f(x)=x^2 [-π:π]のフーリエ級数/無限級数和(ゼータ関数)


例題

[-\pi:\pi] で周期的な以下の関数 f(x) をフーリエ級数に展開せよ。

    \begin{eqnarray*} f(x)=x^2\quad(-\pi \leq x < \pi) \end{eqnarray*}


また、この結果を用いて以下の無限級数の和を求めよ。

    \begin{eqnarray*} &&(1)\; \sum_{m=0}\frac{1}{m^2}\\\\ &&(2)\; \sum_{m=0}\frac{1}{(2m-1)^2} \end{eqnarray*}

の値を求めよ。




1. 解答

f(x) のグラフは下のように周期的な x^2 のグラフになる。

 この関数は [-\pi:\pi]偶関数である。



フーリエ級数展開

フーリエ級数で基本的に使うのは三角関数の直交性である。

三角関数の直交性

    \begin{eqnarray*} &&\int_{-\pi}^{\pi} \sin mx \cos nx \,dx=0 \\\\ &&\int_{-\pi}^{\pi} \sin mx \sin nx \, dx= \begin{cases} \pi \quad({\rm if} \quad n=m)\\ 0 \quad({\rm if} \quad n\neq m) \end{cases}\\\\ &&\int_{-\pi}^{\pi} \cos mx \cos nx \, dx= \begin{cases} \pi \quad({\rm if} \quad n=m)\\ 0 \quad({\rm if} \quad n\neq m) \end{cases} \end{eqnarray*}



【解答】

周期関数 f(x)=x^2 をフーリエ級数展開する。すなわち、周期 2\pi の三角関数シリーズで展開する。

    \begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \simeq \frac{a_0}{2}+\sum_{m=1}^\infty a_m \cos mx + \cancel{b_m\sin mx} \end{eqnarray*}

f(x)偶関数であるため、奇関数である\sin のフーリエ係数 について \textcolor{red}{b_m=0} である。



a_m\quad(m=1,2,3,...) について:

x^2=\cdots の両辺に \cos nx をかけて、[-\pi:\pi] で積分する。

    \begin{eqnarray*} \int_{-\pi}^{\pi}x^2\,\cos nx \, dx&=& \int_{-\pi}^{\pi}\frac{a_0}{2}\cos nx \, dx +\sum_{m=1}^\infty a_m \textcolor{red}{\int_{-\pi}^{\pi} \cos mx \cos nx \, dx} \end{eqnarray*}

三角関数の直交性から、\cos mx \cos nx の積分は n=m のとき \pi で、m\neq n のとき 0 になる。したがって、

    \begin{eqnarray*} \int_{-\pi}^{\pi}x^2\,\cos nx \, dx = \pi a_n \end{eqnarray*}


左辺の積分:

    \begin{eqnarray*} \int_{-\pi}^{\pi}x^2\,\cos nx \, dx &=& \int_{-\pi}^{\pi} x^2 \left(\frac{\sin nx}{n}\right)'\,dx\\\\ &=& \cancel{\left[x^2 \cdot \frac{\sin nx}{n}\right]_{-\pi}^{\pi}} -\frac{2}{n}\int_{-\pi}^{\pi} x\sin nx \, dx\\\\ &=& -\frac{2}{n}\left[ \frac{\sin nx}{n^2}-\frac{x\cos nx}{n} \right]_{-\pi}^{\pi}\\\\ &=& \frac{2}{n^2}\left\{ \pi \cos n\pi -(-\pi)\cos(-n\pi) \right\}\\\\ &=& \frac{4\pi}{n^2}\textcolor{red}{\cos n\pi}\\\\ &=& \frac{4\pi(-1)^n}{n^2}\quad\blacksquare \end{eqnarray*}


この計算にはフーリエ級数でよく使う下の関係を利用した。

以上より、

    \begin{eqnarray*} a_n = \frac{4(-1)^n}{n^2}\quad(n=1,2,3,...) \end{eqnarray*}



a_0 について、f(x)=x^2 のフーリエ級数の式に 1=\cos 0 をかけて[-\pi:\pi] で積分する。

    \begin{eqnarray*} &&\int_{-\pi}^{\pi} x^2 \cdot 1\, dx=\frac{a_0}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\,dx\\\\ \Leftrightarrow&& \int_{-\pi}^{\pi} x^2 \, dx=\pi a_0\\\\ \Leftrightarrow&& a_0= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x^2 \, dx=\frac{2\pi^2}{3}\quad \blacksquare \end{eqnarray*}



以上より、f(x)=x^2 をフーリエ級数に展開できる。

    \begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \simeq \frac{\pi^2}{3}+\sum_{n=1}^\infty \frac{4(-1)^n}{n^2}\cos nx\quad \blacksquare \end{eqnarray*}




(1) の級数和

【解答】

    \begin{eqnarray*} (1)\; \sum_{m=0}\frac{1}{m^2}\\\\ \end{eqnarray*}

を求めるために、x^2 のフーリエ級数展開において、x=\pi (連続点)とおく。

    \begin{eqnarray*} &&f(\pi)=\pi^2 \simeq \frac{\pi^2}{3}+\sum_{n=1}^\infty \frac{4(-1)^n}{n^2}\cos (n\pi)\\\\ \Leftrightarrow&& \pi^2=\frac{\pi^2}{3}+\sum_{n=1}^\infty \frac{4(-1)^{2n}}{n^2}\\\\ \Leftrightarrow&& \frac{2\pi^2}{3}=4\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}\\\\ \Leftrightarrow&& \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}\quad\blacksquare \end{eqnarray*}


この結果はゼータ関数の1つとして知られている。

    \begin{eqnarray*} \zeta(2)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6} \end{eqnarray*}




(2) の級数和

【解答】

(1)の結果から、

    \begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(2n)^2}&=&\frac{1}{4}\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}\\\\ &=&\frac{1}{4}\,\frac{\pi^2}{6} &=&\frac{\pi^2}{24} \end{eqnarray*}

したがって、

    \begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(2n-1)^2}&=& \frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\cdots\\\\ &=&\frac{1}{1^2}+\textcolor{red}{\frac{1}{2^2}}+\frac{1}{3^2}+ \textcolor{red}{\frac{1}{4^2}}+\frac{1}{5^2}+\cdots\\\\ &&-\textcolor{red}{\frac{1}{2^2}}-\textcolor{red}{\frac{1}{4^2}}-\cdots\\\\ &=& \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}-\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(2n)^2}\\\\ &=& \frac{\pi^2}{6}-\frac{\pi^2}{24}\\\\ &=& \frac{\pi^2}{8}\quad\blacksquare \end{eqnarray*}



2. まとめ

 よくある問題なので押さえておきたい。無限級数を求めるのもよくある問題である。






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