実空間ウィグナーザイツセルの体積とブリルアンゾーンの体積の関係

　逆格子ベクトルの定義より以下の関係が簡単にわかります。

体積の関係式

$\begin{eqnarray*} \Omega_{\rm BZ}=\frac{(2\pi)^3}{\Omega_{\rm WZ}} \end{eqnarray*}$

$\Omega_{\rm WZ}$ ：ウィグナーザイツセルの体積（実空間）
$\Omega_{\rm BZ}$ ：第一ブリルアンゾーンの体積（逆空間）

1. 逆格子ベクトルの定義と基本事項まとめ
2. 定義に基づいたベクトル計算
3. 計算しなくても？
4. まとめ

1. 逆格子ベクトルの定義と基本事項まとめ

　定義だけ載せておきます。

$\begin{eqnarray*} {\bf b}_1=2\pi \frac{{\bf a}_2 \times {\bf a}_3}{{\bf a}_1\cdot({\bf a}_2 \times {\bf a}_3)}\\ \\ {\bf b}_2=2\pi \frac{{\bf a}_3 \times {\bf a}_1}{{\bf a}_2\cdot({\bf a}_3 \times {\bf a}_1)} \\ \\ {\bf b}_3=2\pi \frac{{\bf a}_1 \times {\bf a}_2}{{\bf a}_3\cdot({\bf a}_1 \times {\bf a}_2)} \end{eqnarray*}$

簡単なまとめ：

${\bf b}_1$ は ${\bf a}_2\times {\bf a}_3$ 方向にあるため、 ${\bf b}_1$ と ${\bf a}_2,{\bf a}_3$ は直交。
$\textcolor{red}{{\bf a}_i\cdot{\bf b}_j=2\pi\delta_{ij}}\; (i,j=1,2,3)$

実空間の体積に関するまとめ：

${\bf a}_1\cdot({\bf a}_2\times{\bf a}_3)$ (スカラー三重積)は平行六面体（単位胞）の体積を表す。
${\bf a}_1,{\bf a}_2,{\bf a}_3$ で作られる平行六面体の中に（実）格子点は1個
ウィグナーザイツ（WZ）セル内に含まれる（実）格子点は1個

これらから

ポイント

${\bf a}_1\cdot({\bf a}_2\times{\bf a}_3)$ ＝（平行六面体の体積）=（WZセルの体積 $\Omega_{\rm WZ}$ ）

がわかる。なぜなら格子点1個が占める体積は同じであるため。

参考：3次元の1stブリルアンゾーンの体積

逆空間の体積の関係も同じである。

ポイント

${\bf b}_1\cdot({\bf b}_2\times{\bf b}_3)$ ＝（平行六面体の体積）=（1stBZの体積 $\Omega_{\rm WZ}$ ）

あとは ${\bf a}_1\cdot({\bf a}_2\times{\bf a}_3)$ と ${\bf b}_1\cdot({\bf b}_2\times{\bf b}_3)$ の関係を調べる。

2. 定義に基づいたベクトル計算

${\bf b}_1\cdot({\bf b}_2\times{\bf b}_3)$ を計算する。

${\bf b}_2\times{\bf b}_3$ について：

$\begin{eqnarray*} {\bf b}_2\times{\bf b}_3&=& {\bf b}_2\times\left( 2\pi \frac{{\bf a}_1 \times {\bf a}_2}{{\bf a}_3\cdot({\bf a}_1 \times {\bf a}_2)} \right)\\\\ &=& \frac{2\pi}{\textcolor{red}{\Omega_{\rm WZ}}}\, {\bf b}_2\times\left({\bf a}_1 \times {\bf a}_2 \right) \\ \\ &=& \frac{2\pi}{\Omega_{\rm WZ}}\,\left( {\bf a}_1({\bf b}_2\cdot{\bf a}_2)- {\bf a}_2({\bf b}_2\cdot{\bf a}_1)\right) \\ \\ &=& \frac{2\pi}{\Omega_{\rm WZ}}\, (2\pi{\bf a}_1 \delta_{22} -2\pi{\bf a}_2 \delta_{21} )\\ \\ &=& \frac{(2\pi)^2}{\Omega_{\rm WZ}}{\bf a}_1 \end{eqnarray*}$

2つ目の等号： $\textcolor{red}{\Omega_{\rm WZ}}={\bf a}_3\cdot({\bf a}_1 \times {\bf a}_2)$
3つ目の等号：BAC-CAB則（ ${\bf A}\times({\bf B}\times{\bf C})={\bf B}\cdot({\bf A}\cdot{\bf C})-{\bf C}\cdot({\bf A}\cdot{\bf B})$ ）
4つ目の等号： ${\bf a}_i\cdot{\bf b}_j=2\pi\delta_{ij}$

よって、

$\begin{eqnarray*} {\bf b}_1\cdot({\bf b}_2\times{\bf b}_3) &=& \left(\frac{(2\pi)^2}{\Omega_{\rm WZ}}\right){\bf b}_1\cdot{\bf a}_1 \\\\ &=& \frac{(2\pi)^3}{\Omega_{\rm WZ}} \quad \blacksquare \end{eqnarray*}$