f(x)=x^4 [-π:π]のフーリエ級数展開／フーリエ係数

　 $x$ の４乗のフーリエ級数を求める。

例題

$[-\pi:\pi]$ で周期的な以下の関数 $f(x)$ をフーリエ級数に展開せよ。

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^4\quad(-\pi \leq x < \pi) \end{eqnarray*}$

f(x)のグラフ
【解答】
フーリエ級数で表したグラフ
まとめ

f(x)のグラフ

$f(x)$ のグラフは下のように周期的な $x^4$ のグラフになる。

　この関数は $[-\pi:\pi]$ で偶関数である。

【解答】

　周期関数 $f(x)=x^4$ をフーリエ級数展開する。すなわち周期 $2\pi$ の様々な三角関数で展開する。

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^4 = \frac{a_0}{2}+\sum_{m=1}^\infty a_m \cos mx + \cancel{b_m\sin mx} \end{eqnarray*}$

　 $f(x)$ が偶関数であるため、奇関数である $\sin$ のフーリエ係数について $\textcolor{red}{b_m=0}$ である。

$a_m\quad(m=1,2,3,...)$ について：

$x^4=\cdots$ の両辺に $\cos nx$ をかけて、 $[-\pi:\pi]$ で積分する。

$\begin{eqnarray*} \int_{-\pi}^{\pi}x^4\,\cos nx \, dx&=& \int_{-\pi}^{\pi}\frac{a_0}{2}\cos nx \, dx +\sum_{m=1}^\infty a_m \textcolor{red}{\int_{-\pi}^{\pi} \cos mx \cos nx \, dx} \end{eqnarray*}$

参考：三角関数の直交性から、 $\cos mx \cos nx$ の積分は $n=m$ のとき $\pi$ で、 $m\neq n$ のとき $0$ になる。したがって、

$\begin{eqnarray*} &&\int_{-\pi}^{\pi}x^4\,\cos nx \, dx = \pi a_n\\\\ \Leftirightarrow\quad && a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^4\,\cos nx \, dx \end{eqnarray*}$

以下積分計算（部分積分４回）：

$\begin{eqnarray*} a_n&=&\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^4\,\cos nx \, dx\\\\ &=&\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^4\,\left(\frac{1}{n}\sin nx\right)'\, dx\\\\ &=&\frac{1}{n\pi}\left[x^4 \sin nx\right]_{-\pi}^{\pi} -\frac{4}{n\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^3 \,\sin nx \, dx\\\\ &=& 0-\frac{4}{n\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x^3\,\left(-\frac{1}{n}\cos nx\right)'\, dx\\\\ &=& \frac{4}{n^2 \pi}\left\{\left[x^3 \cos nx\right]_{-\pi}^{\pi} -3\int_{-\pi}^{\pi} x^2 \,\cos nx \, dx \right\}\\\\ &=& \frac{4}{n^2 \pi}\left[\pi^3 \cos n\pi -(-\pi)^3 \cos(-n\pi)\right]\\\\ &&\quad-\frac{12}{n^2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x^2\,\left(\frac{1}{n}\sin nx\right)'\, dx\\\\ &=& \frac{4}{n^2 \pi}\cdot 2\pi^3 (-1)^n\\\\ &&\quad - \frac{12}{n^3 \pi}\left\{ \left[x^2 \sin nx\right]_{-\pi}^{\pi}- 2\int_{-\pi}^{\pi}x\,\sin nx \, dx \right\}\\\\ &=&\frac{8\pi^2(-1)^n}{n^2}\\\\ && -\frac{12}{n^3 \pi}\left\{0- 2\left[\frac{\sin nx}{n^2}-\frac{x\cos nx}{n}\right]_{-\pi}^{-\pi} \right\}\\\\ &=&\frac{8\pi^2(-1)^n}{n^2} -\frac{24}{n^3 \pi}\left(\frac{\pi}{n}\cos n\pi +\frac{\pi}{n}\cos n\pi\right)\\\\ &=&\frac{8\pi^2(-1)^n}{n^2}-\frac{48}{n^4}\,(-1)^n\\\\ &=& \textcolor{red}{\frac{8\pi^2(-1)^n}{n^2}\left\{1-\frac{6}{\pi^2 n^2}\right\}} \quad\blacksquare \end{eqnarray*}$

この計算にはフーリエ級数でよく使う下の関係を利用した。

$a_0$ について：

$f(x)=x^2$ のフーリエ級数の式に $1=\cos 0$ をかけて $[-\pi:\pi]$ で積分する。

$\begin{eqnarray*} \int_{-\pi}^{\pi} x^4 \cdot 1\, dx&=&\frac{a_0}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\,1\,dx=\pi a_0\\\\\\ \therefore\quad a_0&=&\textcolor{red}{\frac{2\pi^4}{5}}\quad\blacksquare \end{eqnarray*}$

以上より、 $f(x)=x^4$ をフーリエ級数に展開できる。

$\begin{eqnarray*} x^4=\textcolor{red}{\frac{\pi^4}{5}+8\pi^2\sum_{m=1}^{\infty} \frac{(-1)^m}{m^2}\left(1-\frac{6}{\pi^2 m^2}\right)\cos mx} \quad\blacksquare \end{eqnarray*}$

フーリエ級数で表したグラフ

　おまけ：フーリエ級数の和の部分を $\infty$ でなく有限の $\textcolor{blue}{N}$ で打ち切る。

$\begin{eqnarray*} x^4=\frac{\pi^4}{5}+8\pi^2\sum_{m=1}^{\textcolor{blue}{N}} \frac{(-1)^m}{m^2}\left(1-\frac{6}{\pi^2 m^2}\right)\cos mx \quad\blacksquare \end{eqnarray*}$

　 $\textcolor{blue}{N}=3,5,10,1000$ で打ち切ったものと、もともとの $f(x)=x^4$ を下に示す。

まとめ

　 $x^4$ のフーリエ係数を4回の部分積分で求めてきた。

f(x)のグラフ

【解答】

フーリエ級数で表したグラフ

まとめ

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