転置行列の行列式
本記事では、次正方行列
の転置行列
の行列式
が
と等しくなることを示す。証明する上で、行列式の定義に習熟している必要がある。
1. 転置行列の表現
転置行列 は
を左上から右下への対角線で折り返せば良い。3次正方行列の場合、
![Rendered by QuickLaTeX.com \sigma](https://batapara.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-96ad4bc703db13aa3eeaf2132a1b8ac8_l3.png)
次正方行列の場合、
となる。
![Rendered by QuickLaTeX.com A](https://batapara.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d9935b9baebc03834bc94f491d79d155_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com a_{ij}](https://batapara.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-754330a1f4cae1b40dc7c42731c79017_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com ^tA](https://batapara.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-805147d441214085527802c2344bbc77_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com b_{ij}](https://batapara.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cc4cbbf9d57c46b55fd76c06ec2b9a2a_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com a_{ij}=b_{ji}](https://batapara.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0ca58de1c247c54d07b4f99c0ac05834_l3.png)
2. det(tA)=det(A) の証明
次正方行列の行列式の定義は、
ここで、
:置換
:置換の符号
:置換全体の集合
を表す。
2.1 【証明】
次正方行列
の要素を
、
の要素を
と置く(
)。
行列式の定義より、
である。 はそれぞれが元々の
に一致するので、並び替えて
となる。ここで、
![Rendered by QuickLaTeX.com \sigma(k)\rightarrow l](https://batapara.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3f8db55061b18bbbca5feb5798621777_l3.png)
となる逆置換
![Rendered by QuickLaTeX.com \sigma^{-1}](https://batapara.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a687de7aa7ed5fe9b616aec2f5269d28_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \sigma\in S_n](https://batapara.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-75f1d616c349d6445d6f240989009500_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \sigma^{-1}\in S_n](https://batapara.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9ed395d17f3174296c8c69ba02cb64e4_l3.png)
となる。
![Rendered by QuickLaTeX.com \blacksquare](https://batapara.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6b341a705a9db8c3b6574cc51417d54a_l3.png)
以上のように置換を使いこなし