運動方程式からラグランジュ方程式を導出

　ここでは、「最小作用の原理」によってラグランジュ方程式を導くことはしない。単に、「ニュートンの運動方程式 → ラグランジュ方程式」をおこなう。

　よく知られているように１個の質点に対して運動方程式は、

$\begin{eqnarray*} m\frac{d}{dt}{\bf x}=m\ddot{\bf x}={\bf F} \end{eqnarray*}$

である。座標系は、 ${\bf x}=(x,y,z)$ のようにデカルト座標系でとっている。

　質点が $N$ 個ある場合は、インデックス $k=1,2,3,...,N$ をつければよい。したがって運動方程式は $N$ 個ある。

$\begin{eqnarray*} m_k\ddot{\bf x}_k={\bf F}_k \end{eqnarray*}$

以下では運動エネルギーとポテンシャルを ${\bf x},\dot{\bf x}$ で表す。

運動エネルギー $T$ :

$\begin{eqnarray*} T=\sum_{k=1}^{N}\frac{1}{2}m_k \dot{\bf x}_k^2 \end{eqnarray*}$

ポテンシャル $U$ は ${\bf F}_k$ を保存力として以下のように与えられるとする。

$\begin{eqnarray*} {\bf F}_k=-\frac{\partial U({\bf x}_1,{\bf x}_2,...,{\bf x}_N)}{\partial {\bf x}_k} \end{eqnarray*}$

　この保存力とポテンシャルの関係がわかりにくい場合は、重力 $-mg$ と位置エネルギー $mgx$ の関係を思い出してほしい。

運動量 ${\bf p}_k$ の時間微分を運動エネルギー $T$ で表す。

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dt}{\bf p}_k &=&\frac{d}{dt}\left[\frac{\partial}{\partial \dot{\bf x}_k} \frac{1}{2}m_k \dot{bf x}_k^2 \right]\\\\ &=& \frac{d}{dt}\left[\frac{\partial}{\partial \dot{\bf x}_k} \sum_{j=1}^{N} \frac{1}{2}m_j \dot{\bf x}_j^2 \right] \\ &&(\because \frac{\partial}{\partial \dot{\bf x}_k} \dot{\bf x}_j^2=0 \quad {\rm if}\quad j\neq k)\\\\ &=& \frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{\bf x}_k} \quad \blacksquare \end{eqnarray*}$

　以上より、ニュートンの運動方程式に戻って、

$\begin{eqnarray*} \frac{d{\bf p}_k}{dt}=-{\bf F}_k= -\frac{\partial U({\bf x}_1,{\bf x}_2,...,{\bf x}_N)}{\partial {\bf x}_k} \end{eqnarray*}$

この左辺は運動エネルギー $T$ で表すことができた。

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{\bf x}_k}+\frac{\partial U({\bf x}_1,{\bf x}_2,...,{\bf x}_N)}{\partial {\bf x}_k}=0\quad \cdots (1) \end{eqnarray*}$

　便利な表記として、

$\begin{eqnarray*} \{{\bf r}_k\}&\equiv&\{ {\bf x}_1,{\bf x}_2,...,{\bf x}_N \}\\ \{\dot{\bf r}_k\}&\equiv&\{\dot{\bf x}_1,\dot{\bf x}_2,...,\dot{\bf x}_N\} \end{eqnarray*}$

を導入すると、

$\begin{eqnarray*} T&\rightarrow& T(\left\{ \dot{\bf r}_k\right\})\\ U&\rightarrow& U(\left\{ {\bf r}_k\right\}) \end{eqnarray*}$

これよりラグランジアンを定義する。ラグランジアン $L$ を

$\begin{eqnarray*} L\equiv L(\{{\bf r}_k\},\{\dot{\bf r}_k\})= \textcolor{red}{T(\left\{ \dot{\bf r}_k\right\})-U(\left\{ {\bf r}_k\right\})} \end{eqnarray*}$