f(x)=1/(1+x^2)の実積分（-∞,∞）を複素積分で解く

　複素積分の応用例として、以下の実積分を複素積分で解く。ちなみにこの実積分は講義積分で、 $[\arctan{x}]_{-\infty}^{\infty}$ とすれば容易に解ける。

複素積分の例題

以下の実積分を複素積分を用いて解け（積分経路は少し下に与えた）。

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{1+x^2} \end{eqnarray*}$

1. 複素積分の積分経路
2. 解答
3. まとめ

1. 複素積分の積分経路

　積分経路は往々にして与えられる。今回の場合は以下の経路である。

　赤線の経路 $\textcolor{red}{C_1}$ 上で $z=x$ であり、例題の実積分に対応する。半円の半径は $R$ として、図の矢印の向きに複素積分を実行する。

2. 解答

　複素関数を

$\begin{eqnarray*} f(z)=\frac{1}{1+z^2}=\frac{1}{(z+i)(z-i)} \end{eqnarray*}$

とおく。複素平面全体で特異点は $z=\pm$ である（ $f(z)$ は $z=\pm i$ を除いて複素平面全体で正則である。）

上の積分経路より、

$\begin{eqnarray*} \oint_{\textcolor{red}{C_1}+\textcolor{blue}{C_2}} f(z)\,dz=\int_{\textcolor{red}{C_1}} f(z)\,dz + \int_{\textcolor{blue}{C_2}} f(z) \,dz \end{eqnarray*}$

になる。

C1上の積分

　 $\textcolor{red}{C_1}$ は実軸の上にあるため、 $z=x$ である。したがって、

$\begin{eqnarray*} \int_{\textcolor{red}{C_1}} f(z)\,dz= \int_{\textcolor{red}{C_1}} \frac{dz}{1+z^2}= \int_{-R}^{R} \frac{dx}{1+x^2} \;(\because z=x \;${\rm on}\;C_1) \end{eqnarray*}$

　最後に、 $R\to\infty$ とすれば例題の積分に対応する。

C2上の積分

　 $\textcolor{blue}{C_2}$ の点は

$\begin{eqnarray*} z=Re^{i\theta},\; \theta:0\to\pi \end{eqnarray*}$

と置ける。また、

$\begin{eqnarray*} dz=iRe^{i\theta}d\theta \end{eqnarray*}$

である。実際に積分を具体的に書いてみる。

$\begin{eqnarray*} \int_{\textcolor{blue}{C_2}} \frac{dz}{1+z^2}\\ &=& \int_{0}^{\pi} \frac{iRe^{i\theta}}{1+R^2e^{2i\theta}}d\theta \end{eqnarray*}$

直接計算するのが難しいため、 $R\to\infty$ のときの収束性を調べる。積分の絶対値をとって調べる（評価する）。このときのポイントは下の通り。

$|e^{i\theta}|=1$ ： $e^{i\theta}$ は複素平面上の単位円を表す
$|i|= 1$ ：複素平面上で大きさ1
$|d\theta|=d\theta$ ：積分の線素
$|1+R^2e^{2i\theta}|\to |R^2| \,( R\to \infty)$ ： $R$ が1より十分大きいため
$|\int f(z)dz|\leq \int|f(z)|dz$

積分の絶対値（丁寧に）：

$\begin{eqnarray*} \left|\int_{0}^{\pi} \frac{iRe^{i\theta}}{1+R^2e^{2i\theta}}d\theta \right|&\leq& \int_{0}^{\pi}\left|\frac{iRe^{i\theta}}{1+R^2e^{2i\theta}} \right|d\theta\\\\ &=& \int_{0}^{\pi}\left|\frac{R}{1+R^2e^{2i\theta}}\right|d\theta \\\\ &\leq& \int_{0}^{\pi}\left|\frac{R}{R^2e^{2i\theta}}\right|d\theta \;(\because 1<<R)\\\\ &=& \int_{0}^{\pi}\left|\frac{R}{R^2}\right|d\theta \\\\ &=& \left|\frac{1}{R}\right|\pi\\\\ &\to& 0 \quad(R\to\infty) \end{eqnarray*}$

したがって、

$\begin{eqnarray*} \int_{\textcolor{blue}{C_2}} \frac{dz}{1+z^2} \to 0 \;(R\to\infty) \end{eqnarray*}$

　結局、青色の積分経路 $C_2$ についての複素積分は $R\to\infty$ で 0になる。

周回積分と留数定理

$\begin{eqnarray*} \oint_{\textcolor{red}{C_1}+\textcolor{blue}{C_2}} f(z)\,dz \end{eqnarray*}$

を計算する。積分経路 $C_1+C_2$ の中に特異点として $z=i$ を含む。したがって、特異点 $z=i$ の留数を ${\rm Res}_{z=i}f(z)$ として留数定理より、

$\begin{eqnarray*} \oint_{\textcolor{red}{C_1}+\textcolor{blue}{C_2}} f(z)\,dz &=& 2\pi i {\rm Res}_{z=i}f(z) \end{eqnarray*}$

留数を求める：

$\begin{eqnarray*} {\rm Res}_{z=i}f(z)&=& \lim_{z\to i}(z-i)f(z) \\ \\ &=& \lim_{z\to i}\frac{1}{z+i} \\ \\ &=& \frac{1}{2i} \end{eqnarray*}$

これより、

$\begin{eqnarray*} \oint_{\textcolor{red}{C_1}+\textcolor{blue}{C_2}} f(z)\,dz = 2\pi i \cdot\frac{1}{2i} = \pi \end{eqnarray*}$

結果をまとめて実積分値を求める

　上の３つの積分の結果をまとめる。 $R\to\infty$ において、

$\begin{eqnarray*} \oint_{\textcolor{red}{C_1}+\textcolor{blue}{C_2}} f(z)\,dz&=&\int_{\textcolor{red}{C_1}} f(z)\,dz + \int_{\textcolor{blue}{C_2}} f(z) \,dz \\ \\ \\ \pi&=& \lim_{R\to\infty}\int_{-R}^{R} \frac{dx}{1+x^2} + 0 \end{eqnarray*}$

より、

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{1+x^2} = \pi \quad \blacksquare \end{eqnarray*}$

3. まとめ

　積分経路を工夫することで、実積分を複素積分を使って求めることができる。複素積分の問題傾向をまとめとる以下の通りである。

院試問題や定期試験のとき積分経路はだいたい与えられている
$R\to\infty$ で円弧部分の積分はだいたい 0 に収束する
特異点が経路内にあるか調べる。ある場合は留数定理を使う。

この問題は $arctan$ 使った方が早いが、複素積分の練習問題には良い。

【複素積分】f(x)=1/(1+x^2)の実積分（-∞,∞）

1. 複素積分の積分経路