f(x)=x^3 [-π:π]のフーリエ級数


例題

[-\pi:\pi] で周期的な以下の関数 f(x) をフーリエ級数に展開せよ。

    \begin{eqnarray*} f(x)=x^3\quad(-\pi \leq x < \pi) \end{eqnarray*}





1. 解答

f(x) のグラフは下のように周期的な x^3 のグラフになる。

 この関数は [-\pi:\pi]奇関数である。



フーリエ級数展開/フーリエ係数

フーリエ級数で基本的に使うのは三角関数の直交性である。

三角関数の直交性

    \begin{eqnarray*} &&\int_{-\pi}^{\pi} \sin mx \cos nx \,dx=0 \\\\ &&\int_{-\pi}^{\pi} \sin mx \sin nx \, dx= \begin{cases} \pi \quad({\rm if} \quad n=m)\\ 0 \quad({\rm if} \quad n\neq m) \end{cases}\\\\ &&\int_{-\pi}^{\pi} \cos mx \cos nx \, dx= \begin{cases} \pi \quad({\rm if} \quad n=m)\\ 0 \quad({\rm if} \quad n\neq m) \end{cases} \end{eqnarray*}



【解答】

周期関数 f(x)=x^3 をフーリエ級数展開する。すなわち、周期 2\pi の三角関数で展開する。

    \begin{eqnarray*} f(x)=x^3\simeq \cancel{\frac{a_0}{2}}+ \sum_{m=1}^\infty \cancel{a_m \cos mx} +b_m \sin mx \end{eqnarray*}

ここで、f(x)奇関数であるため、偶関数である \cos のフーリエ係数について \textcolor{red}{a_m=0} である。



b_m \,(m=1,2,3,...) について:

x^3 をフーリエ級数に展開した式に \cos nx をかけて、[-\pi:\pi] で積分する。

    \begin{eqnarray*} \int_{-\pi}^{\pi} x^3 \, dx= \sum_{m=1}^\infty +b_m \int_{-\pi}^{\pi}\sin mx \sin nx \, dx \end{eqnarray*}

ここで、三角関数の直交性

    \begin{eqnarray*} \int_{-\pi}^{\pi} \sin mx \sin nx \, dx= \begin{cases} \pi \quad({\rm if} \quad n=m)\\ 0 \quad({\rm if} \quad n\neq m) \end{cases} \end{eqnarray*}

より、

    \begin{eqnarray*} b_m&=&\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x^3 \, dx\\\\\\ &=& \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^3\left(\frac{-\cos nx}{n}\right)' \, dx\\\\\\ &=& \frac{1}{\pi}\left\{ \left[-\frac{x^3 \cos nx}{n}\right]_{-\pi}^{\pi} +\frac{3}{n}\int_{-\pi}^{\pi}x^2 \cos nx \,dx \right\}\\\\\\ &=& \frac{1}{\pi}\left\{ -\frac{\pi^3 \cos n\pi}{n}+\frac{(-\pi)^3 \cos (-n\pi)}{n} +\frac{3}{n}\int_{-\pi}^{\pi}x^2 \left(\frac{\sin nx}{n}\right)' \,dx \right\}\\\\\\ &=& \frac{2\pi^2(-1)^{n+1}}{n}+\frac{3}{\pi n}\left\{ \left[x^2\frac{\sin nx}{n}\right]_{-\pi}^{\pi} -\frac{2}{n} \int_{-\pi}^{\pi}x \sin nx \,dx \right\}\\\\\\ &=&\frac{2\pi^2(-1)^{n+1}}{n} -\frac{6}{\pi n^2}\left[ \frac{\sin nx}{n^2}-\frac{x\cos nx}{n} \right]_{-\pi}^{\pi}\\\\\\ &=& \frac{2\pi^2(-1)^{n+1}}{n}-\frac{12(-1)^{n+1}}{n^3}\\\\\\ &=& \frac{2\pi^2(-1)^{n+1}}{n}\left( 1-\frac{6}{\pi^2 n^2} \right)\quad\blacksquare \end{eqnarray*}



a_m=0\,(m=0,1,2,...) より x^3 をフーリエ級数展開できる。

    \begin{eqnarray*} f(x)&=&x^3\simeq \sum_{n=1}^\infty \frac{2\pi^2(-1)^{n+1}}{n}\left( 1-\frac{6}{\pi^2 n^2} \right)\sin nx\quad\blacksquare \end{eqnarray*}


フーリエ係数計算のときによく使う下の関係をおさえておくとよい。



2. まとめ

f(x) が3次関数にもなるとフーリエ係数を求める計算が大変になってくる。部分積分を丁寧に計算しておきたい。






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