微分方程式 x'=x-t の初期値問題のラプラス変換による解法

簡単な以下の微分方程式をラプラス変換を用いて解く。

$\begin{eqnarray*} \frac{dx(t)}{dt}&=&x(t)-t\\\\ x(0)&=&1 \end{eqnarray*}$

【解答】

$x(t)$ をラプラス変換した $X(s)$ を定義する。

$\begin{eqnarray*} X(s)\equiv \int_0^{\infty} x(t)e^{-st}\, dt \end{eqnarray*}$

与えられた微分方程式の両辺をラプラス変換する。 $t$ 世界 $\to$ $s$ 世界。

$\begin{eqnarray*} {\mathcal L}\left[\frac{dx(t)}{dt}\right](s)&=& {\mathcal L}\left[x(t)\right](s)-{\mathcal L}\left[t\right](s)\\\\ sX(s)-x(0)&=&X(s)-\frac{1}{s^2}\\\\ (s-1)X(s)&=&1-\frac{1}{s^2}\\\\ \therefore \quad X(s)&=&\frac{s^2-1}{s^2}\cdot\frac{1}{s-1}\\\\ &=& \frac{s+1}{s^2}\\\\ &=& \frac{s}{s^2}+\frac{1}{s^2}\\\\ &=& \frac{1}{s}+\frac{1}{s^2} \end{eqnarray*}$

これをラプラス逆変換して、

$\begin{eqnarray*} x(t)=t+1\quad \blacksquare \end{eqnarray*}$

解答の過程で利用したもの

導関数 f'(x) のラプラス変換、 $t$ のラプラス変換、 $1$ のラプラス変換

$\begin{eqnarray*} {\mathcal L}[f'(t)](s)&=&s{\mathcal L}[f(t)](s)-f(0)\\\\ {\mathcal L}[t](s)&=&\frac{1}{s^2}\\\\ {\mathcal L}[1](s)&=&\frac{1}{s} \end{eqnarray*}$