以下、実数 ,
次正方行列
とする。
と同じように、
としたとき
のようにベキ級数展開が定義できる。このとき、行列の積の定義から は
次正方行列になる。また、これに関連していくつかの重要な性質をまとめる。
* ここで は行列なので、
とせずに大文字の
を使っている。
目次
関数の展開
一般に関数 は
のように多項式でベキ級数展開できる。このことはテイラー展開(マクローリン展開)と同じである。
正方行列Aの関数
上の と同じように
についてもベキ級数が定義できる。
F(P^-1 A P)
逆行列の定義できる 次正則行列
を用いて

ここで、


となる。したがって、
exp(A) (指数関数形)
指数関数の展開
より、

exp(A+B) (AB=BAのとき)
(
の行列が交換する)とき
左辺は
また、右辺は

より、
exp(A) exp(A^-1)



証明:上の式で、 とすればよい。
F(A)のエルミート随伴: [F(A)]^†




*


導関数: F(xA)の微分
がベキ級数で表すことができるとき
のとき、
対角行列D
次正方行列
の非対角要素が
のときを考える。対角行列であることをわかりやすくするため、
を
(Diagonal matrix)とする。このとき、
成分を
とする。
対角行列を と表すこともある。
F(D)=diag(f(dii))
対角行列 について、
は対角的で対角成分は
となる。

ここで、
より、行列の対角成分について
これより、
Aを対角化して使う
の固有値を
、固有ベクトルを
(
次)とする。このとき、
次正則行列
によって を対角化することができる。これを
と書く()。このとき、上に示したいくつかの関係式を使って
などが成り立つ。たとえば、 について
など。