【積分】立体角とは/立体角ω 積分を平面角θ、φに直す


 立体角 \omega の解説をおこないます。微小立体角と微小平面角の関係は以下。


微小立体角から微小平面角

    \begin{eqnarray*} d\omega=\sin\theta d\theta d\phi \end{eqnarray*}




1. 立体角の定義

 平面角 \theta のときを比べれば簡単にわかる。

平面角と立体角

平面角、立体角の定義は、上図の半径 r=1 の単位円、単位球でおこなう。

平面角 \theta立体角 \omega
扇型円錐
長さ l=r\theta面積 A=r^2\omega
dl=rd\theta (r:定数のとき)dA=r^2d\omega (r:定数のとき)
\oint_C d\theta = 2\pi\int_S d\omega = 4\pi
単位:ラジアン [rad]単位:ステラジアン [sr]

以上、簡単にまとめた。



2. 立体角積分を平面角積分に

 極座標表示で表した \textcolor{red}{{\bf r}} から角度 (\theta,\phi) のみ微小変化させる。

 図より、微小変化 \theta\to\theta+d\theta,\phi\to\phi+d\phi により面積は

    \begin{eqnarray*} dA=r^2\sin\theta d\theta d\phi \end{eqnarray*}

だけ増加する。r が一定の時、立体角の定義から

    \begin{eqnarray*} r^2\omega=A \;\Rightarrow\; r^2 d\omega = dA \end{eqnarray*}

であるため、


微小立体角から微小平面角

    \begin{eqnarray*} d\omega=\sin\theta d\theta d\phi \end{eqnarray*}



3. まとめ

 ちょくちょくでてくるのでメモとして残す。




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