f(x)=x [-π:π]のフーリエ級数展開／無限級数和（ライプニッツ級数）

例題

$[-\pi:\pi]$ で周期的な以下の関数 $f(x)$ をフーリエ級数に展開せよ。

$\begin{eqnarray*} f(x)=x\quad(-\pi \leq x < \pi) \end{eqnarray*}$

また、この結果を用いて、

$\begin{eqnarray*} \sum_{m=0}\frac{(-1)^{m}}{2m+1} \end{eqnarray*}$

の値を求めよ。

　この関数はジグザグである。かなり $\sin nx$ に形が似ている。たとえば、 $\sin x$ と $f(x)$ を比較してみると下のようになる。

フーリエ級数で基本的に使うのは三角関数の直交性である。

三角関数の直交性

$\begin{eqnarray*} &&\int_{-\pi}^{\pi} \sin mx \cos nx \,dx=0 \\\\ &&\int_{-\pi}^{\pi} \sin mx \sin nx \, dx= \begin{cases} \pi \quad({\rm if} \quad n=m)\\ 0 \quad({\rm if} \quad n\neq m) \end{cases}\\\\ &&\int_{-\pi}^{\pi} \cos mx \cos nx \, dx= \begin{cases} \pi \quad({\rm if} \quad n=m)\\ 0 \quad({\rm if} \quad n\neq m) \end{cases} \end{eqnarray*}$

参考：三角関数の直交性

【解答】

$f(x)=x$ をフーリエ級数で展開する。

$\begin{eqnarray*} f(x)=x=\frac{a_0}{2}+\sum_{m=1}^{\infty} a_m \cos mx + b_m \sin mx \end{eqnarray*}$

奇関数のフーリエ級数展開：

ここで、 $f(x)=x$ は奇関数である。したがって、奇関数である $\sin$ のシリーズで展開でき、偶関数の $\cos$ のシリーズについては $\textcolor{red}{a_m=0}$ となる。

$b_m$ を求める：

両辺に $\sin nx$ をかけて、 $[-\pi:\pi]$ で積分すると、

$\begin{eqnarray*} \int_{-\pi}^{\pi} x \sin nx\,dx&=&\frac{a_0}{2} \int_{-\pi}^{\pi}\sin nx\,dx\\\\ &+& \sum_{m=1}^{\infty} a_m \textcolor{blue}{\int_{-\pi}^{\pi}\cos mx\sin nx\,dx} +b_m \textcolor{red}{\int_{-\pi}^{\pi} \sin mx \sin nx\,dx} \end{eqnarray*}$

三角関数の直交性から $m=n$ となる $\sin$ 同士以外はすべて0になる。また、 $m=n$ の $\sin^2 nx$ の積分の値は $\pi$ になる。したがって、

$\begin{eqnarray*} \int_{-\pi}^{\pi} x \sin nx\,dx&=& \pi a_n \end{eqnarray*}$

より、

$\begin{eqnarray*} \textcolor{red}{a_n}&=&\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x \sin nx\,dx\\\\ &=&\frac{1}{\pi} \left[\frac{\sin nx}{n^2}-\frac{x\cos nx}{n}\right]{-\pi}^{\pi}\\\\ &=& \frac{1}{\pi}\left\{ \left(-\frac{1}{n}\right) \pi \cos m\pi -(-\pi)\cos \left(-m\pi\right) \right\} \\\\ &=& \frac{-2}{n}\,\textcolor{red}{\cos\pi}\\\\ &=& \frac{2\,(-1)^{n+1}}{n}\quad\blacksquare \end{eqnarray*}$

　※フーリエ係数の計算でよく使うのは下の関係である。

以上より、 $f(x)$ をフーリエ級数で表すと、

$\begin{eqnarray*} f(x)=x&=&2\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin nx\\\\ &=&2\left[ \sin x - \frac{\sin 2x}{2}+\frac{\sin 3x}{3}-\cdots \right] \quad\blacksquare \end{eqnarray*}$

次に、

$\begin{eqnarray*} \sum_{m=0}\frac{(-1)^{m}}{2m+1} \end{eqnarray*}$

を求める。

上で求めたフーリエ級数について、 $\textcolor{red}{x=\frac{\pi}{2}}$ と置くと、

$\begin{eqnarray*} &&f(\frac{\pi}{2})=\frac{\pi}{2}= 2\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin \frac{n\pi}{2}\\\\ \Leftrightarrow&& \frac{\pi}{4}=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin \frac{n\pi}{2} \end{eqnarray*}$

ここで右辺を計算する。 $\sin \frac{n\pi}{2}$ の値は $n=1,2,3,4,5,...$ に対して、 $1,0,-1,0,1,...$ となる。よって、

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin \frac{n\pi}{2} &=&\sum_{n=1,5,9,...}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\cdot\textcolor{red}{1}\\ &+&\sum_{n=2,6,10,...}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\cdot\textcolor{red}{0}\\ &+&\sum_{n=3,7,11,...}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\cdot\textcolor{red}{(-1)}\\ &+&\sum_{n=4,8,12,...}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\cdot\textcolor{red}{0}\\\\\\ &=& \sum_{n=1,5,9,...}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\\ &+& \sum_{n=3,7,11,...}^{\infty}\frac{(-1)^{\textcolor{red}{n+2}}}{n}\\\\\\ &=& \sum_{n=1,5,9,...}^{\infty}\frac{1}{n} +\sum_{n=3,7,11,...}^{\infty}\frac{(-1)}{n}\\\\\\ &=& \sum_{m'=1}^{\infty}\frac{(-1)^{m'-1}}{2m'-1}\\\\\\ &=& \sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{m}}{2m+1}\quad(m=m'-1) \end{eqnarray*}$

以上より、

$\begin{eqnarray*} \sum_{m=0}\frac{(-1)^{m}}{2m+1}=\frac{\pi}{4}\quad\blacksquare \end{eqnarray*}$

おまけ：

最後の結果、

$\begin{eqnarray*} 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots =\frac{\pi}{4}\quad\blacksquare \end{eqnarray*}$

はライプニッツ級数として円周率 $\pi$ の近似を求めるのに使われた。プラスとマイナスを交互に足しているため、振動しながら $\pi/4$ に近づく。

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