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【積分】立体角とは／立体角ω 積分を平面角θ、φに直す

　立体角 $\omega$ の解説をおこないます。微小立体角と微小平面角の関係は以下。

微小立体角から微小平面角

$\begin{eqnarray*} d\omega=\sin\theta d\theta d\phi \end{eqnarray*}$

目次

1. 立体角の定義
2. 立体角積分を平面角積分に
3. まとめ

1. 立体角の定義

　平面角 $\theta$ のときを比べれば簡単にわかる。

平面角と立体角

平面角、立体角の定義は、上図の半径 $r=1$ の単位円、単位球でおこなう。

平面角 $\theta$	立体角 $\omega$
扇型	円錐
長さ $l=r\theta$	面積 $A=r^2\omega$
$dl=rd\theta$ ( $r$ ：定数のとき)	$dA=r^2d\omega$ ( $r$ ：定数のとき)
$\oint_C d\theta = 2\pi$	$\int_S d\omega = 4\pi$
単位：ラジアン [rad]	単位：ステラジアン [sr]

以上、簡単にまとめた。

2. 立体角積分を平面角積分に

　極座標表示で表した $\textcolor{red}{{\bf r}}$ から角度 $(\theta,\phi)$ のみ微小変化させる。

　図より、微小変化 $\theta\to\theta+d\theta,\phi\to\phi+d\phi$ により面積は

$\begin{eqnarray*} dA=r^2\sin\theta d\theta d\phi \end{eqnarray*}$

だけ増加する。 $r$ が一定の時、立体角の定義から

$\begin{eqnarray*} r^2\omega=A \;\Rightarrow\; r^2 d\omega = dA \end{eqnarray*}$

であるため、

微小立体角から微小平面角

$\begin{eqnarray*} d\omega=\sin\theta d\theta d\phi \end{eqnarray*}$

3. まとめ

　ちょくちょくでてくるのでメモとして残す。

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