波の式 Asin2π(x/λ-t/T)=Asin(kx-ωt) の導出


 時間 t と位置 x に依存する波の式 \psi(x,t) は波の特徴である波長 \lambda と周期 T によって

    \begin{eqnarray*} \psi(x,t)=A\sin  2\pi\left(\frac{x}{\lambda}\textcolor{red}{-}\frac{t}{T}\right) \end{eqnarray*}

のように表すことができる。A は波の振幅である。 この式は波数 k=\frac{2\pi}{\lambda} と 周波数(角振動数) \omega=\frac{2\pi}{T} により

    \begin{eqnarray*} \psi(x,t)=A\sin  \left(kx\textcolor{red}{-}\omega t\right) \end{eqnarray*}

とも書ける。ここでは、この波の式を導出していく。 t の係数が負になることに注意し、その理由も書いておく。


式の導出

波を

    \begin{eqnarray*} \psi(x,t)=A\sin \left(ax+bt\right) \end{eqnarray*}

の形であるとして a,b を求める。


波を図示する

\psi(x,t)xt の関数になっているため

  • 縦軸 \psi(x,t)、横軸 x
  • 縦軸 \psi(x,t)、横軸 t

の2通りの描き方がある。要するにある時刻での空間変化について描くか、ある位置での時間変化について描くかの2通りである。


 空間変化はイメージしやすく、海の細波を撮った写真を思い浮かべればよい。 横軸が変位 x で表すことができるためわかりやすい。 山と山の空間的な間隔を波長 \lambda と呼ぶ。

 一方で、現実に横軸に時間をとって「見る」こと、つまり時間変化を「見る」のは難しい。 時間変化を見るためには、波のある位置 x_0 の高さがどのように変化していくかを記録していくしかない。 もっと簡単に時間変化を見るための装置がオシロスコープである。 山と山の時間的な間隔を周期 T と呼ぶ。


aを求める:時間tを固定する

 t=t_0 で固定して考える。

    \begin{eqnarray*} \psi(x,t_0)&=&A\sin \left(ax+bt_0\right) \end{eqnarray*}

について x\to x+\lambda とすれば、

    \begin{eqnarray*} \psi(x+\lambda,t_0)&=&\psi(x,t_0)\quad\cdots\quad(1) \end{eqnarray*}

が成立する。


 左辺を加法定理で展開していく。

    \begin{eqnarray*} \psi(x+\lambda,t_0)&=&A\sin \left(a(x+\textcolor{red}{\lambda})+bt_0\right)\\ &=&A\sin \left(ax+bt_0+\textcolor{red}{a\lambda}\right)\\ &=&A\sin \left(ax+bt_0\right)\cos\left(\textcolor{red}{a\lambda}\right) +A\cos\left( ax+bt_0 \right)\sin (\textcolor{red}{a\lambda}) \end{eqnarray*}

 式(1)より

    \begin{eqnarray*} \begin{cases} \cos a\lambda = 1\\ \sin  a\lambda = 0 \end{cases} \end{eqnarray*}

が成立する。したがって、

    \begin{eqnarray*} \lambda=\frac{2\pi}{a}n\quad \Leftrightarrow \quad a=\frac{2\pi}{\lambda}n \end{eqnarray*}

となる。n は整数であるが、n=1 が目的の波の式である。 たとえば、n=2 などは図のような波を表している。

    \begin{eqnarray*} \psi(x+\lambda,t_0)&=&\psi(x,t_0)\quad\cdots\quad(1) \end{eqnarray*}

の条件だけでは、波の形は n の値によって変化してしまう。 \lambda の間に、いくらでも山の数を詰め込むことができるのである。


n=1 のときを考えて、

    \begin{eqnarray*} a=\frac{2\pi}{\lambda}=k \end{eqnarray*}

を得る。この k は波数と呼ばれる。



*【指数関数で見る】

指数関数を用いて波を表すと、三角関数の加法定理の代わりに、指数関数の指数法則を用いるだけで済む。つまり、計算が簡単になる利点がある。

波を指数関数で表すと、

    \begin{eqnarray*} \psi(x,t)=A\exp\left( i(ax+bt) \right) \end{eqnarray*}

になる。

    \begin{eqnarray*} \psi(x,t_0)=A\exp\left( i(ax+bt_0) \right) \end{eqnarray*}

    \begin{eqnarray*} \psi(x+\lambda,t_0)&=&A\exp\left( i(a(x+\lambda)+bt_0) \right)\\ &=&A\,\textcolor{red}{\exp\left(ia\lambda\right)}\exp\left( i(ax+bt_0) \right) \end{eqnarray*}

となる。したがって、

    \begin{eqnarray*} \exp\left(ia\lambda\right)&=&1\\ a\lambda &=& 2\pi n\\ a&=&\frac{2\pi}{\lambda}n \end{eqnarray*}



bを求める:位置xを固定する

 時間を固定した場合と同様の計算をおこなうと、

    \begin{eqnarray*} T=\frac{2\pi}{b}n\quad \Leftrightarrow \quad b=\frac{2\pi}{T}m \end{eqnarray*}

を得る。ここで m は整数である。 a を決めたときと同様に m=1 であるように思える。


 しかし、波の進行方向を x正の方向である図のような場合を考えると m=-1 となる。

 

この図において、ある波の位置 x=x_0 について時間変化を追っていくことを考える。 ある時刻の状態から、時間 t>0 だけ経過したときに x_0 での波の位相(\sinの中身)は、t に対して負の方向に変化する。


 これでは少々粗いので、具体的に時刻が 0\to tt>0 は微小)に変化した場合の式を見ていく。 このとき、初期状態とtのときの波の式はそれぞれ、

    \begin{eqnarray*} \psi(x,0)&=&A\sin \left(\frac{2\pi}{\lambda}x\right)\\ \psi(x,t)&=&A\sin \left(\frac{2\pi}{\lambda}x + bt\right) \end{eqnarray*}

となる。

x=0 での波の高さを見ていくと、

    \begin{eqnarray*} \psi(0,0)&=&0\\ \psi(0,t)&=&A\sin \left(bt\right) \end{eqnarray*}

となるだろう。いま、x 軸の正の方向へ進行する波(図の赤い線)の場合は \psi(x=0,t) < 0 であるため、\sin の中身は負になるはずである。 t>0 であるため、b < 0 にならざるを得ない。


 これにより m=-1 であり、

    \begin{eqnarray*} b=-\frac{2\pi}{T}=-\omega \end{eqnarray*}

となる。\omega を角振動数と呼ぶ。



負の方向へ進む波

また、図のように b=1x 軸の負の方向へ後退する波を表す。


まとめ

以上まとめて

    \begin{eqnarray*} \psi(x,t)=A\sin \left(ax+bt\right) \end{eqnarray*}

に対して、x 軸の正の向きへ進行する波の式は、

    \begin{eqnarray*} \psi(x,t)&=&A\sin  2\pi\left(\frac{x}{\lambda}\textcolor{red}{-}\frac{t}{T}\right)\\ &=&A\sin  \left(kx\textcolor{red}{-}\omega t\right) \end{eqnarray*}

となる。t の係数は負になることに注意する。

 x 軸の負の向きへ後退する波の式は、

    \begin{eqnarray*} \psi(x,t)&=&A\sin  2\pi\left(\frac{x}{\lambda}\textcolor{red}{+}\frac{t}{T}\right)\\ &=&A\sin  \left(kx\textcolor{red}{+}\omega t\right) \end{eqnarray*}

となる。t の係数は正になることに注意する。




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