_{\nu=0}^\infty a_\nu A^\nu }P\\ &=&P^{-1}\textcolor{blue}{F(A)}P\quad\blacksquare \end{eqnarray*}




exp(A) 　(指数関数形)

ポイント


    \begin{eqnarray*} e^{A}=\sum_{\nu=0}^\infty \frac{1}{\nu!}A^\nu \end{eqnarray*}




指数関数の展開

    \begin{eqnarray*} f(x)=\sum_{\nu=0}^\infty \frac{1}{\nu!}x^\nu \end{eqnarray*}


より、x\to A とすればよい。

exp(A+B)　(AB=BAのとき)

ポイント

AB=BA （A,B の行列が交換する）とき

    \begin{eqnarray*} e^{A+B}=e^A e^B \end{eqnarray*}




左辺は

    \begin{eqnarray*} e^{A+B}&=&\sum_{\nu=0}^\infty \frac{1}{\nu!}(A+B)^\nu\\ &=&\sum_{\nu=0}^\infty \frac{1}{\nu!} \sum_{\mu=0}^\nu\textcolor{blue}{{}_\nu C_\mu} A^\mu B^{\nu-\mu}\quad(\because \,AB=BA)\\ &=&\sum_{\nu=0}^\infty \sum_{\mu=0}^\nu\frac{1}{\cancel{\nu!}} \textcolor{blue}{\frac{\cancel{\nu!}}{\mu!(\nu-\mu)!}} A^\mu B^{\nu-\mu}\\ &=&\sum_{\nu=0}^\infty \sum_{\mu=0}^\nu\frac{1}{\mu!}A^\mu \, \frac{1}{(\nu-\mu)!}B^{\nu-\mu} \end{eqnarray*}



また、右辺は

    \begin{eqnarray*} e^A e^B&=&\sum_{\nu_1=0}^\infty\sum_{\nu_2=0}^\infty \frac{1}{\nu_1 !} A^{\nu_1}\frac{1}{\nu_2 !}B^{\nu_2} \end{eqnarray*}



\nu_1=\mu,\nu_2=\nu-\mu とおいて

    \begin{eqnarray*} e^A e^B &=&\sum_{\mu=0}^\infty\sum_{(\nu-\mu)=0}^\infty \frac{1}{\mu !} A^{\mu}\frac{1}{(\nu-\mu) !}B^{\nu-\mu}\\ &=& \sum_{\mu=0}^\infty\sum_{\mu=0}^\nu \frac{1}{\mu !} A^{\mu}\frac{1}{(\nu-\mu) !}B^{\nu-\mu} \end{eqnarray*}



より、

    \begin{eqnarray*} e^{A+B}=e^A e^B \quad \blacksquare \end{eqnarray*}




exp(A) exp(A^-1)

ポイント


    \begin{eqnarray*} e^{A}e^{-A}={\bf 1} \end{eqnarray*}


{\bf 1} は A と同じ n 次の単位行列


証明：上の式で、B=-A とすればよい。


F(A)のエルミート随伴: [F(A)]^†

ポイント


    \begin{eqnarray*} f^*(A^\dagger)=\left[F(A)\right]^\dagger \end{eqnarray*}


A^\dagger は A のエルミート随伴行列（A^\dagger=(A^*)^T=(A^T)^*）で、f^*(A) は

    \begin{eqnarray*} f^*(x)=\sum_{\nu=0}^\infty a_\nu^* x^\nu \end{eqnarray*}




    \begin{eqnarray*} f^*(A^\dagger)&=&\sum_{\nu=0}^\infty a_\nu^* \left(A^\dagger\right)^\nu\\ &=&\sum_{\nu=0}^\infty \left(a_\nu A\right)^\dagger\\ &=& \left[F(A) \right]^\dagger\quad\blacksquare \end{eqnarray*}



* a_\nu は行列ではなく単なる複素数なので、a_\nu^\dagger=a_\nu^* である。

導関数： F(xA)の微分

ポイント

f'(x) がベキ級数で表すことができるとき

    \begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}F(xA)=AF'(xA)=F'(xA)A \end{eqnarray*}





    \begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{d}{dx}\sum_{\nu=0}^\infty a_\nu x^\nu = \sum_{\nu=1}^\infty \nu a_\nu x ^{\nu-1} \end{eqnarray*}



のとき、

    \begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}F(xA)&=&\frac{d}{dx}\sum_{\nu=0}^\infty a_\nu (xA)^\nu\\ &=&\frac{d}{dx}\sum_{\nu=0}^\infty a_\nu x^\nu A^\nu\\ &=& \sum_{\nu=1}^\infty \nu a_\nu x ^{\nu-1} A^\nu\\ &=& \begin{cases} A\left(\sum_{\nu=1}^\infty \nu a_\nu x ^{\nu-1} A^{\nu-1}\right)\\\\ \left(\sum_{\nu=1}^\infty \nu a_\nu x ^{\nu-1} A^{\nu-1}\right)A \end{cases}\\ &=& \begin{cases} AF'(xA)\\ F'(xA)A \end{cases}\quad \blacksquare \end{eqnarray*}




対角行列D

n次正方行列 A の非対角要素が 0 のときを考える。対角行列であることをわかりやすくするため、 A を D (Diagonal matrix)とする。このとき、(i,i) 成分を d_{ii}\, (i=1,2,\cdots,n) とする。

    \begin{eqnarray*} D\equiv \left( \begin{array}{c c c c c} d_{11}&0&\cdots &0\\ 0&d_{22}&\cdots&0\\ \vdots & & \ddots &\vdots\\ 0& 0&\cdots & d_{nn} \end{array} \right) ={\rm diag}(d_{ii}) \end{eqnarray*}

対角行列を {\rm diag}(d_{ii}) と表すこともある。


F(D)=diag(f(dii))

ポイント

対角行列 D について、F(D) は対角的で対角成分は f(d_{ii}) となる。

    \begin{eqnarray*} F(D)={\rm diag}(f(d_{ii}))= \left( \begin{array}{c c c c c} f(d_{11})&0&\cdots &0\\ 0&f(d_{22})&\cdots&0\\ \vdots & & \ddots &\vdots\\ 0& 0&\cdots & f(d_{nn}) \end{array} \right) \end{eqnarray*}





F(D) の展開式から

    \begin{eqnarray*} F(D)&=&\sum_{\nu=0}^\infty a_\nu \textcolor{blue}{D^\nu} \end{eqnarray*}


ここで、

    \begin{eqnarray*} D^\nu = \left( \begin{array}{c c c c c} d_{11}^{\textcolor{red}{\nu}}&0&\cdots &0\\ 0&d_{22}^{\textcolor{red}{\nu}}&\cdots&0\\ \vdots & & \ddots &\vdots\\ 0& 0&\cdots & d_{nn}^{\textcolor{red}{\nu}} \end{array} \right) ={\rm diag}(d_{ii}^{\textcolor{red}{\nu}}) \end{eqnarray*}


より、行列の対角成分について

    \begin{eqnarray*} \left[\sum_{\nu=0}^\infty a_\nu D^\nu \right]_{ii}&=& \sum_{\nu=0}^\infty a_\nu d_{ii}^\nu=f(d_{ii}) \end{eqnarray*}


これより、

    \begin{eqnarray*} F(D)={\rm diag}(d_{ii})\quad\blacksquare \end{eqnarray*}



Aを対角化して使う

A の固有値を \lambda_i、固有ベクトルを {\bf u}_i (n 次)とする。このとき、n 次正則行列

    \begin{eqnarray*} P\equiv \left( \begin{array}{c c c c } {\bf u}_1 & {\bf u}_2 & \cdots &{\bf u}_n \end{array} \right) \end{eqnarray*}

によって A を対角化することができる。これを

    \begin{eqnarray*} D={\rm diag}(\lambda_i)=P^{-1}AP \end{eqnarray*}

と書く(d_{ii}=\lambda_i)。このとき、上に示したいくつかの関係式を使って

    \begin{eqnarray*} F(D)={\rm diag}(f(\lambda_i))=F(P^{-1}AP)=P^{-1}F(A)P \end{eqnarray*}

などが成り立つ。たとえば、f(x)=e^x について

    \begin{eqnarray*} e^D = \left( \begin{array}{c c c c c} e^{\lambda_1}&0&\cdots &0\\ 0&e^{\lambda_2}&\cdots&0\\ \vdots & & \ddots &\vdots\\ 0& 0&\cdots & e^{\lambda_n} \end{array} \right)=P^{-1}e^AP \end{eqnarray*}

など。



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