f(x)=sin^2 (x) [0:π]のフーリエ正弦級数・余弦級数

関数を余弦（cos）と正弦（sin）に展開する問題である。

例題

$[0:\pi]$ で周期的な以下の関数 $f(x)$ をフーリエ余弦級数とフーリエ正弦級数に展開せよ。

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sin^2 x\quad(0 \leq x < \pi) \end{eqnarray*}$

1. 方針
- 余弦級数／正弦級数
- フーリエ級数展開／フーリエ係数
2. 解答
- 1. フーリエ余弦級数に展開
- 2. フーリエ正弦級数に展開
3. まとめ

1. 方針

余弦級数／正弦級数

$f(x)$ のグラフは下図(a)のように周期的な $\sin^2 x$ のグラフになる。

フーリエ正弦級数・余弦級数の問題は以下のように考える。

正弦級数：図(b) のように奇関数になるように折り返し
余弦級数：図(c) のように偶関数になるように折り返し

を考えれば良い。

フーリエ級数展開／フーリエ係数

フーリエ級数で基本的に使うのは三角関数の直交性である。

三角関数の直交性

$\begin{eqnarray*} &&\int_{-\pi}^{\pi} \sin mx \cos nx \,dx=0 \\\\ &&\int_{-\pi}^{\pi} \sin mx \sin nx \, dx= \begin{cases} \pi \quad({\rm if} \quad n=m)\\ 0 \quad({\rm if} \quad n\neq m) \end{cases}\\\\ &&\int_{-\pi}^{\pi} \cos mx \cos nx \, dx= \begin{cases} \pi \quad({\rm if} \quad n=m)\\ 0 \quad({\rm if} \quad n\neq m) \end{cases} \end{eqnarray*}$

参考：三角関数の直交性

2. 解答

1. フーリエ余弦級数に展開

区間を $[0:\pi]$ から $[-\pi:\pi]$ にしてやる。

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sin^2 x\quad(-\pi < x \leq \pi) \end{eqnarray*}$

ここで、

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sin^2 x&=&\frac{1-\cos 2x}{2}\\\\ &=& \frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos 2x\quad\blacksquare \end{eqnarray*}$

となる。具体的なフーリエ係数は

$\begin{eqnarray*} a_0=\frac{1}{2},\;a_1=0,\; a_2=\frac{1}{2},\;a_n=0\quad(n=3,4,5,...) \end{eqnarray*}$

※この例題の $f(x)$ のように特殊な場合は、フーリエ係数を求めるための積分計算は不要である。もちろん、積分計算をしても同様の結果を得る。

2. フーリエ正弦級数に展開

　上の図(b) のように、奇関数になるように折り返すと、

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} \sin^2 x\quad(0\leq x\leq \pi)\\\\ -\sin^2 x\quad(-\pi< x\leq 0) \end{cases} \end{eqnarray*}$

である。これをフーリエ級数展開すればよい。

$\begin{eqnarray*} f(x)=\cancel{\frac{a_0}{2}}+\sum_{m=1}^\infty \cancel{a_m \cos mx} +b_m \sin mx \end{eqnarray*}$

$f(x)$ が奇関数であるため、奇関数の $\sin$ のみで展開できる（正弦級数）。両辺に $\sin nx$ をかけて、 $[-\pi:\pi]$ で積分する。

$\begin{eqnarray*} &&\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin nx\, dx= b_m\sum_{m=1}^\infty \int_{-\pi}^{\pi}\sin mx\sin nx\, dx=\pi b_n\\\\ \Leftrightarrow&& b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin nx\, dx \end{eqnarray*}$

$f(x)\sin nx$ は偶関数である。したがって、

$\begin{eqnarray*} b_n&=& \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} \sin^2 x \sin nx\, dx\\\\ &=& \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} \frac{1-\cos 2x}{2}\cdot \sin nx\, dx\\\\ &=& \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \sin nx\, dx -\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \cos 2x\, \sin nx\, dx\\\\ &=& \frac{1}{\pi}\left[-\frac{1}{n}\,\cos nx\right]_{0}^{\pi}\\ &&\quad - \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \frac{1}{2}\left(\sin (n+2)x +\sin(n-2)x \right) \, dx\\\\ &=& \frac{1}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]\\ &&\quad - \frac{1}{2\pi}\left[-\frac{1}{n+2}\cos(n+2)x -\frac{1}{n-2}\cos(n-2)x\right]_{0}^{\pi}\quad(n\neq 2)\\\\ &=& \frac{1}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]\\ &&\quad -\frac{1}{2\pi(n+2)}\left[1-(-1)^n\right] -\frac{1}{2\pi(n-2)}\left[1-(-1)^n\right]\\\\ &=& \frac{1}{2\pi}\left(\frac{2}{n}-\frac{2}{n+2}-\frac{2}{n-2}\right)\left(1-(-1)^n\right)\\\\ &=& \frac{-4}{n(n-2)(n+2)}\,\left(1-(-1)^n\right)\\\\ &=& \begin{cases} \frac{-8}{n(n-2)(n+2)}\quad(n:\;{\rm odd})\\\\ 0\quad(n:\;{\rm even},n\neq 2) \end{cases} \end{eqnarray*}$

また、 $n=2$ のとき：

$\begin{eqnarray*} b_2&=& \frac{1}{n\pi}\left[1-(-1)^n\right]-\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \frac{1}{2}\left(\sin (n+2)x +\cancel{\sin(n-2)x} \right)\,\dx\\\\ &=& 0-\frac{1}{2\pi}\left[-\frac{1}{4}\,\cos 4x\right]_0^{\pi}\\\\ &=& 0 \end{eqnarray*}$

以上よりフーリエ係数は、

$\begin{eqnarray*} b_n=\begin{cases} \frac{-8}{n(n-2)(n+2)}\quad(n:\;{\rm odd})\\\\ 0\quad(n:\;{\rm even}) \end{cases}\quad\blacksquare \end{eqnarray*}$

$f(x)=\sin^2 x$ のフーリエ余弦級数は、

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sin^2 x&=& \sum_{n=1,3,5,...}\frac{-8}{(n-2)n(n+2)}\,\sin nx\\\\ &=& \sum_{m=0}\frac{-8}{(2m-1)(2m+1)(2m+3)}\,\sin (2m+1)x\quad(n=2m+1)\\\\\\ &=& \frac{8}{3}\sin x-\frac{8}{1\cdot 3\cdot 5}\sin 3x -\frac{8}{3\cdot 5\cdot 9}\sin 5x \cdots \quad\blacksquare \end{eqnarray*}$

※ $(2m-1)(2m+1)(2m+3)$ は連続する３つの奇数。

3. まとめ

　フーリエ余弦級数・正弦級数の問題は範囲を広げて折り返せば良い。