f(x)=x [-π:π]のフーリエ級数展開/無限級数和(ライプニッツ級数)


例題

[-\pi:\pi] で周期的な以下の関数 f(x) をフーリエ級数に展開せよ。

    \begin{eqnarray*} f(x)=x\quad(-\pi \leq x < \pi) \end{eqnarray*}


また、この結果を用いて、

    \begin{eqnarray*} \sum_{m=0}\frac{(-1)^{m}}{2m+1} \end{eqnarray*}

の値を求めよ。


 この関数はジグザグである。かなり\sin nx に形が似ている。たとえば、\sin xf(x) を比較してみると下のようになる。



フーリエ級数で基本的に使うのは三角関数の直交性である。

三角関数の直交性

    \begin{eqnarray*} &&\int_{-\pi}^{\pi} \sin mx \cos nx \,dx=0 \\\\ &&\int_{-\pi}^{\pi} \sin mx \sin nx \, dx= \begin{cases} \pi \quad({\rm if} \quad n=m)\\ 0 \quad({\rm if} \quad n\neq m) \end{cases}\\\\ &&\int_{-\pi}^{\pi} \cos mx \cos nx \, dx= \begin{cases} \pi \quad({\rm if} \quad n=m)\\ 0 \quad({\rm if} \quad n\neq m) \end{cases} \end{eqnarray*}



【解答】

f(x)=x をフーリエ級数で展開する。

    \begin{eqnarray*} f(x)=x=\frac{a_0}{2}+\sum_{m=1}^{\infty} a_m \cos mx + b_m \sin mx  \end{eqnarray*}



奇関数のフーリエ級数展開:

ここで、f(x)=x は奇関数である。したがって、奇関数である \sin のシリーズで展開でき、偶関数の \cos のシリーズについては \textcolor{red}{a_m=0} となる。



b_m を求める:

両辺に \sin nx をかけて、[-\pi:\pi] で積分すると、

    \begin{eqnarray*} \int_{-\pi}^{\pi} x \sin nx\,dx&=&\frac{a_0}{2} \int_{-\pi}^{\pi}\sin nx\,dx\\\\ &+& \sum_{m=1}^{\infty} a_m  \textcolor{blue}{\int_{-\pi}^{\pi}\cos mx\sin nx\,dx} +b_m \textcolor{red}{\int_{-\pi}^{\pi} \sin mx \sin nx\,dx} \end{eqnarray*}


三角関数の直交性から m=n となる \sin 同士以外はすべて0になる。また、m=n\sin^2 nx の積分の値は \pi になる。したがって、

    \begin{eqnarray*} \int_{-\pi}^{\pi} x \sin nx\,dx&=& \pi a_n \end{eqnarray*}


より、

    \begin{eqnarray*} \textcolor{red}{a_n}&=&\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x \sin nx\,dx\\\\ &=&\frac{1}{\pi} \left[\frac{\sin nx}{n^2}-\frac{x\cos nx}{n}\right]{-\pi}^{\pi}\\\\ &=& \frac{1}{\pi}\left\{ \left(-\frac{1}{n}\right) \pi \cos m\pi -(-\pi)\cos \left(-m\pi\right) \right\} \\\\ &=& \frac{-2}{n}\,\textcolor{red}{\cos\pi}\\\\ &=& \frac{2\,(-1)^{n+1}}{n}\quad\blacksquare \end{eqnarray*}


 ※フーリエ係数の計算でよく使うのは下の関係である。



以上より、f(x) をフーリエ級数で表すと、

    \begin{eqnarray*} f(x)=x&=&2\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin nx\\\\ &=&2\left[ \sin x - \frac{\sin 2x}{2}+\frac{\sin 3x}{3}-\cdots \right] \quad\blacksquare \end{eqnarray*}




次に、

    \begin{eqnarray*} \sum_{m=0}\frac{(-1)^{m}}{2m+1} \end{eqnarray*}

を求める。

上で求めたフーリエ級数について、\textcolor{red}{x=\frac{\pi}{2}} と置くと、

    \begin{eqnarray*} &&f(\frac{\pi}{2})=\frac{\pi}{2}= 2\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin \frac{n\pi}{2}\\\\ \Leftrightarrow&& \frac{\pi}{4}=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin \frac{n\pi}{2} \end{eqnarray*}

ここで右辺を計算する。\sin \frac{n\pi}{2} の値は n=1,2,3,4,5,... に対して、1,0,-1,0,1,... となる。よって、

    \begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin \frac{n\pi}{2} &=&\sum_{n=1,5,9,...}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\cdot\textcolor{red}{1}\\ &+&\sum_{n=2,6,10,...}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\cdot\textcolor{red}{0}\\ &+&\sum_{n=3,7,11,...}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\cdot\textcolor{red}{(-1)}\\ &+&\sum_{n=4,8,12,...}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\cdot\textcolor{red}{0}\\\\\\ &=& \sum_{n=1,5,9,...}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\\ &+& \sum_{n=3,7,11,...}^{\infty}\frac{(-1)^{\textcolor{red}{n+2}}}{n}\\\\\\ &=& \sum_{n=1,5,9,...}^{\infty}\frac{1}{n} +\sum_{n=3,7,11,...}^{\infty}\frac{(-1)}{n}\\\\\\ &=& \sum_{m'=1}^{\infty}\frac{(-1)^{m'-1}}{2m'-1}\\\\\\ &=& \sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{m}}{2m+1}\quad(m=m'-1) \end{eqnarray*}


以上より、

    \begin{eqnarray*} \sum_{m=0}\frac{(-1)^{m}}{2m+1}=\frac{\pi}{4}\quad\blacksquare \end{eqnarray*}



おまけ:

最後の結果、

    \begin{eqnarray*} 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots =\frac{\pi}{4}\quad\blacksquare \end{eqnarray*}

ライプニッツ級数として円周率 \pi の近似を求めるのに使われた。プラスとマイナスを交互に足しているため、振動しながら \pi/4 に近づく。






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