時間 と位置
に依存する波の式
は波の特徴である波長
と周期
によって
のように表すことができる。 は波の振幅である。 この式は波数
と 周波数(角振動数)
により
とも書ける。ここでは、この波の式を導出していく。 の係数が負になることに注意し、その理由も書いておく。
式の導出
波を

波を図示する
波 は
と
の関数になっているため
- 縦軸
、横軸
- 縦軸
、横軸
の2通りの描き方がある。要するにある時刻での空間変化について描くか、ある位置での時間変化について描くかの2通りである。

空間変化はイメージしやすく、海の細波を撮った写真を思い浮かべればよい。 横軸が変位 で表すことができるためわかりやすい。 山と山の空間的な間隔を波長
と呼ぶ。
一方で、現実に横軸に時間をとって「見る」こと、つまり時間変化を「見る」のは難しい。 時間変化を見るためには、波のある位置 の高さがどのように変化していくかを記録していくしかない。 もっと簡単に時間変化を見るための装置がオシロスコープである。 山と山の時間的な間隔を周期
と呼ぶ。
aを求める:時間tを固定する
で固定して考える。

が成立する。

左辺を加法定理で展開していく。
式(1)より
が成立する。したがって、
となる。 は整数であるが、
が目的の波の式である。 たとえば、
などは図のような波を表している。

の条件だけでは、波の形は の値によって変化してしまう。
の間に、いくらでも山の数を詰め込むことができるのである。
のときを考えて、

*【指数関数で見る】
指数関数を用いて波を表すと、三角関数の加法定理の代わりに、指数関数の指数法則を用いるだけで済む。つまり、計算が簡単になる利点がある。
波を指数関数で表すと、
になる。
となる。したがって、
bを求める:位置xを固定する
時間を固定した場合と同様の計算をおこなうと、
を得る。ここで は整数である。
を決めたときと同様に
であるように思える。
しかし、波の進行方向を が正の方向である図のような場合を考えると
となる。

この図において、ある波の位置 について時間変化を追っていくことを考える。 ある時刻の状態から、時間
だけ経過したときに
での波の位相(
の中身)は、
に対して負の方向に変化する。
これでは少々粗いので、具体的に時刻が (
は微小)に変化した場合の式を見ていく。 このとき、初期状態と
のときの波の式はそれぞれ、
となる。

での波の高さを見ていくと、
となるだろう。いま、 軸の正の方向へ進行する波(図の赤い線)の場合は
であるため、
の中身は負になるはずである。
であるため、
にならざるを得ない。
これにより であり、

負の方向へ進む波

また、図のように は
軸の負の方向へ後退する波を表す。
まとめ
以上まとめて

となる。 の係数は負になることに注意する。
軸の負の向きへ後退する波の式は、
となる。 の係数は正になることに注意する。